数列,通项公式方法,求前n项和例题讲解和方法总结

a{nnn1a{nnn1n数列的通公式通项公如果数列

的第n项

与项数之间的函数关系可以用一个公式来表达，叫做数列的通项公式。数列的推式（）果知列

，任一项

a

与它的前一项之间的关系可以用一个公式来表示。（）推式数列所特有的表示方法，它包含两部分，一是递推关系，二是初始条件，二者缺一不可数列的n项和数通公的系数列

项和，叫做数列的前n项和，用表，即

=n3

nS

与通项的系是

a

=

S1Snn

(n(求数列项式常方有(前6种用，特别是2,5,6)、式法，

用差列等数的义通2和S与a

S1Snn

求解.注：求完后一定要考虑并通、（叠）加法形如

n

f()n

∴

a=(n

n

n

n

a)21）.累（叠）法：形

a

n

fna

n

∴

aaaa=nnaaann1）.待定数法：如

a

=pa+q（p≠1，pq设

+k=pa+k）造新的等比数列）

倒法形如（两边倒，构新数列，n

然后用待定系数法或是等差数）7).对数变换法形如n

)ann

a（然后用待定系数法或是差数列）n8).除幂构造法形如

a

aqa1ddn

(然用待定系数法或是等差数9).

归纳—猜想—证明”法直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明方法就是“归纳—猜想—证明”法．递推数列问题成为高考命题的热点题型，对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可对推式的变形转化为等差数列或等比数下面将以常见的几种递推数列入手，谈谈此类数列的通项公式求..

ann1n－1n33n1nn＋1n2132n－1ann1n－1n33n1nn＋1n2132n－1n1n1n11nn1111.

前n项和

通公式方及型例n与n的关法例1、已知下列两数列{}

的前项s的公式，求

{}

的通项公式。（1）S＝2n2

－3；（）

n

2

解：(1)a＝＝－3－1，当n≥2时a＝－＝(22－n)n－1)2－＝4－5，由于a也合此等式，a＝4－（）

11

，当

2

时

a

=

=

=3

经验证

1

也满足上式∴

a

=3

（）

0，当n2时，a1n

n

n

由于

1

不适合于此等式。∴

(nn(2)(点评要分n=1和两种况别行算然验能否一)2.加法:

n

f()n

型

aan

n

n

a)21在数列{}，＝，a＝＋；解由a－＝

n把＝，…，n≥代入，得n1)个式子，累加即可得a－a)(a－a)…＋(－)＝2＋

＋＋2

n

－

1

，所以

n1－＝，－即a－＝

n

－2，所以＝2n

－＋a＝2

n当n＝1时a＝也符合，所＝

－N*．3.乘法

a

n

a(n)n

型，

aa=naan已数列

中满足a=1，

a

2

，求的通项公式解：∵

a

2

∴

2

.∴

aaaaa

a

2

(

∴

(

.

n1n1n＋1n1nnnnn1nn1n1annnnnnnn1n3nnan1n1n＋1n1nnnnn1nn1n1annnnnnnn1n3nna4.待系法an=pa+q（≠1，pq≠0），通过分解常数，可转化为特殊数{+k}的式求解。解法：设

+k=p（+k与原式比较系数可得pk－，k=

qp

，从而得等比数{a+k}。在数列{}，＝，a＝a＋1.由a＝a＋1得a＋1＝a＋1)，令b＝＋，所以{}以2为公比的等比数列．所以b＝b

n

－1

＝(a＋n

－

1

＝2n

＋

1所a＝b－＝n

＋1

－1(n∈N*．5.

倒变换、形如

a

a

的分式系的递推公，分子有一项（边倒再离数成

pa

求）后用待定系数法或是等差数列例5.已数列

{}n

满足

n

n,an

，求数列

{}n

的通项公式。解：由

1n,得,aannnn

1是以首项为，差为的等差数列(a1n考六、构法.形

qa

a1ddd

然后用待定系数法或是等差数列、知数列

{}n

满足

a

(n

求a．解将

a

a

两边同除，

aannn

，变形为

a2an3

．设

ab

b(，则．以3

，数列

a{是以b33

为首项，为差的等比数列．)

n

abn．因，以nn

n

=

n()

n

得=

3

．.

