2022年度福建省三明市交江中学高三数学理模拟试卷含解析

2022年度福建省三明市交江中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的三视图如右图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（

）A.2

B.

C.

D.3参考答案：C2.已知为异面直线，下列结论不正确的是(

▲

)A．必存在平面使得 B．必存在平面使得与所成角相等C．必存在平面使得 D．必存在平面使得与的距离相等参考答案：C3.在等差数列中，若的值是

（

）

A．18

B．36

C．72

D．144参考答案：B4.函数y=ax2+bx与y=（ab≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】二次函数的图象；对数函数的图象与性质．【分析】可采用反证法做题，假设A和B的对数函数图象正确，由二次函数的图象推出矛盾，所以得到A和B错误；同理假设C和D的对数函数图象正确，根据二次函数图象推出矛盾，得到C错误，D正确．【解答】解：对于A、B两图，||＞1而ax2+bx=0的两根为0和﹣，且两根之和为﹣，由图知0＜﹣＜1得﹣1＜＜0，矛盾，对于C、D两图，0＜||＜1，在C图中两根之和﹣＜﹣1，即＞1矛盾，C错，D正确．故选：D．5.为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐种卡片可获奖，现购买该种食品袋，能获奖的概率为A．

B．

C．

D．

参考答案：D6.一已知等差数列{an}中，其前n项和为Sn，若a3+a4+a5=42，则S7=（）A．98 B．49 C．14 D．147参考答案：A【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】根据题意和等差数列的性质求出a4的值，由等差数列的前n项和公式求出S7的值．【解答】解：等差数列{an}中，因为a3+a4+a5=42，所以3a4=42，解得a4=14，所以S7==7a4=7×14=98，故选A．7.在△ABC中，A=30°，AB=3，AC=2，且+2=0，则?等于（）A．18 B．9 C．﹣8 D．﹣6参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先由已知求出角B的大小，然后根据直角三角形的性质得到CD，再数量积公式计算可得．【解答】解：由题意，如图：因为2×sin30°=3=AB，所以∠C=90°，因为+2=0，则AD=2，BD=1，则BC=，

所以tan∠BCD=，所以∠BCD=30°，所以∠DCA=30°，得到CD=2，所以?=2×2×cos150°=﹣6．故选：D．【点评】本题考查了平面图形中向量的数量积的计算；充分利用平面图形的性质是解答的前提．8.“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】29：充要条件．【专题】11：计算题；5L：简易逻辑．【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．9.若函数f（x）=sin（x+φ）﹣cos（x+φ）（0＜φ＜π）为奇函数，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式可以是（）A． B．C． D．参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用函数是奇函数，求出φ．根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．【解答】解：∵f（x）=sin（x+φ）﹣cos（x+φ）=2sin（x+φ﹣），（0＜φ＜π）为奇函数，∴φ=，f（x）=2sinx，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得函数的解析式为：y=2sin2x；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式：g（x）=2sin2（x﹣）=2sin（2x﹣）．故选：A．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的化简，三角函数的奇偶性，考查基本知识的应用能力，计算能力，属于中档题．10.（5分）（2014秋?衡阳县校级月考）已知集合A={x|x2﹣3x﹣4≤0}，B={x|x=，x∈Z，k∈Z}，则A∩B=（）A．{﹣1，1}B．{﹣1，1，3}C．{﹣3，﹣1，1}D．{﹣3，﹣1，1，3}参考答案：B【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出A中不等式的解集确定出A，确定出B中整数x的值确定出B，求出A与B的交集即可．解：由A中不等式变形得：（x﹣4）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤4，即A=[﹣1，4]，由B中x=，x∈Z，k∈Z，得到2k﹣1可能为﹣3，﹣1，1，3，解得：k=﹣1，0，1，2，即x=﹣1，﹣3，3，1，∴B={﹣3，﹣1，1，3}，则A∩B={﹣1，1，3}，故选：B．【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数,有下列五个命题①不论为什么值,函数的图象关于原点对称;②若,函数的极小值是,极大值是;③若,则函数的图象上任意一点的切线都不可能经过原点;④当时,对函数图象上任意一点,都存在唯一的点,使得(其中点是坐标原点)⑤当时,函数图象上任意一点的切线与直线及轴所围成的三角形的面积是定值.其中正确的命题是

