高中数学高考二轮复习 第四周星期二

星期二(概率统计与立体几何)2023年____月____日1．概率统计知识(命题意图：考查运用排列、组合知识求解离散型随机变量的分布列、数学期望等．)有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ.已知ξ＝2时，共有6种坐法．(1)求n的值；(2)求随机变量ξ的数学期望．解(1)∵当ξ＝2时，有Ceq\o\al(2,n)种坐法，∴Ceq\o\al(2,n)＝6，即eq\f(n（n－1）,2)＝6，∴n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)．(2)∵ξ的可能取值是0，2，3，4.∴P(ξ＝0)＝eq\f(1,Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,24)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)×1,Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(6,24)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4)×2,Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(8,24)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝4)＝eq\f(9,24)＝eq\f(3,8)，∴ξ的概率分布列为：ξ0234Peq\f(1,24)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(3,8)则E(ξ)＝0×eq\f(1,24)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(3,8)＝3.2．立体几何知识(命题意图：以平面图形翻折成空间几何体为载体，考查线线、线面垂直关系的转化，考查用空间向量法求二面角的大小等．)在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE∶EB＝CF∶FA＝CP∶PB＝1∶2(如图1)．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF－B成直二面角，连接A1B，A1P(如图2)(1)求证：A1E⊥平面BEP；(2)求二面角B-A1P-F的余弦值的大小．(1)证明：不妨设正三角形ABC的边长为3.在图1中，取BE的中点D，连接DF.∵AE∶EB＝CF∶FA＝1∶2，∴AF＝AD＝2.而∠A＝60°，∴△ADF是正三角形．又AE＝DE＝1，∴EF⊥AD.在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角．由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE.又BE∩EF＝E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP.(2)解由(1)知，即A1E⊥平面BEP，BE⊥EF.以E为原点，分别以EB，EF，EA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图3所示的空间直角坐标系．图3则A1(0，0，1)，B(2，0，0)，F(0，eq\r(3)，0)，P(1，eq\r(3)，0)．∴eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(2，0，－1)，eq\o(A1P,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，－1)，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3)，－1)．设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面A1BP和平面A1PF的法向量，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(A1B,\s\up6(→))＝0，,m·\o(A1P,\s\up6(→))＝0.))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x1－z1＝0，,x1＋\r(3)y1－z1＝0.))取y1＝1，得m＝(eq\r(3)，1，2eq\r(3))．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(A1F,\s\up6(→))＝0，,n·\o(A1P,\s\up6(→))＝0.))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)y2－z2＝0，,x2＋\r(3)y2－z2＝0.))取y2＝1，得n＝(0，1，eq\r(3))