高中数学人教A版5柯西不等式与排序不等式

第三讲一一、选择题1．已知3x＋y＝10，则x2＋y2的最小值为()\f(1,10) B．1C．10 D．100答案：C2．设实数x，y满足3x2＋2y2≤6，则2x＋y的最大值为()\r(11) B．4C．2eq\r(3) \r(13)解析：由柯西不等式知(2x＋y)2≤(eq\f(4,3)＋eq\f(1,2))(3x2＋2y2)≤eq\f(11,6)×6＝11，∴2x＋y≤eq\r(11).答案：A3．已知p，q∈R＋，且p3＋q3＝2，则p＋q的最大值为()A．2 B．8\f(1,2) D．4解析：设m＝(peq\f(3,2)，qeq\f(3,2))，n＝(peq\f(1,2)，qeq\f(1,2))则p2＋q2＝peq\f(3,2)peq\f(1,2)＋qeq\f(3,2)qeq\f(1,2)＝|m·n|≤|m|·|n|＝eq\r(p3＋q3)·eq\r(p＋q)＝eq\r(2)eq\r(p＋q)又(p＋q)2≤2(p2＋q2)∴eq\f(p＋q2,2)≤p2＋q2≤eq\r(2)eq\r(p＋q)∴eq\f(p＋q2,2)≤eq\r(2)eq\r(p＋q)则(p＋q)4≤8(p＋q)即(p＋q)3≤8.∴p＋q≤2.答案：A4．下面几个不等式正确的个数是()(1)a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2；(2)a2＋b2＋c2＋d2≥ab＋bc＋cd＋da(a，b，c，d∈R)；(3)若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)；(4)若a，b∈(0，＋∞)，则(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))≥4.A．1个 B．2个C．3个 D．4个答案：D二、填空题5．求方程eq\r(4x＋3)＋2eq\r(1－2x)＝eq\r(15)的解为________．解析：将原方程变形为：15＝(eq\r(2)·eq\r(2x＋\f(3,2))＋2·eq\r(1－2x))2≤[(eq\r(2))2＋22][(eq\r(2x＋\f(3,2)))2＋(eq\r(1－2x))2]＝15，其中等号成立的充要条件是eq\f(\r(2x＋\f(3,2)),\r(2))＝eq\f(\r(1－2x),2)，解得x＝－eq\f(1,3).答案：x＝－eq\f(1,3)6．已知2x2＋y2＝1，则2x＋y的最大值是________．解析：由柯西不等式得2x＋y≤eq\r(2＋12x2＋y2)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)三、解答题7．解方程eq\r(2x－1)＋3eq\r(3－2x)＝2eq\r(5).解析：原方程变形为(eq\r(2x－1)＋3eq\r(3－2x))2＝20，由柯西不等式，得(eq\r(2x－1)＋3eq\r(3－2x))2≤(12＋32)·(2x－1＋3－2x)＝20，其中等号成立的条件是eq\f(\r(2x－1),1)＝eq\f(\r(3－2x),3)，解得x＝eq\f(3,5).8．若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值，并求最小值点．解析：由柯西不等式(4x2＋9y2)(22＋22)≥(4x＋6y)2＝4，∴4x2＋9y2≥eq\f(1,2).当且仅当eq\f(2x,2)＝eq\f(3y,2)，即2x＝3y时取等号．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝3y，,2x＋3y＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4)，,y＝\f(1,6).))于是4x2＋9y2的最小值为eq\f(1,2)，最小值点为(eq\f(1,4)，eq\f(1,6))．9．已知：α，β，γ为空间向量．证明：|α－β|＋|β－γ|≥|γ－α|.证明：设α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，γ＝(c1，c2，c3)，则α－β＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，β－γ＝(b1－c1，b2－c2，b3－c3)，γ－α＝(c1－a1，c2－a2，c3－a3)，则|α－β|＝eq\r(a1－b12＋a2－b22＋a3－b32)，|β－γ|＝eq\r(b