(填上你认为正确的所有命题的序号)参考答案：①③⑤

略12.在平面内，定点A，B，C，D满足||=||=||，?=?=?=﹣2，动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由||=||=||，?=?=?=﹣2，可设：D（0，0），A（2，0），B（﹣1，），C（﹣1，﹣）．由动点P，M满足||=1，=，可设：P（2+cosθ，sinθ）．M．再利用向量坐标运算性质、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵||=||=||，?=?=?=﹣2，∴可设：D（0，0），A（2，0），B（﹣1，），C（﹣1，﹣），动点P，M满足||=1，=，可设：P（2+cosθ，sinθ）．M．∴=．则||2=+=≤，当且仅当=1时取等号．故答案为：．13.设x，y∈R，向量，，且，，则x+y=

．参考答案：0【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理、向量垂直与数量积的共线即可得出．【解答】解：∵，，∴=2x﹣4=0，2y+4=0，则x=2，y=﹣2．∴x+y=0．故答案为：0．14.在边长为1的正三角形中，设，则

．参考答案：．因为，所以为的中点即，∵，∴，∴．15.设抛物线C：y2=3px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为．参考答案：y2=4x或y2=16x【考点】圆的一般方程；抛物线的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线方程算出|OF|=，设以MF为直径的圆过点A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|=，再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程．【解答】解：因为抛物线C方程为y2=3px（p＞0）所以焦点F坐标为（，0），可得|OF|=因为以MF为直径的圆过点（0，2），所以设A（0，2），可得AF⊥AMRt△AOF中，|AF|=，所以sin∠OAF==因为根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，所以∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，因为|MF|=5，|AF|=，所以=，整理得4+=，解之可得p=或p=因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．故答案为：y2=4x或y2=16x．【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．16.已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f（x1）＜x2f（x2）；③＞；④＜．其中正确结论的序号是

．参考答案：②③【考点】幂函数的性质．【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式；幂函数的指数大于0得到幂函数在（0，+∝）上的单调性；图象呈上升趋势，判断出②③正确．解：依题意，设f（x）=xα，则有（）α=，即（）α=（），所以α=，于是f（x）=x．由于函数f（x）=x在定义域[0，+∞）内单调递增，所以当x1＜x2时，必有f（x1）＜f（x2），从而有x1f（x1）＜x2f（x2），故②正确；又因为，分别表示直线OP、OQ的斜率，结合函数图象，容易得出直线OP的斜率大于直线OQ的斜率，故＞，所以③正确．答案②③【点评】本题考查利用待定系数法求幂函数的解析式、考查幂函数的性质由幂函数的指数的取值决定．17.设曲线处的切线与x轴的交点的横坐标为的值为_________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量=（cosθ，sinθ），=（2，﹣1）．（1）若⊥，求的值；（2）若|﹣|=2，，求的值．参考答案：考点：平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用．专题：平面向量及应用．分析：（1）由⊥，可得=2cosθ﹣sinθ=0，求得tanθ=2，从而求得=的值．（2）把已知等式平方求得=1，即2cosθ﹣sinθ=1，平方可得4cos2θ﹣4sinθcosθ+sin2θ=1，求得tanθ=．再利用同角三角函数的基本关系求得cosθ和sinθ的值，从而求得=sinθ+cosθ的值．解答： 解：（1）若⊥，则=2cosθ﹣sinθ=0，tanθ==2，∴===．（2）∵||=1，||=，若|﹣|=2，，则有﹣2+=4，即1﹣2+5=4，解得=1，即2cosθ﹣sinθ=1，平方可得4cos2θ﹣4sinθcosθ+sin2θ=1，化简可得3cos2θ﹣4sinθcosθ=0，即tanθ=．再利用同角三角函数的基本关系sin2θ+cos2θ=1，求得cosθ=，sinθ=，∴=sinθ+cosθ=．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，属于中档题．19.（本题满分18分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分．如图，圆与直线相切于点，与正半轴交于点，与直线在第一象限的交点为.点为圆上任一点，且满足，动点的轨迹记为曲线．（1）求圆的方程及曲线的轨迹方程；（2）若直线和分别交曲线于点、和、，求四边形的周长；（3）已知曲线为椭圆，写出椭圆的对称轴、顶点坐标、范围和焦点坐标．