.求数列通公式一、数列通项公式的求法1、察观数中项其号的系分各中变部与变部，探各中化分序间的系从归出成律出项式例由列前项通公（），，，，…（），，，，3）

12,23

34,,452、义：当知列等或比列，直利等或比列通项式只求首及差公。这方适于知列型题．例（）知

差列，且

a。25

a.；（）知数列

a

}为比数列，

6,a5

求数列

a

}通项公式；（）知等比列

a13,aa1312

，求数列

式（4数列

{}n

中，

a1

n

n

，求

{}n

的通项公式（）知数列

{}n

满足

a

，

，求

{}n

的通项公式（6）已数

a,当n2S1

n

Sn

n

则

n

.

n.nn

3、式：已数的n项和式求项式基方是

(n1(nn注：先和n≥两种情分进运，后证否一。例（）知列

{}

的前n项n，

{}

的通项公式。（2）已数

n

则

n

（）知数列

前n项和

s

nn

，求

{}

的通项公式累加法：利用

aan11n

n

求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如

n

f(n)n

的f()递推数列通项公式的基本方法（可求前n项和）.反:用累加法求通项公的关键是将递推公式变形为

n

)n

.例）列

{}n

中，

aa

a

，求

{}n

的通项公式.

nnnnn.nnnnn（）数列

a1

1，a22

求数列

？5、累法利用恒等式

an1

aa2a1n

求通项公式的方法称为累乘法累乘法是求型

n

)a

n

的递推数列通项公式的基本方(数

)

可求前

项积.例（）知列

{}首项a，且ann

(n2)n

，求数列

{}n

的通项公式（）知数列

{}首项a1,nn1n

，求数列

{}n

的通项6凑配（叫造数）

:将推公式

n+1

（,为数，q0，d0通过na

n

)()n

与原递推公式恒等变成

an

d(qq

的方法叫凑法构新.例（1）数列

{}，a2,n1

n

a，求{}n

的通项公式（）知数列

aa1n

n

n2),求、倒数换将递推数列

an

11(d0),倒数变成aacacn

的形式的方法叫倒数变换..

nnnn1nn求列.nnnn1nn求列例（）数

a

1,22an

,求数列

式求前项和的方(1)公法①等差数列前项和＝____________＝________________，推导方法；②等比数列前项和＝③常见数列的前n项：

，q＝1，＝，≠

推导方法：乘公比，错位相减法．a＋＋＋…＋n＝________________；

．2＋＋6＋…＋2＝_________________c．1＋＋5＋…＋－＝_____________．

2

(n6e

33

(n]2(2)分求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可以分为几个等差或等比数列或者常见的数列，即可以分别求和，然后再合并；(3)裂相消)法：求和．

有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再常见的裂项公式有：①_x0001_

1＝－；②＝＋

－2＋1

；③

＋n

＝＋1－.

1()n(4)错相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．这种方法主要用于求数列{}前n项和，其中

和；(5)倒相加：

例如，等差数列前n项公式的推导考二分组求和111•••,(),•••22n.

的前n项。

n.n1

1112•••n)4(123•••n)(

1•••)22

1(n1考三.裂相法

：3.

求数列

11

12

,

1n

,

的前n项和.解：设

an

1n

nn

（裂项）则

Sn

11

12

1n

（裂项求和）＝

(21)3

2)n)

＝

n考四错位相减求列

2462,,222n

前n项和2n1解：由题可知，}的项是等差数{的项等比数{}的项之积2n2设

246222232n

…………………①12

246n）2234n

………②设制错公比）

-②得

22n

（错位相考五倒相法

1∴42n2n2：5.

