(整理)第二章 非线性微分方程动力系统的一般性研究

第二章非线性微分动力系统的一般性研究在对一个由非线性微分方程所描述的数学模型设计一个计算格式之前，在对该模型所表示的控制系统进行镇定设计或其他工作之前，人们往往希望对该系统可能呈现的动态特性有一个清楚的了解。特别是当系统模型包含若干个可变参数时，人们又希望知道，这些参数的变化将如何影响整个系统的动态特性。本章主要介绍非线性微分方程的一般理论，它将是进一步研究和讨论以下几章的基础。本章中将研究非线性常微分方程定义的动力系统：其中，是定义在某个开集中的一阶连续可微函数。首先，介绍系统(2.1)的流在任何常点邻域的拓扑结构的共同特征。然后，分别介绍非线性微分方程的解的动态特性研究中的三个主要的内容，即方程的平衡点、闭轨以及轨线的渐近性态分析。2.1常点流、直化定理本节介绍系统(2.1)的流在任何常点邻域的拓扑结构的共同特征，即证明如下的直化定理。定理2.1设有定义在开集上的动力系统(2.1)，是它的一个常点，则存在的邻域及其上的微分同胚，它将内的流对应为内原点邻域的一族平行直线段。证明：由于是常点，是中的非零向量，通过非奇异线性变换（坐标轴的平移、旋转和拉伸），可将对应为新坐标系的原点，且化为列向量（简记为），其中表示向量的转置，代表维零向量，而微分系统可化为与此同时，的邻域，在线性变换的作用下化为原点参见图2.1(b)。根据解的存在唯一性定理及可微性定理可知，存在的邻域和包含的区间，使得系统(2.1)从中任何一点出发的解在上存在，且关于其变量是连续可微的。进一步，，即对任意的，其中，系统(2.1)过点有解曲线满足。令，则得到映射。考察导算子，因。又由于，故有，其中表示阶单位方阵。于是导算子。由反函数定理知，在的一个邻域，为局部微分同胚。取的邻域。由于均为微分同胚，因而也是微分同胚，且它将中(2.1)的常点的邻域内的流映射为中开集内的一族平行于轴的直线段（见图2.1）。证毕。图2.1对于离散系统的常点，有类似结论。只需改为：在常点邻近的离散轨道在微分同胚之下，都相应分布在一族平行直线段上。2.2平衡点及其动态特性2.2.1基本概念考虑以下非线性常微分方程定义的动力系统：定义2.1假设是系统(2.1)的一个平衡点，它是“稳定的”是指：如果对的任一个邻域，存在—个子邻域，使沿系统(2.1)的任何—个满足初始条件：的解对皆在存在且位于之中(图2.2)。进而，如果可选得一个，使得对任何都有那么被称为是浙近稳定的平衡点或汇(图2.3)。图2.2稳定平衡点图2.3渐近稳定平衡点定义2.2假设是系统(2.1)的一个平衡点，且没有零特征值和纯虚数特征值，那么被称为是双曲型的平衡点或非退化平衡点。显然，对双曲型平衡点而言如果所有特征值皆有负实部，那么是渐近稳定平衡点，而当的特征值中某些具有负实部，另一些却具有正实部时，是不稳定的，它被称为鞍点(saddle)；进而，如果所有持征值皆有正实部，那么是不稳定平衡点，此时被称之为源(source)。例题2.1(Lienard方程)考虑的平衡点及其稳定性。易推得，Lienard方程的等价形式为其中，。从定义可知，该方程平衡点是，同时该系统在平衡点处Jacobian矩阵为其两个特征值没分别是所以，当时，平衡点是汇；而时，是源。2.2.2平衡点稳定性分析对于双曲型平衡点而言，其稳定性完全可以由相应的线性化系统来判断。假设是系统(1.1)的一个平衡点，那么在点系统的线性化系统定义为其中是的Jacobian矩阵，。以下定理给出了—个十分有用的结论，即双曲型平衡点的稳定性与其相应的线性近似系统在原点的稳定性—样。定理2.2如果没有零或纯虚数特征值，那么存在一对一连续可逆变换(称之为同胚)，它定义于中的某个邻域之内，将非线性方程的解映射为相应线性方程(1.2)的解，并保持解的性态不变。以上定理的证明可以在HartmanP．在1964年出版的专著中找到。这里不再引述。然而，当不是双曲型不动点时，就无法应用上述定理，从线性化系统来判断其稳定性，下面的Liapunov定理给出了—条途径。定理2.3假设是系统(2.1)的一个平衡点，如果存在一个可微函数，它定义于的某个邻域内，且①，当时。②，在中，其中是(2.1)的轨线。那么是稳定的。进而，如果在中，那么是渐近稳