高中数学人教B版第二章平面向量 优秀作品

“平面向量”的教学分析与思考向量为什么进入中学向量的双重性向量是一个具有几何和代数双重身份的概念，同时向量代数所依附的线性代数是高等数学中一个完整的体系，具有良好的分析方法和完整结构．通过向量的运用对传统问题的分析，可以帮助学生更好地建立代数与几何的联系，也为中学数学向高等数学过渡奠定了一个直观的基础．这方面的案例包括平面几何、立体几何和向量解析几何．向量具有很好的“数形结合”特性。一是“数”的形式，即利用一对实数对既可表示向量大小，又可以表示向量的方向；二是“形”的形式，即利用一条有向线段来表示一个向量。而且这两种形式又是密切联系的，它们之间可以利用简单的运算进行相互转化。可以说向量是联系代数关系与几何图形的最佳纽带。它可以使图形量化，使图形间关系代数化，使我们从复杂的图形分析中解脱出来，只需要研究这些图形间存在的向量关系，就可以得出精确的最终结论。使分析思路和解题步骤变得简洁流畅，又不失严密。跨学科的结合在中学阶段，主要指的是，数学和物理学的关系。事实上一个良好的物理或现实背景是学生对数学产生兴趣和学好数学的重要因素，并且数学和物理世界的紧密关联是有目共睹的。就是二十世纪最伟大的数学家之一、为“纯数学”而竭力辩白的英国数学家哈代也曾说：“．．．．．．还没有哪个数学家纯到对物理世界毫无兴趣的地步．．．．．．”因此，使学生尽早地认识到数学与物理世界的紧密关系，不仅可以增强学生学习的兴趣，同时也使学生认识到数学伟大的社会性。事实上，反映数学课程改革最敏感的高考在2023年已经这样做了。与国际教育相比较国际数学教育的发展已全面反映了综合几何的学习的落后，向量和矩阵进入中学数学是一个大的趋势。比如，原苏联70年代以来的数学教育改革，致力于用向量、变换等观点改造传统的欧式几何；在日本高中数学课程中，也安排了不少的向量知识；美国NCTM2000的《学校数学的原则和标准》；《新西兰数学课程标准》和《澳大利亚数学教学大纲》都在此问题上有全面的反映。从总体上分析，基本共识是基于以下的事实：1899年希尔伯特的《几何学基础》的发表，标志着几何学基础的彻底革新，也发展了现代数学的公理化模式。以此为推动力，数学本体上在这个方面的研究几乎穷尽。中学的综合几何就是扩大了公理体系的希尔伯特几何的简单情形。如果我国几何教学仍然停留在此不动，那么很难说我们的数学教育反映了数学发展的进程，也与国际数学教育的发展相去甚远。向量的特点分析基本法则（1）向量相加的“首尾相连法则”；即：．这个法则可以推广到多个变量，用来写出许多向量的等式，这是向量法区别于其他解题方法的本质特点。（2）向量数乘的意义和运算律；特别是可以用数乘一个向量来表示和它共线或平行的向量。（3）向量內积（数量积）的意义和运算律；特别是相互垂直的向量內积为0，即：a·b=0a⊥b（4）平面向量基本定理即：如果e1，e2是平面上两个不共线的向量，则对于平面上任一向量a，存在唯一的一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．相比初等几何中诸多公理与定理，向量法仅仅依靠这4条基本法则，充分体现了其平易简捷的特色。向量教学的几点注意1、向量法与综合几何证法NMNMDCBA例2、如图，M、N分别为梯形ABCD两条对角线的中点．求证：且【体会】关注向量具备几何形式和代数形式的“双重身份”，关键在于领会向量几何，其运算不仅仅是数的运算，还包括图形的运算，这一点同样重要。向量法与坐标法例3、如图，在矩形中，点，分别在线段，上，且满足，，若，则．（解法一）利用“平行四边形法则”（解法二）以为基底（解法三）建系【体会】坐标法的本质是平面向量基本定理对具体教学实施的思考教学目标的分析与定位【重点】掌握向量线性运算和数量积运算（含坐标运算）及运算律；能运用平面向量解决简单问题（共线、垂直等）．【难点】理解向量加法的定义，减法的方向确定；平行向量、共线向量及相等向量的区别与联系；理解平行（共线）向量定理及平面向量基本定理．【体会】有人将此章内容概括为“234n”，即：两个定理、三种法则、四种运算、n个概念。要尽量避免将教学陷入到各种各样概念的辨析与各种法则下的计算求值。要努力挖掘概念间的联系及思维上深层次的逻辑关系，体现出向量法的优势所在。让平面向量的教学更加整体化，系统化。【附录1】北京市理科高考考试说明中对本章的要求考试内容要求层次ABC平面向量平面向量平面向量的相关概念√向量的线性运算向量加法与减法√向量的数乘√两个向量共线√平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理√平面向量的正交分解及其坐标表示√用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算√用坐标表示平面向量共线的条件√平面向量的数量积数量积√数量积的坐标表示√用数量积表示两个向量的夹角√用数量积判断两个向量的垂直关系√向量的应用用向量解决简单的问题√对学生认知的分析对学生而言，平面向量是一个全新的概念，加上概念、定理繁多，必然在学习过程中有很大的困难。