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文档简介

向量参数曲面及其面积变换参数曲面定义：用两个参数u和v的向量函数r(u,v)表示一个曲面，假定是一个定义在平面上的区域D上的向量值函数，则的分量函数是区域D上的关于和v的函数，上所有满足点的集合称为参数曲面S，其中u和v在D上变化。切平面我们求一个向量函数，表示参数曲面S在位置向量为的点的切平面如果我们取，即为常数，那么是一个关于参数的向量函数，定义在S上的一条网格线，如图（a），在点的切向量通过对关于秋偏导得：（1)v。。0u同样，当取时，表示S上的一条网格线，它在的切向量为：（2）如果非零，那么曲面S称为光滑的，因此，对一个光滑曲面切平面是一个包含和的平面，且是切平面的一个法向量。曲面面积我们从一般的参数曲面面积开始，为简单起见，从参数域D为矩形的曲面谈起，将D分成小矩形块，令为的左下角，如图（b）,曲面S对应于的那部分称为面积片，且位置向量以点为一个顶点，设，它们分别为公式（1）（2）的切向量（d）图给出在相交的面积片的两条边是怎样由两个向量近似，接着这些向量可由近似，因此，我们可以用行四边形面积为确定的平行四边形去近似，如图（c）,且在点S的切平面中，这个平S的面积近似为实质上这个二重和是二重积分的黎曼和。定义：如果一个光滑的参数曲面S由下面的方程给出且当在整个参数域D上变化时，S只覆盖一次，那么S的面积为应用：求半径为的球面面积。解：由球面参数方程有：于是对于显形方程只是上面的一种特殊情况，它的参数方程为：于是（3）曲面面积变换由《数学分析》page253知：=其中为曲面的法向量与轴正向夹角的余弦，这里不再证明。其实由上面的（3）式的推导可知：对于一般的向量参数方程：，其中在D上具有连续的一阶偏导数，不全为零。由前面的（1）（2）两式有：其中为法线方向数。因此，我们有法向量n与z轴的夹角的余弦绝对值为=（5）其中这就是所谓的高斯系数。我们记上面的（4）式对应坐标系数为A,B,C,即则参数曲面的法线方向余弦可表示为：由上面的（3）（4）（5）式推知有下面的等式成立=(6)对应相等可知结论:由向量函数的定义可知，曲面的参数方程是n=2,m=3的向量函数，我们把三维（x,y,z）空间转换到二维uov平面上，其中由变换系数能够推导出空间面积变换系数的所有表达形式。参考文献：《数学分析》下册第三

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