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上海市民立中学2021-2022学年高二数学理模拟试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.对两个变量y和x进行回归分析,得到一组样本数据:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则下列说法中不正确的是()A.由样本数据得到的回归方程为=x+必过样本点的中心(,)B.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好C.用相关指数R2来刻画回归效果,R2的值越小,说明模型的拟合效果越好D.若变量y和x之间的相关系数r=-0.9362,则变量y和x之间具有线性相关关系参考答案:C2.已知,(e是自然对数的底数),,则a,b,c的大小关系是A. B.C. D.参考答案:A【分析】由题,易知,构造函数,利用导函数求单调性,即可判断出a、b、c的大小.【详解】由题,,,所以构造函数当时,,所以函数在是递增的,所以所以故选A3.函数的导函数是()A. B.C. D.参考答案:D【分析】根据导数的公式即可得到结论.【详解】解:由,得故选:D.【点睛】本题考查了导数的基本运算,属基础题.

4.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是()A. B. C. D.参考答案:D【考点】异面直线及其所成的角.【分析】由AC∥A1C1,知∠C1A1B是异面直线A1B与AC所成角(或所成角的补角),由此能求出异面直线A1B与AC所成角的余弦值.【解答】解:连结BC1,∵AC∥A1C1,∴∠C1A1B是异面直线A1B与AC所成角(或所成角的补角),∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,∴AB=,,BC1==,A1C1=1,∴cos∠C1A1B===,∴异面直线A1B与AC所成角的余弦值为.故选:D.【点评】本题考查异面直线所成角的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.5.连掷两次骰子得到的点数分别为和,记向量与向量的夹角为,则的概率是(

)A.

B.

C.

D.参考答案:C略6.用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时,结论的否定是()A.没有一个内角是钝角 B.有两个内角是钝角C.有三个内角是钝角 D.至少有两个内角是钝角参考答案:D【考点】2J:命题的否定.【分析】写出命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定即可【解答】解:命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是“至少有两个内角是钝角”故选D.【点评】本题考查命题的否定,命题中含有量词最多,书写否定是用的量词是至少,注意积累这一类量词的对应.7.将选项中所示的三角形绕直线l旋转一周,可以得到下图所示的几何体的是(

)A. B. C. D.参考答案:B【分析】由几何体的轴截面特征直接判断即可。【详解】由题可得:该几何体的轴截面是关于直线对称的,并且的一侧是选项B中的三角形形状。故选:B【点睛】本题主要考查了空间思维能力及关于直线旋转的几何体特征,属于基础题。8.已知圆x2+y2﹣2x+6y=0,则该圆的圆心及半径分别为()A.(1,﹣3),﹣10 B.(1,﹣3), C.(1,3),﹣10 D.(1,3),﹣参考答案:B【考点】圆的一般方程.【分析】利用圆的一般方程的性质能求出圆C:x2+y2﹣2x+6y=0的圆心和半径.【解答】解:∵圆C:x2+y2﹣2x+6y=0,∴圆心坐标为(1,﹣3),半径r==,故选B.9.已知集合,集合,则(

)A.

B.

C.

D.参考答案:C10.已知是椭圆的左焦点,是椭圆上的一点,轴,(为原点),则该椭圆的离心率是(

)A.

B.

C.

D.参考答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数,当时,给出下列几个结论:①;②;③;④当时,.其中正确的是

(将所有你认为正确的序号填在横线上).参考答案:③④12.已知,,试通过计算,,,的值,推测出=___________参考答案:13.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x的取值范围是.参考答案:[1,2)【考点】元素与集合关系的判断;四种命题的真假关系.【分析】原命题是假命题可转化成它的否命题是真命题进行求解,求出满足条件的x即可.【解答】解:若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题则它的否命题为真命题即{x|x<2或x>5}且{x|1≤x≤4}是真命题所以的取值范围是[1,2),故答案为[1,2).14.已知Z是纯虚数,是实数,(i是虚数单位),那么z=

.参考答案:﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】设纯虚数z=mi(m≠0),代入并整理,由虚部等于0求得m的值,则答案可求.【解答】解:设z=mi(m≠0),则=.∵是实数,∴2+m=0,m=﹣2.∴z=﹣2i.故答案为:﹣2i.15.已知数列{an}为,.若数列{an}为等差数列,则________.参考答案:试题分析:,两边同乘以x,则有,两边求导,左边=,右边=,即(*),对(*)式两边再求导,得取x=1,则有∴考点:数列的求和16.已知椭圆(),圆:,过椭圆上任一与顶点不重合的点引圆的两条切线,切点分别为,直线与轴、轴分别交于点,则

