统编人教A版数学高中必修第一册《3.1 函数的概念及其表示》优秀教案教学设计

【新教材】3.1.1函数的概念（人教版）函数在高中数学中占有很重要的比重，因而作为函数的第一节内容，主要从三个实例出发，引函数的概念从就函数概念的分析判断函数，求定义域和函数值，再结合三要素判断函数相.课目理解函数的定义、函数的定义域值域及对应法则。掌握判定函数和函数相等的方法。学会求函数的定义域与函数值。数学素数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义；逻辑推理：相等函数的判断；数学运算：求函数定义域和求函数值；数据分析：运用分离常数法和换元法求值域；数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析题的能力，提高学生的抽象概括能力。重：数的概念，函数的三要素。难：数概念及符号y=f(x)的理解。教方：学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教工：媒体。一、情景导初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，那么在初中函数是怎样定的？高中又是怎样定义？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观.研探二预课本引新阅读课本60-65页思考并完成下问题在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？如何用区间表示数集？相等函数是指什么样的函数？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三新探究1．函数的概念(1)函数的定义：设A，是非的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于合A中任何一个属x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和对应，那么就称：→为集A集合的个函数，记作y=f(x)x.(2)函数的定义域与值域：函数y＝)中叫自变量取值范围叫做函数的定义域x的值对的y值叫函数值，函数值的集|}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子．2．区间概念a，b为数，且a＜b)定义{a≤x}{a＜x}{a≤x}{a＜x}

名称闭区开区半开闭区间半开闭区间

符号[a，b(，b)[，)(，b

数轴示3．其它区间的表示R{xa}{xx＞a}{x≤a{x＜a定义()[，＋)

(＋∞)

(－，(－∞a符号四典分、一三题一

函的义例列选项横轴表示x轴纵表示y轴),表是x函数的(【答案】解题技巧：（判断是否为函数）（图形判断是x的数则函数图象与垂直于x轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上交,则不符合函数的定义所应图象不是函数图.（对应关系判断对关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系；“一对多”的不是函数关.跟训一1.集合A={x|0≤x≤2},列不表示从A到B的函数的是)【答案】题二

相函例试断以下各组函数是否表示同一函:(1)f(x)=(),g(x)=

;y=x与y=1(x≠0);y=2x+1(x∈Z)与∈Z).【答案】见解析【解析因函数f(x)=()2定义域为{x|x而2的定义域为{x|x∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数(2)因为y=x要求x≠0,且当x≠0,=1,y=x与y=1(x的定义域和对应关系都相,所xxxxxxxx2它们表示同一函.(3)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z)个函数的定义域相但对应关系不相同故它们不表示同一函.解题技巧：判函数相等的方)定义域先则先看定义域，若定义域不同，则函数不相.若定义域相同，则化简函数解析式，看对应关系是否相.跟训二1.试判断以下各组函数是否表示一函:①f(x)=,g(x)=x-1;x②f(x)=,g(x)=;xx③f(x)=(),g(x)=x+3;0f(x)=x+1,g(x)=x+x;汽车匀速运动时路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤5)一次函数g(x)=80x(0≤x≤5).其中表示相等函数的是填上所有正确的序号.【答案】⑤【解析】与g(x)的义域不,不是同一函;f(x)与g(x)的析式不同,不是同一函;f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式,不是同一函;f(x)与g(x)的义域不同,不是同一函;f(x)与g(x)的义域、值域对应关系皆相是同一函数题三

区例知集合A={x|5-x集B={x||x|-3≠0},则A∩B区间可表示为.【答案】∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]【解析】∵A={x|5-x∴A={x|x∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.∴A∩B={x|x<-3或3<x<3或3<x≤5},即A∞,-3)∪(3,5].解题技巧：（如何用区间表示集）1.正确利用区间表示集,要特注意区间的端点值能否取即“小括号”和“中括号”的区.0(x+2)2x-1x-,x0(x+2)2x-1x-,x1.1≤x2,且x≠0}-,](2)2.用区间表示两集合的交集、并、补集运算应先求出相应集,再用区间表示跟训三集合{或2≤11}用区表示为.若集合A=[2a-1,a+2],则实数a的值范围用区间表示为.【答案】(1)(0,1)∪[2,11](2)(-∞,3)【解析】(2)由区间的定义知,区间a,b)([a,b])立的条件是a<b.∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3,∴实数a的值围(∞,3).题四

求数定域例下列函数的定义域:(1)y=

|x-x

;(2)f(x)=

x1

-【答案】(1)

(-∞,-2)∪(-2,0)

(2)

(-∞,1)∪(1,4]x20,x-,【解析(1)要使函数有意,自量x的值必须满足即解x<0,且x≠-2.||x≠0,||≠x故原函数的定义域为-∞,-2)∪(-2,0).-x0,x,(2)要使函数有意义,自变量x的值必须满即故原函数的定义域为-∞,1)解题方法（求函数定义域的注意事项）如果函数f(x)是式那函数的定义域是实数集R;如果函数f(x)是式那函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集;如果函数f(x)是次根式那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集;如果函数f(x)是两个或两个上代数式的和、差、积、商的形式构成,那么函数的定义域是各式子都有意义的自变量的取值集(即求各式子自变量取值集合的交)跟训四1.求函数y=2x

1-x

x

的定义域2.已知函数f(x)的义域是求函数f(2x+1)定义域.【答案】(1)

{x|-

2的定义域为|-138的定义域为|-138,【解析(1)要使函数有意,需-,,解得-≤x<2,且x所以函数y=-

1

,且.(2)已知的义域是即1≤x≤4.故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4,∴-2≤2x≤3,≤x≤.∴函数f(2x+1)的义域是-,题五求数（）

].例(1)知f(x)＝1+x

(x∈R，且x≠－1)，g(x)＋2(x∈R)则f(2)＝________f(g(2))＝________.(2)求下列函数的值域：①y＋1；②y＝x－2x＋3，x；③y＝；④y－x.1+x1【答案】（1）

17

（2）①R②[2,6)③{y|y∈R且y≠3}④

，＋∞111【解析】(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝113又∵g(x)＝x＋2，∴g(2)＝2＋2，11∴f(g(2))(6)＝＝.17(2)①(观察法)因为x∈R，所＋1，即函数值域是R.②(方法y＝x－2x＋3＝(x－1)＋2∈[0,3)结合函数的图(如图可得函数的值域为2,6)．3x3x＋3－44③(离常数)y＝＝＝3－.x＋1xx＋1∵

4≠0，∴y≠3，x＋13x－1∴y＝的域为{y|y∈R且≠3}．x＋11④(元法设t＝x－1，则t≥0＝t＋1所以y＝2(t＋1)－t＝2

15＋，由t≥0，再结合函815数的图象如图)，可得函数的值域，

.解题方法（求函数值（域)的方）1.已知的达式时只用替换达式中的所有x得f(a)的.22求f(g(a))的应遵循由内到外原.求函数值域常用的4种方观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法或二次函数图求其值域；分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；（4元即运用新元代换所给函数化成值域易确定的函数而得原函数的值域对（x（中a，b，c为常数，且a0）的函数常用换元.跟训五1.求下列函数的值域：(1)y＝＋1＝.2【答案(1)[1∞【解析】(1)因为2x＋1≥0，以2x＋1＋1≥1即所求函数的值域[，∞)．1