在自然界和实际生活中,我们会遇到各种各样的现象

第三章概率3.1随机事件的概率在自然界和实际生活中，我们会遇到各种各样的现象．如果从结果能否预知的角度来看，可以分为两大类：

另一类现象的结果是无法预知的，即在一定的条件下，出现那种结果是无法预先确定的，这类现象称为随机现象．

一类现象的结果总是确定的，即在一定的条件下，它所出现的结果是可以预知的，这类现象称为确定性现象；我们来看下面的一些事件：（1）“导体通电时，发热”；（2）“抛一块石头，下落”；（3）“标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；（4）“海南七月下雪”；（5）“某人射击一次，中靶”；（6）“掷一枚硬币，出现正面”。上面事件发生与否，各有什么特点？一.随机事件:在一定条件S下,一定会发生的事件,叫做相对于条件S的必然事件,简称必然事件.在一定条件S下,一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件,简称不可能事件.在一定条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件；简称随机事件.注意：随机事件要搞清楚什么是随机事件的条件和结果。

事件的结果是相应于“一定条件而言的。因此，要弄清某一随机事件必须明确何为事件发生的条件，何为在此条件下产生的结果。

必然事件和不可能事件统称确定事件。确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母A,B,C……表示.

例1:指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件?(1)某同学竞选学生会主席的成功性；（2）当x是实数时，x2≥0;（3）技术充分发达后,不需要任何能量的“永动机”将会出现；（4）一个电影院某天的上座率超过50%.（5）某人给朋友打电话，却忘记了电话号码的最后一个数，就随意的按了一个数字，刚好是朋友的电话号码。二.概率的定义: 对于随机事件,知道它发生的可能性大小是非常重要的.用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们的决策提供关键性的依据.那么,如何才能获得随机事件发生的概率呢? 必然事件发生的概率为1;不可能事件发生的概率为0;随机事件发生的概率P(A)∈(0,1).1.掷硬币试验:第一步:……第二步:……第三步:……第四步:请把全班每个同学的试验中正面朝上的次数收集起来,并用条形图表示.正面出现次数的频数表第五步:请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性.

随着试验次数的增加,正面朝上的频率稳定于0.5附近.★频数与频率： 在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数； 称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.频率的取值范围是[0,1].2.由特殊的事件转到一般事件: 一般说来,随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A发生的频率会逐渐稳定在区间[0,1]中的一个常数上.3.解释这个常数代表的意义: 这个常数越接近于1,表明事件A发生的频率越大,频数就越多,也就是它发生的可能性越大;反过来,事件发生的可能性越小,频数就越少,频率就越小,这个常数也就越小. 因此,我们可以用这个常数来度量事件A发生的可能性的大小. 对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。因此,可以用频率fn(A)来估计概率P（A）.频率与概率的区别与联系：

(1)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.在实际问题中,通常事件的概率未知,常用频率作为它的近似值.

(2)频率本身是随机的,在试验前不能确定.

(3)概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关. 比如一辆汽车在一年内出交通事故的概率就是未知的,保险公司收取汽车的保险费就与此概率有关,一般以当地交通部门的统计数据为依据,得到该事件发生的频率作为一年内出交通事故的概率的估计值.做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同,比如全班每人做了10次掷硬币的试验,但得到正面朝上的频率可以是不同的. 比如,如果一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率就是0.5,与做多少次试验无关.注意以下几点：

（1）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；

（3）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；（2）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件的概率；（4）概率反映了随机事件发生的可能性的大小；（5）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．因此．

三.求随机事件概率的必要性: 知道事件的概率可以为人们做决策提供依据.

概率是用来度量事件发生可能性大小的量.小概率事件很少发生,而大概率事件经常发生.例如天气预报报道“今天降水的概率是10%”,可能绝大多数人出门都不会带雨具;而如果天气预报报道“今天降水的概率是90%”,那么大多数人出门都会带雨具.例1盒中装有4个白球5个黑球，从中任意的取出一个球。

（1）“取出的是黄球”是什么事件？概率是多少？

（2）“取出的是白球”是什么事件？概率是多少？

（3）“取出的是白球或者是黑球”是什么事件？概率是多少？是不可能事件，概率是0是随机事件，概率是4/9是必然事件，概率是1例2某射击手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数n102050100200500击中靶心次数m9194592178455击中靶心的频率（1）填写表中击中靶心的频率；（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？0.920.900.950.900.910.89解（2）由于频率稳定在常数0.90，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.90。 小结：概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而估计。例3某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶，则此人中靶的概率大约是________，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为______,中10环的概率约为_________.0.90.90.2课堂练习：1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是（）

