勾股定理专题让最值不再隐形

勾股定理专题让“最值〃不再隐形一、类型1:构造对称求线段和的最值一一两点之间线段最短（将军饮马）.如图，在等腰Rt△ABC中，/BAC=90°,AB=AC=10,AD±BC于点D,E为AB边的中点，M为AD上的一个动点，则BM+EM的最小值为.如图,E为正方形ABCD边AB上的一点，BE=3AE=3,P为对角线BD上一个动点，则PA+PE的最小值是 .如图，/MON=60°,AB为OM上的两个定点,AB=6,OB=4,P为ON上的一个动点，则AP+BP的最小值为—.点A、B均在由面积为1的相同小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示。若P是y轴上使得PA+PB的值最小的点，且PA+PB的最小值为m,Q是1轴上使得QA—QB的值最大的点，且QA—QB的最大值为n，贝Um=,n=..如图，在直角坐标系中，A(2,0)、B(6,0)在％轴的正半轴上，射线OC在第一象限，且NBOC=30°,M为射线OC上的一个动点，则MA+MB的最小值为 ..如图，在平面直角坐标系％Oy中，A(-2,0),B(0,1),C(0,4),将线段AB向右平移，在平移过程中，折线和AC+BC的最小值为.7.如图，

另lj为OA、N7.如图，

另lj为OA、NAOB=60°OB上的两点C、D为NAOB内部的两个定点，且OC=2,则CM+MN+ND的最小值是OD=3,NCOD=30°,M、N分.如图，NAOB=30°,点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1,ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 ..如图，在矩形ABCD中，AB=12,AD=3,E、F分别是矩形边CD、AB上的两点，则AE+EF+FC的最小值为.A.E D

二、类型2:构造对称求线段和的最值一一点到直线之间垂线段最短.如图,已知/MON=30°,A为边OM上的一个定点，OA=6,P、Q分别为ON、OM上的两个动点，则AP+PQ的最小值为..如图，在锐角少5。中，AB=4,ZBAC=45°,NBAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ..如图，在△ABC中，AB=AC=13,BC=10,AD是BC边上的中线，E是AD上的动点，F是AC边上的动点，则CE+EF的最小值为..如图，已知/MON=30°,A、B为OM上的两个定点，OA=10.OB=4,P、Q为ON上的两个动点，点P在点Q的右侧，则AP+PB+BQ的最小值为。.如图，/MON=20°,定点A的在OM边上，且OA=4,C为OM上的一个动点，B、D为ON上的两个动点，则AB+BC+CD的最小值为.DBN

DBN.如图，在等边A15C中，AB=4,点P是BC边上的动点，点P关于直线AB.AC的对称点分别为M、N,则线段MN长的取值范围是..在边长为6的等边△ABC中，点D、E、F分别为BC、AB、AC边长的动点。(1)若BD=2,则4DEF的周长的最小值为.(2)若D点也可以在BC上运动时，则△DEF的周长的最小值为 ..在△ABC中，/A=45°,AB=7,AC=4<2.(1)如图1,AH±BC于点H，求AH的长度.(2)如图2,D、E、F分别是BC、AB、AC边上的动点，.在四边形ABCD中，NABC=ZADC=90°,ZBCD=60°,AB=2,AD=4,M、N分别是BC、CD上的两点.(1)如图1，△AMN周长的最小值为，此时NMAN=(2)如图2,AM+MN(2)如图2,AM+MN的最小值为，此时NAMN=三、类型3：旋转构造全等求单线段最值一利用三角形的三边关系19.如图，在△ABC中M和点A在BC的异侧，AB=4,AC=6,ZBAC可以发生变化，以B为直角顶点BC为腰作等腰△BCM，点试探索当/BAC满足什么条件时，线段AM有最大值？并求这个最大值.20.如图，在△ABC中AB=4,AC=6,ZBAC可以发生变化，以BC为底边作等腰Rt20.如图，在△ABC中和点A在BC的异侧，试探索当/BAC满足什么条件时，线段4屈有最大值？并求这个最大值21.如图，等腰△ABC中，AB=AC,NBAC=90°,P为^ABC外一点，PB=7,PC=3,求AP最小值.22.如图，在等边422.如图，在等边44BC中，P为形外一点，若AP=6,CP=4.(1)请直接写出：当/APC=(2)若/APC=60°.①等边△ABC的边长；②求BP的长度.时，线段BP取得最大值为.,P为形外一点，若AP=4<2，CP=4..如图，在等腰Rt△,P为形外一点，若AP=4<2，CP=4.(1)请直接写出：当/APC=时，线段BP取得最大值为 (2)若/APC=75°,求BP的长度..如图，在等腰Rt△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,P为形外一点，若BP=2,CP=2V3.(1)请直接写出：当/BPC=时，线段AP取得最大值为 ；(2)若NBPC=60°,求AP的长度.四.类型4：还原起点构造全等确定动点路径，求单线段的最值或折线段和的最值 点到直线之间垂线段最短或将军饮马模型..如图，已知在等腰Rt△ABC中，/ACB=90°,D为BC延长线上的一个动点，以A为直角顶点，AD为腰在AD的右侧作等腰Rt△ADE,AC=BC=2,M为AB中点，连接ME，当点D在射线BC上运动的过程中，线段ME的最小值为..如图，边长为2的等边△ABC中，射线DE垂直平分BC,M是射线DE上的一个动点，连接CM，将线段CM绕点C顺时针旋转60°得到CN,连接DN,则在点M运动过程中，线段DN长度的最小值是.

