山东省威海市皇冠中学2022年度高三数学理模拟试卷含解析

山东省威海市皇冠中学2022年度高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等差数列的前n项和为，若，则等于（

）A.52

B.54

C.56

D.58参考答案：A2.已知且，则必有（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.复数的模为（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略4.已知向量，则等于

A．

B．10

C．

D．5参考答案：D略5.已知向量与向量夹角为，且，，则=(

)A． B． C．1 D．2参考答案：C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题；方程思想；平面向量及应用．【分析】，可得==0，代入解出即可．【解答】解：∵，∴==3﹣2×=0，解得=1．故选：C．【点评】本题查克拉向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.已知向量，不共线，=k+，（k∈R），=﹣如果∥那么(

)A．k=﹣1且与反向 B．k=1且与反向C．k=﹣1且与同向 D．k=1且与同向参考答案：A【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据条件和向量共线的等价条件得，，把条件代入利用向量相等列出方程，求出k和λ的值即可．【解答】解：∵，∴，即k=，得，解得k=λ=﹣1，∴=﹣=﹣，故选A．【点评】本题考查了向量共线的等价条件，向量相等的充要条件应用，属于基础题．7.如图，某校一文化墙上的一幅圆形图案的半径为6分米，其内有一边长为1分米的正六边形的小孔，现向该圆形图案内随机地投入一飞镖(飞镖的大小忽略不计)，则该飞镖落在圆形图案的正六边形小孔内的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：B因为圆形图案的面积为，正六边形的面积为，所以该飞镖落在圆形图案的正六边形小孔内的概率为.试题立意：本小题考查几何概型等基础知识；考查数学文化，数据处理，数形结合.8.已知a、b为正实数，直线y=x﹣a与曲线y=ln（x+b）相切，则的取值范围是（）A．（0，） B．（0，1） C．（0，+∞） D．[1，+∞）参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用．【分析】求函数的导数，利用导数构造函数，判断函数的单调性即可．【解答】解：函数的导数为y′==1，x=1﹣b，切点为（1﹣b，0），代入y=x﹣a，得a+b=1，∵a、b为正实数，∴a∈（0，1），则=，令g（a）=，则g′（a）=，则函数g（a）为增函数，∴∈（0，）．故选：A【点评】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．9.已知是锐角的三个内角，向量，，则与的夹角是A．锐角

B．钝角

C．直角

D．不确定参考答案：A解析：锐角中，，故有，同时易知与方向不相同，故与的夹角是锐角．10.若点P(cosα，sinα)在直线y＝－2x上，则sin2α＋2cos2α的值是

()A．－2

B．

C． D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.抛物线上的点到焦点的距离为2，则

．参考答案：212.已知(a>0)，则

.参考答案：413.若x≥0，y≥0，且，则的最小值是

．参考答案：14.已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，执行如图所示的程序框图，输出的值是

．参考答案：

【知识点】程序框图．L1解析：因为，即过A点的切线斜率为，与直线垂直，可得=－1从而，，程序的算法中，，跳出循环时．故答案为6.【思路点拨】求导数，根据导数的几何意义，结合函数f（x）=x2﹣ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y=0垂直，建立方程，即可求出a的值，从而可求f（x）解析式，模拟运行程序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=时，满足条件S＞，退出循环，输出k的值为6，从而得解．15.直线l1：（a+3）x+y﹣3=0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4=0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a=．参考答案：﹣2【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【分析】先分别求出两直线的方向向量，然后根据l1的方向向量是l2的法向量，则两直线的方向向量垂直，最后根据互相垂直的向量的数量积为0，从而求出所求．【解答】解：∵直线l1：（a+3）x+y﹣3=0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4=0，∴直线l1的方向向量为=（1，﹣（a+3）），直线l2的方向向量为=（1，），∵l1的方向向量是l2的法向量，∴两直线的方向向量垂直，即?=1×1+（﹣a﹣3）×=0，解得a=﹣2，∴实数a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了直线的方向向量与法向量，以及利用空间向量数量积的运算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．16.如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别是边AB，AC上的点，且DE=2，则的最小值等于．参考答案：【考点】7F：基本不等式．【分析】由∠BAC=60°想到三角形面积公式，可设AD=x，AE=y，利用余弦定理与重要不等式求解．【解答】解：设AD=x，AE=y（0＜x≤4，0＜y≤3），由余弦定理得DE2=x2+y2﹣2xycos60°，即4=x2+y2﹣xy，从而4≥2xy﹣xy=xy，当且仅当x=y=2时等号成立．所以，即的最小值为．故答案为．17.若复数(1+2i)(1+ai)是纯虚数，(i为虚数单位)，则实数a的值是

