高中数学人教A版3第一章计数原理二项式定理-参赛作品

课题：1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质一、【学习目标】知识目标1．利用二项式定理得出二项式系数的一些性质；2．能运用二项式系数的性质解决一些简单问题．能力目标1．熟知二项式系数的对称性、单调性、最大项及所有二项式系数之和等结论；2．熟练运用赋值法求一些代数式的值．情感、态度与价值观1．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力．2．通过学习“杨辉三角”的有关知识，了解我们国家悠久的文化传统，陶冶学生的爱国主情操，进一步提升学生学好数学用好数学的决心和勇气，提升学生学习数学的兴趣．二、【重点难点】重点：二项式系数的性质及其应用；难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。三、【知识链接】1、二项式定理：________________________________________________；通项：；二项式系数：______________________________________________；2、(1+x)n

=________________________________________________；四、【合作探究】探究问题一杨辉三角的来历及规律问题1：把(a+b)n

（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P32的表格。通过填表，你发现了每一行的系数有什么规律？问题2：为了方便，可将上表改写成如下形式，表示形式的变化后你发现新的规律吗？(a+b)1…………………1

1

(a+b)2…………………1

2

1(a+b)3………………1

3

3

1(a+b)4……………1

4

6

4

1

(a+b)5…………1

5

10

10

5

1

(a+b)6………1

6

15

20

15

6

1

……………归纳小结：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？蕴含规律：1、项数规律2、系数规律3、指数规律问题3：你能介绍杨辉三角的来历吗？探究问题二从函数角度分析二项式系数问题1：(a+b)n展开式的二项式系数为，从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数f(r)，令f(r)=，定义域为问题2：当n=6时，作出函数f（r）的图象如下，其图象是七个孤立的点。你能作当n=7时函数f（r）的图象吗？问题3：当n=7时，函数f（r）的图象是对称的吗？对称轴在哪儿？探究问题三通过图象归纳二项式系数的重要性质问题1：（对称性）与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等吗？由公式怎么表示？问题2：（增减性与最大值）由函数f（r）的图象知，二项式系数的前半部分是逐渐（增大，减小）的，由对称性知它的后半部分是逐渐的。如何证明？问题3：二项式系数在中间处取得最大值，那么(1)当n是偶数时，中间最大的一项二项式系数是，是二项式展开式的第几项？(2)当n是奇数时，中间最大的两项二项式系数是和，是二项式展开式的第几项？变式提升：在的展开式中，二项式系数最大为；在的展开式中，二项式系数最大为.探究问题四各项二项式系数的和问题1：(1+x)n

=+x+x2+…+xr+…+xn,那么+++…+=？问题2：试证：在（a+b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。归纳小结：取特殊值法（又称赋值法）在解决有关二项式系数和时经常使用的一种，除此之外还有倒序相加法.变式提升：已知则(1)(2)(3)(4)五、【达标自测】1、（a+b）n的各二项式系数的最大值是____________；2、++…+=________；3、__________；4、证明：+++…+=2n-1(n是偶数)；5、。六、【归纳总结】1.这节课我们收获那些新知识？二项式系数的三个性质2.在探究这些新知识的过程中我们用到了那些数学思想和方法？*知识拓展*11世纪中国宋代数学家杨辉在《详解九章算法》里讨论这种形式的数表，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。布莱士·帕斯卡的著作Traitédutrianglearithmétique（1655年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