此外，有些概念和性质又与学生以前的认知有一定的冲突，这也是一个难点，如：向量的平行（共线）与平面几何中的平行（共线）之间的差异；向量射影与几何射影的区别；数量积运算满足乘法运算律中的交换律和分配律，却又不满足结合律；向量运算中和、差、数乘的结果仍为向量，而数量积的结果不是向量而是数，等等。鉴于以上分析，建议在平面向量的教学中：1）多结合生活实例，物理实例帮助学生理解概念，注重新知与旧知的类比于对比；2）设计好教学方式和问题的引导，关键之处适当放慢速度，注重概念、定理、性质的发生发展过程，尽力帮助学生建构好向量的知识结构体系。各章节具体分析§向量的线性运算1）抓住从图形中辨析一个向量的大小、方向，再根据各自向量的大小与方向认识两个或多个向量的关系，可将有关概念梳理如下：位移位移向量自由向量有向线段表示大小方向零向量平行向量相等向量位置向量2）向量减法的教学可以从两条主线展开。“数”的角度：类比“相反数”的概念呈现“相反向量”，将减法转化为加法；“形”的角度：类比加法的三角形法则，归纳出减法的三角形法则。3）向量的数乘，可以理解为将一个向量进行伸缩变换，要明确其结果仍是一个向量。4）平行向量基本定理是判断向量共线的依据，可用来解决与点共线，直线平行及相似有关的问题。【疑惑】“轴上向量坐标运算”的处理§向量的分解与向量的坐标运算本节重点是平面向量基本定理。个人以为，它与平行向量基本定理一起，是向量法的核心所在。后附两节研究课供大家参考。§平面向量的数量积数量积是解决有关角度和长度的极有力的工具。§向量的应用因解析几何后学，此处例题要注意选取。现阶段主要可结合三角和平面几何、物理解决相关问题。【附录2】平面向量知识结构另图：【附录3】推荐文章资料课程教材研究所李海东：《对中学数学课程改革中引入向量的思考》首都师范大学王尚志：《在中学数学中为什么要引入向量》北京教育学院王建明：《向量为什么进入中学》华中师范大学张景中院士、彭翕成：《向量教学存在的问题及对策》北京五中王琦：《平面向量基本定理教学设计》历年高考题整理（2023~2023）1、【2023高考北京理第3题】|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°2、【2023高考北京文第4题】若，且，则向量与的夹角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°3、【2023高考北京理第2题】若与都是非零向量，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6、【2023高考北京文第12题】已知向量a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，且a≠±b，那么a+b与a-b的夹角的大小是7、【2023高考北京理第4题】已知是所在平面内一点，为边中点，且，则（）A． B． C． D．8、【2023高考北京文第11题】向量．若向量，则实数= －39、【2023高考北京理第10题】已知向量与夹角为，且，则的值为___010、【2023高考北京文第11题】向量与夹角为，且，那么的值为－811、【2023高考北京理文第2题】向量a、b不共线，cabR)，dab，若cd，则（）A．且c与d同向B．且c与d反向C．且c与d同向D．且c与d反向12、【2023高考北京理第6题】a，b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件13、【2023高考北京文第4题】a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是（）A．一次函数且是奇函数 B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数 D．二次函数但不是偶函数[14、【2023高考北京理第10题、文第11题】已知向量，，，若与共线，则_______115、【2023高考北京理、文第13题】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为______1，116、【2023高考北京理第13题】向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则________417、【2023高考北京文第14题】已知点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)．若平面区域D由所有满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(1≤λ≤2，0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为________318、【2023高考北京文第3题】已知向量，，则（）A. B． C． D．19、【2023高考北京理第10题】已知向量a、b满足，，且（），则20、【2023高考北京文第6题】设，是非零向量，“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件21、【2023高考北京理第13题】在中，点，满足，．若，则；22、【2023高考北京文第9题】已知向量a，b，则a与b的夹角大小30°23、【2023高考北京理第4