内蒙古自治区赤峰市喀旗惠民中学2022高三数学理联考试题含解析

内蒙古自治区赤峰市喀旗惠民中学2022高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.正方体ABCD—A1B1C1D1的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取两点连成直线，在这些直线中任取一条，它与BD1垂直的概率为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案:D2.下列命题中，真命题的个数有 ①；

②； ③“”是“”的充要条件；④是奇函数. （A）1个

（B）2个

（C）3个 （D）4个参考答案：C略3.设为两个非零向量，则“”是“与共线”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件参考答案：A4.设，，，且，则函数的最大值为

．参考答案：略5.对于R上可导的任意函数，若满足，则必有

A．

B．

C．

D．参考答案：A当时，，此时函数递减。当时，，此时函数递增，即当，函数取得极小值同时也是最小值，所以，即，选A.6.点A，B，C，D在同一个球面上,，AC=2，若球的表面积为，则四面体ABCD体积最大值为

A．

B．

C.

D．2参考答案：C7.抛物线y＝2ax(a≠0)的焦点是(

)

A.(，0) B.(，0)或(－，0) C.(0，) D.(0，)或(0，－)参考答案：【知识点】抛物线的几何性质

H7【答案解析】C

解析：抛物线的方程化成标准形式为：，其焦点在轴上，所以焦点坐标为，故答案为：C【思路点拨】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标。8.已知集合，则满足条件集合C的个数为（

）A．

4

B．

3

C．

2

D．1参考答案：A由指数函数的性质可得集合，集合，满足条件集合为：，，共个，故选A.

9.已知集合，，（

）A．

B．

C．

D．.以上都不对参考答案：B10.已知，则下列不等式正确的是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.中，所对的边长分别为，且，，则参考答案：2略12.定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足xf'（x）+f（x）＞x，则不等式的解集为．参考答案：（﹣∞，8）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】利用已知条件构造函数，通过不等式转化求解即可．【解答】解：定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足xf'（x）+f（x）＞x，不妨取f（x）=1+，则不等式，化为：（x﹣4）（1+）﹣4×3＜，解得x＜8；故答案为：（﹣∞，8）．13.如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,若要包装盒容积V(cm3)最大,则EF长为

cm．参考答案：2014.已知三棱锥P-ABC外接球的表面积为100π，PA⊥面，则该三棱锥体积的最大值为____。参考答案：【分析】根据球的表面积计算出球的半径.利用勾股定理计算出三角形外接圆的半径，根据正弦定理求得的长，再根据圆内三角形面积的最大值求得三角形面积的最大值，由此求得三棱锥体积的最大值.【详解】画出图像如下图所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.设球的半径为，三角形外接圆的半径为，则，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形为等边三角形，其高为.由于为定值，而三角形的高等于时，三角形的面积取得最大值，由于为定值，故三棱锥的体积最大值为.【点睛】本小题主要考查外接球有关计算，考查三棱锥体积的最大值的计算，属于中档题.15.三棱锥S－ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为_____。参考答案：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC边上的高为2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故答案为：4

16.右方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为l5，乙组数据的平均数为16．8，则x+y的值为

参考答案：1317.已知函数f(x)=x3+ax2-2x在区间(-1,+∞)上有极大值和极小值，则实数a的取值范围是__________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数依次为1，2，…，8，其中为标准A，为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准（1）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示：56780.40.1

且的数字期望，求，的值；（2）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3

5

3

3

8

5

5

6

3

46

3

4

7

5

3

4

8

5

38

3

4

3

4

4

7

5

6

7

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望．

（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；②“性价比”大的产品更具可购买性．参考答案：（1）；（2）；（3）详见解析.

（2）由已知得，样本的频率分布表如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数的概率分布列如下：∴，即乙厂产品的等级系数的数学期望等于；（3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，∴其性价比为，∵乙厂产品的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，∴其性价比为，据此，乙厂的产品更具可购买性.考点：离散型随机变量的概率分布及其期望．19.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．参考答案：【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由⊙C的方程可得：，利用极坐标化为直角坐标的公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出．．（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入⊙C的方程得到关于t的一元二次方程，即可得到根与系数的关系，根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|即可得出．【解答】解：（I）由⊙C的方程可得：，化为．（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入⊙C的方程得=0，化为．∴．（t1t2=4＞0）．根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=．20.已知函数的图象在点处的切线方程为.

(Ⅰ)求的值及的单调区间(Ⅱ)是否存在实数，使得射线与曲线有三个公共点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由(Ⅲ)设，为正实数，且，证明：参考答案：（Ⅰ）a=1,的递增区间为；递减区间为.（Ⅱ），存在实数k使得射线y=kx()与曲线有三个交点，且k的取值范围是.(Ⅲ)证明：见解析.【知识点】导数的几何意义，导数的应用.

B12解析：（Ⅰ）因为，所以因为曲线在点处切线方程为y=-x,所以，即.

于是.由，即，解得或；由，即，解得所以的递增区间为；递减区间为.（Ⅱ）由，消去y得，即x=0或.要使射线y=kx()与曲线有三个交点，只要方程，即有两个大于或等于-3且不等于0的不等实根.1

当k=0时，可化为-x+1=0,解得x=1,不符合要求；2

当k≠0时，令.由，即，即解得且.综上，存在实数k使得射线y=kx()与曲线有三个交点，且k的取值范围是.(Ⅲ)证明：因为，，所以，.所以曲线在点处的切线方程为.当0<x<1时，故.因为，且，所以n.

所以所以即故.【思路点拨】（Ⅰ）根据导数的几何意义求a值，然后把a值代入原函数，利用导数求得单调区间；（II）把问题转化为一元二次方程的实根分布情况求解；(Ⅲ)因为，，所以，.所以曲线在点处的切线方程为.当0<x<1时，这说明在区间（0,1）上，曲线在切线的上方，由已知得：n.所以再由累加法得所证结论.

21.已知函数.(1)若，求实数的取值范围;(2)若R,

求证：.参考答案：(1)因为，所以.

………1分

①当时，得，解得，所以;……………2分

②当时，得，解得，所以;……………3分③当时，得，解得，所以;

……………4分综上所述，实数的取值范围是.

………5分(2)因为R,

所以……………7分

……………………8分

……………………9分

.

……………………10分22.（本题满分12分）

一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义