2022年九年级数学下册：28.1　锐角三角函数

28.1锐角三角函数专题一锐角与其他知识的综合运用如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A.OM的长B.2OM的长C.CD的长D.2CD的长如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点，且AE:EB＝4:1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（） A.B. C.D.QUOTEQUOTE错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。专题二探究题3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C为第一象限内一点，且AC＝2，设tan∠BOC＝m，则m的取值范围是.如图（1），由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形，得S△ABC＝bc·sinA．①即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半．如图（2），在△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD=α，∠DCB=β．∵S△ABC＝S△ADC＋S△BDC，由公式①，得AC·BC·sin（α＋β）＝AC·CD·sinα＋BC·CD·sinβ，即AC·BC·sin(α＋β）＝AC·CD·sinα＋BC·CD·sinβ．②你能利用直角三角形的边角关系，消去②中的AC、BC、CD吗？若不能，请说明理由；若能，请写出解决过程．专题三新定义问题5．在平面直角坐标系中，设点P到原点O的距离为r，α看作是OP以x轴正半轴方向为起始位置绕点O逆时针旋转的角度，则用[r，α]表示点P的极坐标，显然，点P的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：点P的坐标为（1，1），则其极坐标为[QUOTE错误！未找到引用源。，45°]．若点Q的极坐标为[4，60°]，则点Q的坐标为（） A.（2，2QUOTE错误！未找到引用源。）B.（2，－2QUOTE错误！未找到引用源。）C.（2QUOTE错误！未找到引用源。，2）D.（2，2）6．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图①，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°＝；（2）对于0°＜∠A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是；（3）如图②，已知sinA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值.专题四方案设计问题7．如图，由于水资源缺乏，B、C两地不得不从黄河上的扬水站A处引水，这就需要在A、B、C之间铺设地下输水管道．有人设计了三种铺设方案：如图(1)、(2)、(3)，图中实线表示管道铺设线路，在图（2）中，AD⊥BC于D；在图（3）中，OA＝OB＝OC．为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短．已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，请你通过计算，判断哪个铺设方案最好．【知识要点】１．在Rt△ABC中，若∠C＝90º，则，cosA＝，tanA＝．特殊角的三角函数值：30º45º60ºsinαcosαtanα1【温馨提示】1．研究锐角三角函数通常将锐角放在直角三角形中解决.2．锐角的正弦函数值随着角的增大而增大；锐角的余弦函数值随着角的增大而减小；锐角的正切函数值随着角的增大而增大.3．圆中的切线、圆中的直径常常是构造直角的工具.4．如果直接求一个角的三角函数值不容易时，还可以通过求其等角或余角的三角函数值来解决.【方法技巧】1．在Rt△ABC中，sinA＋sinB＞1，sin2A＋cos2A＝1，tanA＝2．若∠A＋∠B＝90°，则sinA＝cosB，cosA＝sinB，tanA·tanB＝1.3．在网格中计算角的三角函数值时，常利用勾股定理求锐角所在直角三角形的边长.参考答案1．A【解析】连接AO并延长交圆于点E，连接BE．由题意得∠C＝∠E，且△ABE和△BCD都是直角三角形，∴∠CBD＝∠EAB．∵△OAM是直角三角形，∴sin∠CBD＝sin∠EAB＝＝OM.2．C【解析】根据题意：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，设AB＝2x，则BC＝x，AC＝x．∴在Rt△CFB中有CF＝QUOTEQUOTE错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。x，BC＝x．则tan∠CFB＝QUOTEQUOTE错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。．3．m≥【解析】当OC与圆A相切（即到C'点）时，∠BOC最小，此时AC'＝2，OA＝3，由勾股定理得OC'＝.∵∠BOA＝∠AC'O＝90°，∴∠BOC'＋∠AOC'＝90°，∠C'AO＋∠AOC'＝90°.∴∠BOC'＝∠OAC'.∴tan∠BOC＝＝.随着C的移动，∠BOC越来越大，但不到E点，即∠BOC＜90°.∴tan∠BOC≥.4．解：能消去AC、BC、CD，得到sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ．过程如下：AC·BC·sin(α＋β)＝AC·CD·sinα＋BC·CD·sinβ两边同除以AC·BC，得sin(α＋β)＝·sinα＋·sinβ.∵＝cosβ，＝cosα．∴sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ．5．A【解析】作QA⊥x轴于点A，则OQ＝4，∠QOA＝60°，故OA＝OQ·cos60°＝2，AQ＝OQ·sin60°＝2QUOTE错误！未找到引用源。，∴点Q的坐标为（2，2QUOTE错误！未找到引用源。）．故答案选A．6．解：（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，则三角形为等边三角形，则sad60°＝QUOTE错误！未找到引用源。＝1．故答案为1．（2）当∠A接近0°时，sadA接近0；当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的2倍，故sadA接近2．于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．（3）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝QUOTE错误！未找到引用源。．在AB上取点D，使AD＝AC.过点D作DH⊥AC，H为垂足，令BC＝3k，AB＝5k，则AD＝AC＝＝4k.又在△ADH中，∠AHD＝90°，sinA＝,∴DH＝ADsinA＝QUOTE错误！未找到引用源。k.∴AH＝＝QUOTE错误！未找到引用源。k．在△CDH中，CH＝AC－AH＝QUOTE错误！未找到引用源。k，CD＝＝QUOTE错误！未找到引用源。k．由正对的定义可得sadA＝＝QUOTE错误！未找到引用源。，即sadA＝QUOTE错误！未找到引用源。．解：图（1）所示方案的线路总长为AB＋BC＝2a；题图（2）中，在Rt△ABD中，AD=ABsin60°＝，∴图（2）所示方案的线路总长为AD＋BC＝（＋1）a；如图，延长AO交BC于E，∵AB＝AC，OB＝OC，∴OE⊥BC，BE＝EC＝．