求

sin

sin

sin

3

的值解：设

Ssin

………….①将①式右边反序得S2222

………②反序）又因为

sin2

①②

（反序相加）.

nnnnnnnnn597nn13nnnnnnnnn597nn132nnnnn2S(sin

2

cos

2

2

2

2

2

2

89

cos

2

89

＝∴S＝数列求和习、已知{a}首项为19公差为－的等差数列，S为{a}前n项．(1)求通项及S；(2)设{－}首为，公差为3的等差数列，求{b}通项公式及前n项、已知等差数列{}，a＋－a＝10记S＝＋，S的为()C.15654.在列}中，＝4－，＋…＝＋bn，∈N+，其中a，b为常，则＝________.二错相法这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数{a·项和，其中a}、b}分别是等差数列和等比数.

b}的前n2．设数列

{}

的前n项和为

n

，

{}

为等比数列，且

ab(ab121（Ⅰ）求数列

{}{}n

的通项公式；（Ⅱ设

n

nn

，求数列

{}的前n项.n例2．知数列

{}首项1

22，3an

，1,2,3,…（Ⅰ）证明：数列

1{an

是等比数列；（）数列

n{}an

的前

项和

．.

3：求数列nn.3：求数列nn2．设数列

{}

的前n项和为

Snn

2

，

{}

为等比数列，且

a,()b211（Ⅰ）求数列

{}{}n

的通项公式；（Ⅱ设

n

nn

，求数列

{}的前n项.n三分法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即.2、已知数列

{}

的通项公式为

n

n

，则它的前n项和

111•••,(),•••22n

的前n项和。四裂相法和[例1]在{}，

a

1nn

，又

b

2a

，求数{b}的n项和练习、数列

{}

的前n项的和为

，点

(

)(N*)

均在函数

的图像上（）数列

{}

的通项公式；（）

b

3aa

,T

是数列

{}

的前n项和，求

T

3、数列

{}

的通项公式为

a

1nn

(N*)

，则它的前10项和=4、

1113(2n1)(2n.

nn136n1.nn136n15．已知数列

{}

是等差数列，其前n项和为S,a

12

6.（）数列

{}

的通项公式；（）和：

11S2

.等等应例在等差数列

37

，则

.练习1.设}等差数列，公差d=，为前n项.若nA.18B.20C.22D.24

，=（）10112.已知各项均为正数的等比数列{

a

}，

13

=5，

aa78

=10，

aa4

=（）(A)

5

(B)7(C)6(D)

4等数列

{}n

的前n项和为

，且

S

=6，

1

=4，则差＝________等差数列{}前n项为，若a＝2，S＝，a5.数{}是差数列，若a＋1，a＋3，a＋5构成比为的比数列，则q正等比数列

{},n

11181,则aaa244635

=

。等数列

项为,知Sa,,则32151(A)

111(C)33

(D)

198.已知等差数列

{}n

的公差为3，若

a13

4

成等比数列，则

2

等于（）AB．3．-3D设差数列

和为,Sn

m

Sm

,则m(A.3B.4C.5D.610.已知数列

列，且

1

，

a2

，那么则

4

等于（）（A）

（B）

（C）

（D）

11.知数列

列

S

是它的前

n

项和若

21

，

，则

S4

()A．．C．20．2412.在等比数列

n

，

a4

41

，则公比q为..

nn.nn13.若等列的前6项和23,为57,则列的前

n

项和

S=n

__________.14等比数列

{an

中

a1

512

,公比q

12

,

n

a1

a

2

L

an(即

n

表示数列

{的n项积),n

n

取最大值时n的值

（）A．8．9．9或10D数列大训练、知差列

a

满足：

a3

7

，

a5

a

7

26

，

a

的前n和为

S

n

．（Ⅰ）

n

及

S

n

=

a

1

1

求

b

的前n

T

n

．2．函

对任意

都有

1

12

1)2

和

1n1f()nn

的

N*);列

a满：n

n

12n1)}nnn

是等差数列吗？请给予证明．3．已列

an

满足

a

a3

a,

a

,

1是首项为1公比为的等比数．3表达式；果n

bn

,求b}n

的前n项．.