.如图，/MON=90°,A为ON上的一个定点，且OA=6,P为OM上的一个动点，以AP为边在直线AP的下方作等边△APQ,连接OQ,在P点的运动过程中，线段OQ的最小值为..如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=1,P为AC边上的一个动点，以P为直角顶点BP为腰作等腰Rt△BMP，/BPM=90°,PB=PM，则MA+MB的最小值为..如图，在等边^ABC中，D为AB边的中点，E为BC边上的一个动点，以DE边作等边^DEF(F点在DE的右侧)，若AB=2.(1)连接AF,则AF的最小值为；(2)连接AF、BF,则AF+BF的最小值为.B EC B EC.如图，在△ABC中，AC=6,ZBAC=60°,D、E分别为边AB、边AC上的两个动点，以DE为边在DE的下方作等边△DEF,O为等边△DEF的中心，连接CO,则CO的最小值为..如图，在AABC中，AB<AC,AC=6,ZBAC=60°,P为边AC上的一个动点，以BP为底边在BP的上方作等腰△BPQ，其中BQ=PQ,ZBQP=120°,连接CQ,则CQ的最小值为 .

五、类型5：拼接法构造全等求线段和最值一一两点之间线段最短.如图，在边长为6的等边△ABC中，D为AC的中点，射线DE//BC，M、N分别为线段AB与DE上的点，连结CM、CN,若BM=DN,求CM+CN的最小值..已知正方形ABCD的边长为1,点E、F分别是边BD、CB上的动点，且DE=BF,则线段和AE+AF最小值为.（可保留复合二次根式，不需要化简）.如图，若AD为边长为a的等边△ABC的高线，E、F分别为AD、AC上的两点，且AE=CF,当NBFC的度数为多少时，线段和BF+CE取得最小值，并求这个最小值.35.如图，在矩形35.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=2.C3,P、Q分别为对角线AC、边CD上的两点，且AP=CQ,则BP+BQ的最小值.如图，在Rt△ABC中，NC=90°,ZB=30°,AB=6,ZBAC的平分线交BC于点D,P、Q分别为边AB、边AC上的两点，且AP=CQ，则DP+DQ的最小值为.如图，在△ABC中，/A=45°,ZABC=60°,BC=8,D、E分别为AB.AC上两个动点，且AD

=CE，练级CD、BE，则BE+CD的最小值为.（可保留符合二次根式，不要求化简）六、类型6：平移构造平行四边形求线段和最值一一利用三角形的三边关系.如图，在直角梯形ABCD中AD〃BC,求NB=90°,AD=3,AB=BC=9,MN为AB上的一条动线段，且MN=2,连接CN、DM,则四边形CDMN周长的最小值为39.39.如图，正方形ABCD中，AB=2,MN为对角线BD上的一条动线段，且MN=Q，连接CM、CN,则CM+CN的最小值为.如图，在直角坐标系中，A点的坐标为（0,4）,B点的坐标为（4,—1）,C点的坐标为（0,1）,过点C作％轴的平行线CD,M为CD上的一个动点，MN±%轴于点N,连接AM、BN,则AM+BN的最小值为.

