高中数学北师大版第一章数列单元测试 学业分层测评7

学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在正项等比数列{an}中，a3·a5＝4，则a1·a2·a3·a4·a5·a6·a7＝()A．64 B．128C．256 D．512【解析】a3·a5＝a1·a7＝a2·a6＝aeq\o\al(2,4)＝4，∵an＞0，∴a4＝2，∴a1·a2·a3·a4·a5·a6·a7＝(aeq\o\al(2,4))3·a4＝aeq\o\al(7,4)＝27＝128.【答案】B2．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6·b8＝()A．2 B．4C．8 D．16【解析】∵2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝2(a3＋a11)－aeq\o\al(2,7)＝4a7－aeq\o\al(2,7)＝0，∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4，∴b6·b8＝beq\o\al(2,7)＝16.【答案】D3．(2023·福建高考)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于()A．6 B．7C．8 D．9【解析】不妨设a>b，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝p>0，,ab＝q>0，))∴a>0，b>0，则a，－2，b成等比数列，a，b，－2成等差数列，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝－22，,a－2＝2b，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝1，))∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9.【答案】D4．等比数列{an}的各项均为正数，且a5·a6＋a4·a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于()A．12 B．10C．8 D．2＋log35【解析】因为a5·a6＝a4·a7，又a5·a6＋a4·a7＝18所以a5·a6＝9，∴a1·a10＝a2·a9＝a3·a8＝a4·a7＝9，log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3a1a2a3…a10＝log3(a1·a10·a2·a9·a3·a8·a4·a7·a5·a6)＝log395＝log3310＝10.【答案】B5．(2023·福州高二检测)在等比数列{an}中，a5a11＝3，a3＋a13＝4，则eq\f(a15,a5)＝()A．3 B．eq\f(1,3)C．3或eq\f(1,3) D．－3或－eq\f(1,3)【解析】∵a5a11＝a3a13＝3，又a3＋a13＝4，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝1,a13＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝3,a13＝1))，又eq\f(a15,a5)＝q10＝eq\f(a13,a3)，∴eq\f(a15,a5)的值为3或eq\f(1,3).【答案】C二、填空题6．(2023·广东高考)若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2eq\r(6)，c＝5－2eq\r(6)，则b＝________.【解析】∵a，b，c成等比数列，∴b2＝a·c＝(5＋2eq\r(6))(5－2eq\r(6))＝1.又b>0，∴b＝1.【答案】17．(2023·南昌高二检测)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N＋，则S10的值为________．【解析】由aeq\o\al(2,7)＝a3a9，d＝－2，可得[a1＋6×(－2)]2＝[a1＋2×(－2)]·[a1＋8×(－2)]，即(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20，所以S10＝10×20＋eq\f(10×9,2)×(－2)＝110.【答案】1108．已知{an}是公差不为零的等差数列，且a7，a10，a15是等比数列{bn}的连续三项，若b1＝3，则bn＝________.【解析】∵{an}是公差不为零的等差数列，设首项为a1，公差为d，∵a7，a10，a15是等比数列{bn}的连续三项，∴(a1＋9d)2＝(a1＋6d)(a1＋14d)，整理可得d＝－eq\f(2,3)a1.设数列{bn}的公比为q，则q＝eq\f(a10,a7)＝eq\f(a1＋9d,a1＋6d)＝eq\f(5,3)，∴bn＝b1qn－1＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))n－1.【答案】3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))n－1三、解答题9．(2023·淮北高二检测)设{an}是各项均为正数的等比数列，bn＝log2an，若b1＋b2＋b3＝3，b1·b2·b3＝－3，求此等比数列的通项公式an.【导学号：67940017】【解】由b1＋b2＋b3＝3，得log2(a1·a2·a3)＝3，∴a1·a2·a3＝23＝8，∵aeq\o\al(2,2)＝a1·a3，∴a2＝2，又b1·b2·b3＝－3，设等比数列{an}的公比为q，得log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,q)))·log2(2q)＝－3，解得q＝4或eq\f(1,4)，∴所求等比数列{an}的通项公式为an＝a2·qn－2＝22n－3或an＝25－2n.10．已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}唯一，求a的值．【解】(1)设{an}的公比为q，则b1＝1＋a1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2.由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)，即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋eq\r(2)，q2＝2－eq\r(2)，故{an}的通项公式为an＝(2＋eq\r(2))n－1或an＝(2－eq\r(2))n－1.(2)设{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)·(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0，由a＞0得，Δ＝4a2＋4a＞0，故方程aq2－4aq＋3a－1＝0有两个不同的实根．由{an}唯一，故方程必有一根为0，代入上式得a＝eq\f(1,3).[能力提升]1．在数列{an}中，a1＝2，当n为奇数时，an＋1＝an＋2；当n为偶数时，an＋1＝2an－1，则a12等于()A．32 B．34C．66 D．64【解析】依题意，a1，a3，a5，a7，a9，a11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a11＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66.故选C.【答案】C2．(2023·西安高二检测)数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，那么a1，a3，a5()A．成等比数列B．成等差数列C．每项的倒数成等差数列D．每项的倒数成等比数列【解析】由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a2＝a1＋a3,a\o\al(2,3)＝a2a4,\f(2,a4)＝\f(1,a3)＋\f(1,a5)))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(a1＋a3,2)①,a4＝\f(a\o\al(2,3),a2)②,\f(2,a4)＝\f(1,a3)＋\f(1,a5)③))将①代入②得eq\f(2,a4)＝eq\f(a1＋a3,a\o\al(2,3))，④将④代入③得：aeq\o\al(2,3)＝a1a5，即a1，a3，a5成等比数列．【答案】A3．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于________．【解析】设A＝a1·a4·a7…a28，B＝a2·a5·a8·a29，C＝a3·a6·a9…a30，则A、B、C成等比数列，公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210，∴C＝B·210＝220.【答案】2204．(2023·蚌埠高二检测)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．【解】(1)设数列{an}的公差为d，依题意得，2,2＋d,2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.当d＝0时，an＝2；当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2.从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.(2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n＜6