A．必然事件B．随机事件

C．不可能事件D．无法确定2．下列说法正确的是（）

A．任一事件的概率总在（0.1）内

B．不可能事件的概率不一定为0 C．必然事件的概率一定为1D．以上均不对BC

课堂小结1.随机事件;2.频数和频率;3.概率;4.频率与概率的区别与联系.3.1.2概率的意义3.〖教学情境设计〗

[复习回顾]你能回忆一下随机事件发生的概率的定义吗? 对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。1.概率的正确理解:

〖思考1〗有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5,那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币,一定是一次正面朝上,一次反面朝上,你认为这种想法正确吗?做做试验试试看. 点评:这种想法是错误的.因为连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币仅仅是做两次重复的试验,试验的结果仍然是随机的,当然可以两次均出现正面朝上或两次均出现反面朝上.

〖思考2〗连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币,你能说说:两次均正面朝上、一次正面朝上,一次反面朝上、两次均反面朝上的概率分别是多少吗? 因为连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币,可能出现的结果有四种:正正、正反、反正、反反.所以P(两次均正面朝上)=0.25; P(两次均反面朝上)=0.25; P(一次正面朝上,一次反面朝上)=0.5.

〖思考3〗做连续抛掷两枚质地均匀的硬币100次,预测一下“两个正面朝上”、“一个正面朝上,一个反面朝上”、“两个反面朝上”大约各出现多少次? 因为同时抛掷两枚质地均匀的硬币,可能出现的结果有四种:正正、正反、反正、反反.所以P(两个均正面朝上)=0.25; P(两个均反面朝上)=0.25; P(一个正面朝上,一个反面朝上)=0.5.

做连续抛掷两枚质地均匀的硬币100次,可以预见“两个正面朝上”大约出现25次、“一个正面朝上,一个反面朝上”大约出现50次、“两个反面朝上”大约出现25次.出现“一个正面朝上,一个反面朝上”的机会要大.归纳小结:

随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性.认识了这种随机性中的规律性,就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性. 例如:把同样大小的9个白色乒乓球和1个黄色乒乓球放在一个不透明的袋子中,每次摸出1球后放回袋中,这样摸10次, (1)每次摸到白球的可能性大还是黄球的可能性大? (2)摸的10次中是否一定至少有1次摸到黄球? 点评:每次摸到白球的概率是0.9,而每次摸到黄球的概率为0.1,因此每次摸到白球的可能性要大.

尽管每次摸到黄球的概率为0.1,但摸10次球,不一定能摸到黄球.

〖思考4〗如果某种彩票的中奖率为,那么买1000张这种彩票一定能中奖吗?(假设该彩票有足够多的张数.)请用概率的意义解释. 点评:不一定.因为每张彩票是否中奖是随机的,1000张彩票有几张中奖也是随机的.这就是说,每张彩票既可能中奖也可能不中奖,因此1000张彩票中可能没有一张中奖,也可能有一张、两张乃至多张中奖. 虽然中奖张数是随机的,但这种随机性中具有规律性.即随着所买彩票张数的增加,其中中奖彩票所占的比例可能越接近于1/1000.2.游戏的公平性: 在各类游戏中,如果每人获胜的概率相等,那么游戏就是公平的.这就是说,是否公平只要看获胜的概率是否相等. 例:在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其公平性. 解：这个规则是公平的，因为抽签上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5。 小结：事实上，只要能使两个运动员取得先发球权的概率都是0.5的规则都是公平的。3.决策中的概率思想:

〖思考1〗连续掷硬币100次,结果100次全部是正面朝上,出现这样的结果,你会怎样想?如果有51次正面朝上,你又会怎样想?

〖思考2〗如果一个袋中或者有99个红球,1个白球,或者有99个白球,1个红球,事先不知道到底是哪种情况.一个人从袋中随机摸出1球,结果发现是红球,你认为这个袋中是有99个红球,1个白球,还是有99个白球,1个红球呢?