七、类型7：利用斜边的中线、中位线性质转化构造三角形的三边关系.如图，已知/MON=90°,斜边为2的Rt△ABC的锐角顶点A、B分别在边OM,ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动，直角三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为..如图，在平面直角坐标系中，等边ABC的边长为定长6,A、B两点分别在y轴正半轴、％轴正半轴上滑动，则线段OC的最大值 ..如图，若NMON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动，且矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2,BC=1,在运动过程中，点C到点O的最大距离为..如图，/MON=90°,已知△ABC中，AC=BC=13,AB=10,△ABC的顶点A、B分别在边OM,ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动过程中，点C到点O的最小距离为..如图，在等腰Rt△ABC中，ZC=90°,AC=BC=4,D为线段AC上的一动点，过点C作CH±BD于点H，连接AH，则AH的最小值为..如图，在Rt△ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=4,P是4ABC内部的一个动点，且满足Z1=Z2,则线段BP长的最小值为一.如图，正方形ABCD的边长AB=4,E、F分别为边BC、CD上的两点，且BE=CF,连接AE、BF交于点P，则CP的最小值为48.如图，在Rt△ABCAD48.如图，在Rt△ABCAD=2,连接BD,中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,点D是^ABC所在平面上的一个动点，且E为BD的中点，则线段CE长的最大值为八、类型8:费马点和费马距离(两点之间线段最短).(1)阅读理解:如图1,在4ABC所在平面上存在一点M使得ZAMB=ZAMC=ZBMC=120°,且点M到三角形三顶点的距离之和最小,此时我们称点M为^ABC的费马点,MA+MB+MC的值为△ABC的费马距离⑵知识探究：如图2,分别以AB、AC为边在△ABC外作等边4ABD和等边△ACE,BE、CD交于点M求证:①ZAAB=ZAMC=ZBMC=120°;②根据⑴中的定义，图2中的点M为^ABC的费马点,线段的长度即为△ABC的费马距离,即MA+MB+MC=,证明你的结论；

图1图2图1图2(3)知识应用：村庄A、B、C构成了如图3所示的锐角△ABC,已知AC=8km,BC=10km,ZACB=60°,现选取一点M打水井,使水井M到三村A、B、C所铺设的输水管总长度最小，请画图找到M点，并求输水管总长度的最小值..如图，在△ABC中,AC=4,BC=3,ZACB=30°,M为^ABC内一点，连接AM、BM、CM,且ZAMC=ZCMB=ZBMA=120°，则MA+MB+MC=..如图，在四边形ABCD中，ZB=60°,AB=BC=3,AD=4,ZBAD=90°则PA+PC+PD的最小值为..如图,在Rt△AOB中，ZA=30°,点O(0,.0),B(1,0)，点A在y轴正平轴上，以AB为一边作等边△ABP,使得点P在第一象限.(1)请直接写出点P的坐标为(2)在4AOB内部存在一点Q.使得AQ+OQ+BQ之和最小,请求出这个和的最小值.

.如图，P为等边△ABC形内一点，将△ABP绕A点顺时针旋转60请于此图解答下而的问题：(1)若PA=3v2，PB=5,ZAPB=105°,求PC的长度;(2)若PA=4v3，PB=6,PC=2<3，求等边^ABC的边长;(3)若等边△ABC的边长为6,求PA+PB+PC的最小值.九、类型9：设参表达量，配方法或柯西不等式求二次代数式的最值.如图，在R△ABC中，NC=90°,AC=6cm,BC=4cm.点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边BC上，从点C向点B移动，若点P、Q均以1cm/5的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ,则线段PQ的最小值是( ).A.20cm B.18cm C.2V5cm D.3%：2cm.如图，在ABCD中，CE_LAB于点E,F为AD的中点，若AB=5,BC=10,则当BE=,CE2一CF2取得最大值为..如图，A点的坐标为（0,4）,动点P在％轴上运动，以P为直角顶点作等腰R△APQ（A、P、Q按逆时针顺序），求OQ的最小值..如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（0，6），B点与原点重合，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC,当动点A以2单位/秒的速度从（0,6）向原点运动，同时动点B以1单位/秒的速度从原点沿％轴正半轴方向运动，在运动过程中等腰Rt△ABC的形状不变，线段OC的最小值,58.如图，点A、B,58.如图，点A、B、C、D均在坐标轴上

接MC、MD，则MC+MD的最小值为—OA=OB=6，OC=OD=4，连接AB，M为AB上任意一点，连，MC2MD2的最大值是59.如图，AAP5中，AB=2,ZAPB=90°,在直线AB的同侧作等边△ABC等边AAP。和等边△BPE,则四边形PDCE的面积的最大值是 。十•类型10：利用代数式的几何意义构造折线的最值(两点之间线段最短)60.阅读材料：例题：说明代数式\：'=1+；(x-3)2+4的几何意义，并求它的最小值。解：XX2+1+4(x-3)2+4=\：'(x-0)2+(1-0)2+(：xx-3)2+(2-0)2。如图，建立平面直角坐标系，点P(x,0)是x轴上一点，则((x-0)2+(1-0)2可以看成点P与点A(0,1)的距离，(x-3)2+(2-0)2可以看成点P与点B(3,2)的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值。设点A关于x轴的对称点为A'，则PA=PA'。因此，求PA+PB的最小值，只需求PA'+PB的最小值为线段A'B的长度。为此，构造Rt△ACB，因为AC=3,CB=3,所以A'B=3<2，即原式的最小值为3