a.a4、数列和为n,1anSn（Ⅱ）等差数列项为T，3，又

（Ⅰ）求n的项公式；aT123成比数列，求n

.5、已知数列

{}n

是等差数列，且

a，是列{}的前n项．3nn(Ⅰ)求数列

{}n

的通项公式及n项；n(若数

{b}足nn

SSn

n

，且T是数列{b}前n项，求b与T．nnn6．设

{}

是正数组成的数列，其前n项为

,n

并且对于所有的自然数

,a

与的差项等于

与2的等比中项．

(1)求数列

{}

的通项公式；(2)令

n

(n

)(n*),

求证：

b.1237、知数列

列，

a6,a；2n

项和T，nn

n

．(Ⅰ)求列

n

式(Ⅱ)求：数列

n

列(Ⅲ)记

cannn

，求

n

项

n.

.8.已知数列

和S

满足S，中*．nn（I求数列

公式；（II）设abnn

3

，求数列项和为

．9.已知数列

{}n

的首项为，n项S，且数列公差为的差数列．（1求数列

{}n

的通项公式；（2）若

a

，求数列

{b}n

的前项

Tn

．10、知数列

{}n

满足

a1

12

nn

（1）求

{a}

的通项公式）证明：

a12n

n

.11.已知数列

{}n

的前

项和是

n

，且

n

12

anN*)n

．（1）求数列

{}n

的通项公式；（2）设

blog(1)(nN*)

，求适合方程

11125bb511223n

的正整数n的值．.

nnn4nn.nnn4nn数列大训练(答案)1解设等差数列

d，为

3

，

5

，所以有

d1a1

，解得a，所以1)=2n+1；=1nn

n(n-1)=2（Ⅱ）由（）知

2n+1n

，所以b=

an

11111==-)24n(n+1)4

，所=n

11111++L-)=423nn+14n+14(n+1)

，即数列

和=n

n4(n+1)2．因

11f()f)f()f()22

1,故f()2令

x

111,得f()f)即()()nnnnn(2)：

2f(0)()f()f(

nn1)f而ff()f)fnnn两式相加得

1f(0)f(1)]f()f(n

nn)](0)]n所以

an

n4

(nN*),

又

1a,n

故数列

{}

是等差数列．3．

当n时ann

1)n3

故aaaan2n

n

11))2)(1)333即

an

3)(N*).23n(2)因

b(2an

n),2n故

n12

32

3n2333Tn

13333

…①

1T3333

…②.

n两式相减得：，又∴故aa，又(51)(59)nnnnnn两式相减得：，又∴故aa，又(51)(59)nnnnnnnnnnna①一②得

2111n112n2()(1),333343n33n故

Tn

n

又

312故S(2)24、Ⅰ由

Snn

可得

an2)n

，a,a(n2)nnn221n是首项为，公比为3的等数列∴（Ⅱ）设，由3得可得b1，得b

a

故可设

,baa13

，由题意可得，解得

d12∵等差数列

的项为正，∴

d

∴

∴

n

(

2n5、(Ⅰ)设数列

{}的公差为dn

，由题意可知：

adad

,解:

d2

…3分∴

adnnn

…………………5(1S2

Q

(nn

n311n)))).2n6．由意可知：

an2(*),理得(2)28

2

,所以

S

n

1(2)故[(a2)](a2aa88整理得：

(an

ann

n

由题意知

0,

而

1

故

4,即数列

{}

为等差数列，其中

2,4.1

故

a2.n(2)令

cn

则

cn

1a(n2

[(2n2n2n2n故

b121

n故

11)))335n22b12.

11nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn112.11nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn112、解(Ⅰ)设

d

，则：

a2

，

5

，∵

2

，

a5

，∴

a1ad181

，∴

d1

．……分∴

a4n

．…………分（Ⅱ）当

n

时，

11

，由T1

，b

．……5分当

n

11时TTb∴T=()即b(22

…分∴2=b．∴b是为项，为公比等比数列．……………9分31（Ⅲ）由（）可知：))．∴n)4))33

n

．∴1S))2)n)33

n

．11∴S)2)3)n(8)33

n

．21∴SSS))))33

n43

11