〖思考3〗如果连续10次掷一枚正方体骰子,结果都是出现1点.你认为这枚骰子的质地均匀吗?为什么? 点评:如果这枚骰子是均匀的,那么掷一次出现1点的概率是, 连续掷10次出现1点的概率为 这在一次试验(即连续10投掷一枚骰子)中是几乎不可能发生的.而当骰子不均匀时,特别是当6点的那面比较重时(例如灌了铅或水银),会使出现1点的概率最大,更有可能连续10次出现1点.因此我们可以判断这枚骰子的质地不均匀.掷一枚骰子的模拟极大似然法

-------如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务,那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则,这种判断问题的方法称为极大似然法.

极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一.4.天气预报的概率解释:

〖思考〗某地气象局预报说,明天本地降水概率为70%,你认为下面两个解释中哪一个代表气象局的观点? (1)明天本地有70%的区域下雨,30%的区域不下雨; (2)明天本地下雨的机会是70%.√ 天气预报是气象专家根据观测到的气象资料和专家们的实际经验,经过分析推断得到的.它不是本书上定义的概率,而是主观概率的一种. 例:生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了。”学了概率后，你能给出解释吗？ 解：天气预报的“降水”是一个随机事件，概率为90%指明了“降水”这个随机事件发生的概率，我们知道：在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的。5.试验与发现(P110)6.遗传机理中的统计规律(P110) 课堂小结 概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学，正确理解概率的意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键，学习过程中应有意识形成概率意识，并用这种意识来理解现实世界，主动参与对事件发生的概率的感受和探索。作业:课本P111页T2,T3.课本P117页T6.3.1.3概率的基本性质〖教学情境设计〗

(1)集合有相等、包含关系,如{1，3}={3，1},{2，4}{2，3，4，5}等；

(2)在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C1={出现1点}，C2={出现2点}，C3={出现1点或2点}，C4={出现的点数为偶数}……

观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？1.事件的关系与运算事件的关系与运算条件符号事件B包含事件A事件的相等并事件(或和事件)交事件(或积事件)如果事件A发生,那么事件B一定发生如果事件A发生,那么事件B一定发生,反过来也对.A=B某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生.A∪B(或A+B)某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生.A∩B(或AB)事件的关系与运算条件含义互斥事件对立事件A∩B为不可能事件(A∩B=)事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件.事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生.3.例题分析： 例1一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、8、9、10环. 分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生。解:互斥事件有:A和C、B和C、C和D.

对立事件有:C和D.练习：从1，2，…，9中任取两个数，其中（1）恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；

（2）至少有一个是奇数和两个数都是奇数；（3）至少有一个奇数和两个都是偶数；

（4）至少有一个偶数和至少有一个奇数。

在上述事件中是对立事件的是（

）

A.(1)B.(2)(4)C.(3)D.(1)(3)C练习：判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由。

从40张扑克牌（红桃，黑桃，方块，梅花点数从1-10各10张）中，任取一张。

（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”。是互斥事件，不是对立事件既是互斥事件，又是对立事件不是互斥事件，也不是对立事件2.概率的几个基本性质:(1)任何事件的概率在0~1之间,即0≤P(A)≤1(2)必然事件的概率为1,即P(Ω)=1(3)不可能事件的概率为0,即(4)如果事件A与事件B互斥,则

P(A∪B)=P(A)+P(B)(5)如果事件B与事件A是互为对立事件,则

P(B)=1-P(A)例2如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是0.25，取到方块（事件B）的概率是0.25，问：（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？ 分析：事件C=A∪B，且A与B互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P(D)=1-P(C)．解:(1)P(C)=P(A)+P(B)=0.25+0.25=0.5;(2)P(D)=1-P(C)=1-0.5=0.5.

例3甲，乙两人下棋，和棋的概率为1/2，乙获胜的概率为1/3，求：（1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率。分析：甲乙两人下棋，其结果有甲胜，和棋，乙胜三种，它们是互斥事件。解（1）“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲获胜的概率是P=1-1/2-1/3=1/6。（2）解法1，“甲不输”看作是“甲胜”，“和棋”这两个事件的并事件所以P=1/6+1/2=2/3。解法2，“甲不输”看作是“乙胜”的对立事件，P=1-1/3=2/3。练习某射手射击一次射中10环，9环，8环，7环的概率是0.24，0.28，0.19，0.16，计算这名射手射击一次

（1）射中10环或9环的概率；

（2）至少射中7环的概率。（1）P（A∪B）=P（A）+P（B）=0.24+0.28=0.52。（2）因为它们是互斥事件，所以至少射中7环的概率是0.24+0.28+0.19+0.16=0.87练习：某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：

年降水量（mm)[100,150)[150,200)[200,250)[250,300)概率0.12