.参考答案:.17.如图,是从参加低碳生活知识竞赛的学生中抽出60名,将其成绩整理后画出的频率分布直方图,则这些同学成绩的中位数为_______.(保留一位小数)

参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q是AD的中点.(1)若PA=PD,求证:平面PQB⊥平面PAD;(2)若平面APD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,在线段PC上是否存在点M,使二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°.若存在,试确定点M的位置,若不存在,请说明理由.参考答案:【考点】与二面角有关的立体几何综合题;平面与平面垂直的判定.【分析】(1)由已知得PQ⊥AD,BQ⊥AD,由此能证明平面PQB⊥平面PAD.(2)以Q为坐标原点,分别以QA,QB,QP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意.【解答】(1)证明:∵PA=PD,Q为AD的中点,∴PQ⊥AD,又∵底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,∴BQ⊥AD,又PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PQB,又∵AD?平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD.(2)解:∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PQ⊥AD,∴PQ⊥平面ABCD,以Q为坐标原点,分别以QA,QB,QP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图则Q(0,0,0),P(0,0,),B(0,,0),C(﹣2,,0)设,0<λ<1,则M(﹣2λ,,),平面CBQ的一个法向量=(0,0,1),设平面MBQ的法向量为=(x,y,z),由,得=(,0,),∵二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°,∴cos60°=|cos<>|=||=,解得,∴=,∴存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意.【点评】本题考查平面与平面垂直的证明,考查满足条件的点是否存在的判断与证明,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.19.一个容量为M的样本数据,其频率分布表如表.分组频数频率(10,20]20.10(20,30]3

0.15(30,40]40.20(40,50]

5

0.25(50,60]40.20(60,70]20.10合计

201.00(Ⅰ)完成频率分布表;(Ⅱ)画出频率分布直方图;(Ⅲ)利用频率分布直方图,估计总体的众数、中位数及平均数.参考答案:【考点】频率分布表;频率分布直方图;众数、中位数、平均数.【分析】(1)根据小组(10,20]的频数与频率,求出样本容量,再求出各小组对应的数据,补充完整频率分布表;(2)根据频率分布表,画出频率分布直方图;(3)根据频率分布直方图,求出众数、平均数与中位数.【解答】解:(1)在小组(10,20]中,频数是2,频率是0.10,∴样本数据为=20;∴小组(20,30]的频率为=0.15;小组(40,50]的频数为20﹣2﹣3﹣4﹣4﹣2=5,频率为=0.25;频数合计为20;由此补充频率分布表如下:分组频数频率(10,20]20.10(20,30]30.15(30,40]40.20(40,50]50.25(50,60]40.20(60,70]20.10合计201.00(2)根据频率分布表,画出频率分布直方图如下:(3)根据频率分布直方图,得;图中最高的小矩形的底边中点坐标是=45,∴众数为45;平均数为=15×0.1+25×0.15+35×0.20+45×0.25+55×0.20+65×0.10=41;∵0.10+0.15+0.20=0.45<0.5,0.45+0.25=0.70>0.5,令0.45+0.25×x=0.5,解得x=2,∴中位数为40+2=42.【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题,解题时应利用分布直方图进行有关的运算,是基础题目.20.(本题满分14分)已知菱形ABCD的边长为2,对角线AC与BD交于点O,且,E为BC中点,将此菱形沿对角线BD折成二面角A-BD-C.(1)求证:面AOC面BCD.(2)当二面角A-BD-C大小为时,求直线AE与面AOC所成角的余弦值参考答案:证明:∵四边形ABCD为菱形∴对角线相互垂直平分由BDOA,BDOC

OA面AOC

OC面AOC∴BD面AOC又BD面BCD

∴面AOC面BCD……7′

由OABD

OCBD∴∠AOC就是二面角A-BD-C的平面角∴∠AOC=60

易得⊿AOC为正三角形,在菱形ABCD中由边长为2,∠ABC=120易得OB=1,过E作EF∥OB交OC于F,则EF⊥OC∴EF⊥面AOC,连AF,∴∠EAF就是AE与面AOC所成的角,在Rt⊿AEF中,AF=

EF=

得AE=∴cos∠EAF=,∴AE与面AOC所成的角的余弦为.…………….14′21.已知椭圆的极坐标方程为,点,为其左右焦点.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参

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