高中数学人教A版第三章不等式 第3章综合检测

第三章学业质量标准检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则有eq\x(导学号54742907)(A)A．M＞N B．M≥NC．M＜N D．M≤N[解析]M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－5＝a2＋a＋1＝(a＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)＞0，∴M＞N.故选A．2．(2023·浙江文，5)已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若logab>1，则eq\x(导学号54742908)(D)A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0[解析]根据题意，logab>1⇔logab>logaa⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1,0<b<a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1,b>a)).当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1,0<b<a))时，0<b<a<1，∴b－1<0，b－a<0；当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1,b>a))时，b>a>1，∴b－1>0，b－a>0.∴(b－1)(b－a)>0，故选D．3．(2023·哈三中一模)已知数列{bn}是等比数列，b9是1和3的等差中项，则b2b16＝eq\x(导学号54742909)(D)A．16 B．8C．2 D．4[解析]由题意，得2b9＝1＋3，b9＝2.因为{bn}是等比数列，所以b2b16＝beq\o\al(2,9)＝4.故选D．4．(2023·北京文，7)已知A(2,5)，B(4,1)．若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为eq\x(导学号54742910)(C)A．－1 B．3C．7 D．8[解析]依题意得kAB＝eq\f(5－1,2－4)＝－2，∴线段lAB：y－1＝－2(x－4)，x∈[2,4]，即y＝－2x＋9，x∈[2,4]，故2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9，x∈[2,4]，设h(x)＝4x－9，易知h(x)＝4x－9在[2,4]上单调递增，故当x＝4时，h(x)max＝4×4－9＝7.故选C．5．若点(x，y)在第一象限，且在直线2x＋3y＝6上移动，则logeq\f(3,2)x＋logeq\f(3,2)y的最大值是eq\x(导学号54742911)(A)A．1 B．－1C．2 D．－2[解析]由题意x＞0，y＞0,2x＋3y＝6，∴u＝logeq\f(3,2)x＋logeq\f(3,2)y＝logeq\f(3,2)(x·y)＝logeq\f(3,2)[eq\f(1,6)(2x·3y)]≤logeq\f(3,2)[eq\f(1,6)(eq\f(2x＋3y,2))2]＝1，等号在2x＝3y＝3，即x＝eq\f(3,2)，y＝1时成立．故选A．6．若关于x的不等式2x2－8x－4－a≥0在1≤x≤4内有解，则实数a的取值范围是eq\x(导学号54742912)(A)A．a≤－4 B．a≥－4C．a≥－12 D．a≤－12[解析]∵y＝2x2－8x－4(1≤x≤4)在x＝4时，取最大值－4，当a≤－4时，2x2－8x－4≥a存在解．故选A．7．若x∈(0，eq\f(1,2))时总有loga2－1(1－2x)>0，则实数a的取值范围是eq\x(导学号54742913)(D)A．|a|<1 B．|a|<eq\r(2)C．|a|>eq\r(2) D．1<|a|<eq\r(2)[解析]∵x∈(0，eq\f(1,2))，∴0<1－2x<1.又∵此时总有loga2－1(1－2x)>0，∴0<a2－1<1，∴1<|a|<eq\r(2).故选D．8．(2023·河南六市联考)已知正数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0,x－3y＋5≥0))，则z＝4－x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y的最小值为eq\x(导学号54742914)(C)A．1 B．eq\f(1,4)eq\r(3,2)C．eq\f(1,16) D．eq\f(1,32)[解析]由于z＝4－x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y＝2－2x－y，又不等式组表示的平面区域如图所示．易知m＝－2x－y经过点A时取得最小值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,x－3y＋5＝0，))得A(1,2)，所以zmin＝2－2×1－2＝eq\f(1,16)，选C．9．(2023·重庆巴蜀中学一诊)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝b，且sin(A－C)＝2cosAsinC，则b＝eq\x(导学号54742915)(C)A．6 B．4C．2 D．1[解析]由sin(A－C)＝2cosAsinC，得sinAcosC－cosAsinC＝2cosAsinC，即sinAcosC＝3cosAsinC．由正余弦定理，得a·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝3c·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，整理得2(a2－c2)＝b2.①又a2－c2＝b，②联立①②得b＝2，故选C．10．下列函数中，最小值是4的函数是eq\x(导学号54742916)(C)A．y＝x＋eq\f(4,x)B．y＝sinx＋eq\f(4,sinx)(0<x<π)C．y＝ex＋4e－xD．y＝log3x＋logx81[解析]当x＜0时，y＝x＋eq\f(4,x)≤－4，排除A；∵0＜x＜π，∴0＜sinx＜＝sinx＋eq\f(4,sinx)≥4.但sinx＝eq\f(4,sinx)无解，排除B；ex＞0，y＝ex＋4e－x≥4.等号在ex＝eq\f(4,ex)即ex＝2时成立．∴x＝ln2，D中，x＞0且x≠1，若0＜x＜1，则log3x＜0，logx81＜0，∴排除D．11．(2023·全国卷Ⅰ理，8)若a>b>1,0<c<1，则eq\x(导学号54742917)(C)A．ac<bc B．abc<bacC．alogbc<blogac D．logac<logbc[解析]对于选项A，考虑幂函数y＝xc，因为c>0，所以y＝xc为增函数，又a>b>1，所以ac>bc，A错．对于选项B，abc<bac⇔(eq\f(b,a))c<eq\f(b,a)，又y＝(eq\f(b,a))x是减函数，所以B错．对于选项D，由对数函数的性质可知D错，故选C．12．