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：0000（1）请写出上表的、、，并直接写出函数的解析式；（2）将的图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象，、分别为函数图象的最高点和最低点（如图），求的大小.

参考答案：解：（1），，……………3分…………6分（2）将的图像沿轴向右平移个单位得到函数……7分因为、分别为该图像的最高点和最低点，所以…………8分所以…………………9分……………10分…………………11分所以……………12分

法2：

法3：利用数量积公式，。

略19.设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|（Ⅰ）若f（0）≥1，求a的取值范围；（Ⅱ）求f（x）在[﹣2，2]上的最小值．参考答案：【考点】分段函数的应用；函数的值域．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）原不等式即为﹣a|a|≥1，考虑a＜0，解二次不等式求交集即可；（Ⅱ）将函数f（x）改写为分段函数，讨论当a≥0时，①﹣a≤﹣2，②﹣a＞﹣2，当a＜0时，①≤﹣2，②＞﹣2，运用二次函数的单调性，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）若f（0）≥1，则﹣a|a|≥1??a≤﹣1，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1]；

（Ⅱ）函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|=，当a≥0时，①﹣a≤﹣2即a≥2时，f（x）在[﹣2，2]上单调递增，所以f（x）min=f（﹣2）=4﹣4a﹣a2；

②﹣a＞﹣2即0≤a＜2时，f（x）在[﹣2，﹣a]上单调递减，在[﹣a，2]上单调递增，所以f（x）min=f（﹣a）=﹣2a2；

当a＜0时，①≤﹣2即a≤﹣6时，f（x）在[﹣2，2]上单调递增，所以f（x）min=f（﹣2）=12+4a+a2；

②＞﹣2即﹣6＜a＜0时，f（x）在[﹣2，]上单调递减，在[，2]上单调递增，所以f（x）min=f（）=，综上可得，f（x）min=【点评】本题考查绝对值函数的运用，考查分类讨论的思想方法，考查二次函数在闭区间上的最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．20.（本小题满分10分）选修4—1，几何证明选讲如图所示，圆的两弦和交于点，∥，交的延长线于点，切圆于点.

(1)求证：△∽△；(2)如果，求的长．参考答案：【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定．N1（1）见解析；（2）1解析：（1）

∽

（2）∽又因为为切线，则所以，.

【思路点拨】（1）由同位角相等得出∠BCE=∠FED，由圆中同弧所对圆周角相等得出∠BAD=∠BCD，结合公共角∠EFD=∠EFD，证出△DEF∽△EFA（2）由（1）得EF2=FA?FD，再由圆的切线长定理FG2=FD?FA，所以EF=FG=1。21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）法一：由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用，化简可得cosA，结合范围A∈（0，π），由特殊角的三角函数值即可得解A的值．法二：由已知及余弦定理，整理可求cosA，结合范围A∈（0，π），由特殊角的三角函数值即可得解A的值．（Ⅱ）利用三角形面积公式可求bc的值，进而利用余弦定理可求b2+c2=8，联立即可得解b，c的值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）法一：由（2b﹣c）cosA﹣acosC=0及正弦定理得（2sinB﹣sinC）cosA﹣sinAcosC=0，所以2sinBcosA﹣sin（A+C）=0，…因为sinB=sin（A+C）＞0，所以，…因为A∈（0，π），所以．…法二：由（2b﹣c）cosA﹣aco