高中数学人教A版第一章三角函数三角函数的诱导公式 优秀奖

§三角函数的诱导公式(一)课时目标1.借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进行求值、化简与证明．1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.相关角终边之间的对称关系π＋α与α关于________对称－α与α关于________对称π－α与α关于________对称2.诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝__________，cos(α＋2kπ)＝________，tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z.(2)公式二：sin(π＋α)＝______，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.(3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________.(4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________.一、选择题1．sin585°的值为()A．－eq\f(\r(2),2)\f(\r(2),2)C．－eq\f(\r(3),2)\f(\r(3),2)2．若n为整数，则代数式eq\f(sinnπ＋α,cosnπ＋α)的化简结果是()A．±tanαB．－tanαC．tanα\f(1,2)tanα3．若cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，eq\f(3,2)π<α<2π，则sin(2π＋α)等于()\f(1,2)B．±eq\f(\r(3),2)\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)4．tan(5π＋α)＝m，则eq\f(sinα－3π＋cosπ－α,sin－α－cosπ＋α)的值为()\f(m＋1,m－1)\f(m－1,m＋1)C．－1D．15．记cos(－80°)＝k，那么tan100°等于()\f(\r(1－k2),k)B．－eq\f(\r(1－k2),k)\f(k,\r(1－k2))D．－eq\f(k,\r(1－k2))6．若sin(π－α)＝log8eq\f(1,4)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则cos(π＋α)的值为()\f(\r(5),3)B．－eq\f(\r(5),3)C．±eq\f(\r(5),3)D．以上都不对二、填空题7．已知cos(eq\f(π,6)＋θ)＝eq\f(\r(3),3)，则cos(eq\f(5π,6)－θ)＝________.8．三角函数式eq\f(cosα＋πsin2α＋3π,tanα＋πcos3－α－π)的化简结果是______.9．代数式eq\f(\r(1＋2sin290°cos430°),sin250°＋cos790°)的化简结果是______．10．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2009)＝1，则f(2010)＝____.三、解答题11．若cos(α－π)＝－eq\f(2,3)，求eq\f(sinα－2π＋sin－α－3πcosα－3π,cosπ－α－cos－π－αcosα－4π)的值．12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tanβ＝0.能力提升13．化简：eq\f(sin[k＋1π＋θ]·cos[k＋1π－θ],sinkπ－θ·coskπ＋θ)(其中k∈Z)．14．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(π－B)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三个内角．1．明确各诱导公式的作用诱导公式作用公式一将角转化为0～2π求值公式二将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四将角转化为0～eq\f(π,2)求值2.诱导公式的记忆这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．§三角函数的诱导公式(一)答案知识梳理1．原点x轴y轴2．(1)sinαcosαtanα(2)－sinα－cosαtanα(3)－sinαcosα－tanα(4)sinα－cosα－tanα作业设计1．A3．D[由cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，得cosα＝eq\f(1,2)，∴sin(2π＋α)＝sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(\r(3),2)(α为第四象限角)．]4．A[原式＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(m＋1,m－1).]5．B[∵cos(－80°)＝k，∴cos80°＝k，∴sin80°＝eq\r(1－k2).∴tan80°＝eq\f(\r(1－k2),k).∴tan100°＝－tan80°＝－eq\f(\r(1－k2),k).]6．B[∵sin(π－α)＝sinα＝log22－eq\f(2,3)＝－eq\f(2,3)，∴cos(π＋α)＝－cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\f(4,9))＝－eq\f(\r(5),3).]7．－eq\f(\r(3),3)8．tanα解析原式＝eq\f(－cosα·sin2α,tanα·cos3α＋π)＝eq\f(－cosα·sin2α,－tanα·cos3α)＝eq\f(cosα·sin2α,sinα·cos2α)＝eq\f(sinα,cosα)＝tanα.9．－1解析原式＝eq\f(\r(1＋2sin180°＋110°·cos360°＋70°),sin180°＋70°＋cos720°＋70°)＝eq\f(\r(1－2sin110°cos70°),－sin70°＋cos70°)＝eq\f(\r(1－2sin70°cos70°),cos70°－sin70°)＝eq\f(|sin70°－cos70°|,cos70°－sin70°)＝eq\f(sin70°－cos70°,cos70°－sin70°)＝－1.10．3解析f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋β)＋2＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2＝2－(asinα＋bcosβ)＝1，∴asinα＋bcosβ＝1，f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2010π＋β)＋2＝asinα＋bcosβ＋2＝3.11．解原式＝eq\f(－sin2π－α－sin3π＋αcos3π－α,－cosα－－cosαcosα)＝eq\f(sinα－sinαcosα,－cosα＋cos2α)＝eq\f(sinα1－cosα,－cosα1－cosα)＝－tanα.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－eq\f(2,3)，∴cosα＝eq\f(2,3).∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cosα＝eq\f(2,3)，sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(\r(5),3)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(5),2)，∴原式＝－eq\f(\r(5),2).当α为第四象限角时，cosα＝eq\f(2,3)，sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(\r(5),3)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(\r(5),2)，∴原式＝eq\f(\r(5),2).综上，原式＝±eq\f(\r(5),2).12．证明∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴α＝2kπ＋eq\f(π,2)－β(k∈Z)．tan(2α＋β)＋tanβ＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)－β))＋β))＋tanβ＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tanβ＝tan(4kπ＋π－β)＋tanβ＝tan(π－β)＋tanβ＝－tanβ＋tanβ＝0，∴原式成立．13．解当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z，则原式＝eq\f(sin[2n＋1π＋θ]·cos[2n＋1π－θ],sin2nπ－θ·cos2nπ＋θ)＝eq\f(sinπ＋θ·cosπ－θ,－sinθ·cosθ)＝eq\f(－sinθ·－cosθ,－sinθ·cosθ)＝－1.当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则原式＝eq\f(sin[2n＋2π＋θ]·cos[2n＋2π－θ],sin[2n＋1π－θ]·cos[2n＋1π＋θ])＝eq\f(sin[2n＋1π＋θ]·cos[2n＋1π－θ],sinπ－θ·cosπ＋θ)＝eq\f(sinθ·cosθ,sinθ·－cosθ)＝－1.∴上式的值为－1.14．解由条件得sinA＝eq\r(2)sinB，eq\r(3)cosA＝eq\r(2)cosB，平方相加得2cos2A＝1，cos