(2023·合肥第二次质检)已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－yx＋y－2≥0，,1≤x≤4，))则x＋2y的取值范围为eq\x(导学号54742918)(C)A．[12，＋∞) B．[0,3]C．[0,12] D．[3,12][解析]作出不等式组表示的平面区域如图，作直线l0：x＋2y＝0，平移l0可见当经过可行域内的点A、B时，z＝x＋2y分别取得最大值与最小值，∴zmax＝12，zmin＝0，故选C．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝\x(导学号54742919)[解析]由题意知a>0且1是方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，∴a＝2，∴不等式为2x2－6x＋4<0，即x2－3x＋2<0，∴1<x<2，∴m＝2.14．(2023·东北三校模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB＝eq\f(5,13)，cosB＝eq\f(12,ac)，则a＋c的值为3eq\r(7).eq\x(导学号54742920)[解析]由已知得：b2＝ac且B为锐角，∴cosB＝eq\f(12,13)，∵cosB＝eq\f(12,ac)，∴ac＝13，由余弦定理得：cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(12,13)，得：a2＋c2＝37，∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac∴a＋c＝3eq\r(7).15．(2023·山东文，14)定义运算“⊗”：x⊗y＝eq\f(x2－y2,xy)(x，y∈R，xy≠0)．当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为eq\r(2).eq\x(导学号54742921)[分析]先按新定义将待求最小值的表达式化简，再用基本不等式求最小值．[解析]由新定义运算知，x⊗y＝eq\f(x2－y2,xy)，所以(2y)⊗x＝eq\f(2y2－x2,2yx)＝eq\f(4y2－x2,2xy)，因为，x＞0，y＞0，所以，x⊗y＋(2y)⊗x＝eq\f(x2－y2,xy)＋eq\f(4y2－x2,2xy)＝eq\f(x2＋2y2,2xy)≥eq\f(2\r(2)xy,2xy)＝eq\r(2)，当且仅当x＝eq\r(2)y时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值是eq\r(2).16．(2023·云南省检测)某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a、b满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－b≥5，,a－b≤2，,a<7.))设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x＝\x(导学号54742922)[解析]由题意得x＝a＋b，如图所示，画出约束条件所表示的可行域，作直线l：b＋a＝0，平移直线l，再由a，b∈N，可知当a＝6，b＝7时，x取最大值，∴x＝a＋b＝13.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围.eq\x(导学号54742923)[解析]由m2－2m－3＝0，得m＝－1或m当m＝3时，原不等式化为－1<0恒成立；当m＝－1时，原不等式化为4x－1<0，∴x<eq\f(1,4)，故m＝－1不满足题意．当m2－2m－3≠eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－3<0,Δ＝[－m－3]2＋4m2－2m－3<0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<m<3,－\f(1,5)<m<3))，∴－eq\f(1,5)<m<3.综上可知，实数m的取值范围是－eq\f(1,5)<m≤3.18．(本题满分12分)已知正数a，b满足a＋b＝1，求证a2＋b2≥eq\f(1,2).eq\x(导学号54742924)[证明]a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×(eq\f(a＋b,2))2＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).19．(本题满分12分)若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于P，Q两点，且P，Q关于直线x＋y＝0对称，则不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－y＋1≥0，,kx－my≤0，,y≥0))表示平面区域的面积是多少？eq\x(导学号54742925)[解析]∵P，Q关于直线x＋y＝0对称，∴PQ与直线x＋y＝0垂直，且直线x＋y＝0经过圆心，∴k＝1，且(－eq\f(k,2))＋(－eq\f(m,2))＝0，∴k＝1，m＝－1，∴不等式组化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y≤0，,y≥0，))它表示的平面区域如图所示，易知A(－1,0)，B(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，故面积为S△OAB＝eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).20．(本题满分12分)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应的提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为\x(导学号54742926)已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？[解析](1)依题意得y＝[×(1＋－1×(1＋x)]×1000×(1＋(0<x<1)．整理，得：y＝－60x2＋20x＋200(0<x<1)．∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为y＝－60x2＋20x＋200(0<x<1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－－1×1000>0,0<x<1))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－60x2＋20x>0,0<x<1))，解得：0<x<eq\f(1,3)，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0<x<eq\f(1,3).21．(本题满分12分)若a＜1，解关于x的不等式eq\f(ax,x－2)>1.eq\x(导学号54742927)[解析]a＝0时，不等式的解集为∅eq\f(ax,x－2)>1⇔eq\f(a－1x＋2,x－2)＞0⇔[(a－1)x＋2](x－2)＞0.∵a＜1，∴a－1＜0.∴化为(x－eq\f(2,1－a))(x－2)＜0，当0