参考答案：（1）由题意圆的半径，故圆的方程为.

………………2分由得，，即，得（）为曲线的方程.（未写范围不扣分）…4分（2）由解得：或，所以，A（，），C（－，－）同理，可求得B（1,1），D（－1,－1）所以，四边形ABCD的周长为：（3）曲线的方程为（），它关于直线、和原点对称，下面证明：设曲线上任一点的坐标为，则，点关于直线的对称点为，显然，所以点在曲线上，故曲线关于直线对称，同理曲线关于直线和原点对称.可以求得和直线的交点坐标为和直线的交点坐标为，，，，.在上取点.

曲线为椭圆：其焦点坐标为.20.（13分）（2012?佛山二模）记函数的导函数为f′n（x），函数g（x）=fn（x）﹣nx．（Ⅰ）讨论函数g（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若实数x0和正数k满足：，求证：0＜x0＜k．参考答案：考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题： 计算题；证明题；综合题．分析： （Ⅰ）由g（x）=（1+x）n﹣1﹣nx，可求得g′（x）=n[（1+x）n﹣1﹣1]，分n（n≥2）为偶数与n为奇数讨论导数的符号，即可求得其单调区间和极值；（Ⅱ）由可求得x0=，设分子为h（k）=（nk﹣1）（1+k）n+1（k＞0），可分析得到h'（k）＞0，从而h（k）＞h（0）=0，求得x0＞0；进一步可求得x0﹣k=＜0，从而得证0＜x0＜k．解答： 解：（Ⅰ）由已知得g（x）=（1+x）n﹣1﹣nx，所以g′（x）=n[（1+x）n﹣1﹣1]．…（2分）①当n≥2且n为偶数时，n﹣1是奇数，由g'（x）＞0得x＞0；由g'（x）＜0得x＜0．所以g（x）的递减区间为（﹣∞，0），递增区间为（0，+∞），极小值为g（0）=0．…②当n≥2且n为奇数时，n﹣1是偶数，由g'（x）＞0得x＜﹣2或x＞0；由g'（x）＜0得﹣2＜x＜0．所以g（x）的递减区间为（﹣2，0），递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），此时g（x）的极大值为g（﹣2）=2n﹣2，极小值为g（0）=0．…（8分）（Ⅱ）由得，所以1+x0=，x0=…（10分）显然分母（n+1）[（1+k）n﹣1]＞0，设分子为h（k）=（nk﹣1）（1+k）n+1（k＞0）则h'（k）=n（1+k）n+n（1+k）n﹣1（nk﹣1）=n（n+1）k（1+k）n﹣1＞0，所以h（k）是（0，+∞）上的增函数，所以h（k）＞h（0）=0，故x0＞0…（12分）又x0﹣k=，由（Ⅰ）知，g（x）=（1+x）n﹣1﹣nx是（0，+∞）上的增函数，故当x＞0时，g（x）＞g（0）=0，即（1+x）n＞1+nx，所以1+k（n+1）＞（1+k）n+1所以x0﹣k＜0，从而x0＜k．综上，可知0＜x0＜k．…（14分）点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，突出转化思想与分类讨论思想的运用，突出构造函数的思想的应用，熟练掌握导数法研究