勾股定理专题一

勾股定理专题一1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理42、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理4勾股定理的逆定理42、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题勾股定理的应用4工面积问题2、求长度问题3、最短距离问题航海问题网格问题图形问题考点一：勾股定理(1)对于任意的直角三角形勾股定理4勾股定理的逆定理42、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题勾股定理的应用4工面积问题2、求长度问题3、最短距离问题航海问题网格问题图形问题考点一：勾股定理(1)对于任意的直角三角形如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。(2)结论:①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。(3)勾股定理的验证例题：例1:已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。(1)在RSABC中，NC=90°①若a=5,匕=12，则c= ；②若a=15,。=25,则匕= ;③若c=61,b=60,则Ua= ;④若a：b=3：4,c=10则URtAABC的面积是:。TOC\o"1-5"\h\z(2)如果直角三角形的两直角边长分别为n2-1,2n(n>1),那么它的斜边长是( )A、2n B、n+1 C、n2-1 D、n2+1(3)在Rt^ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是( )A.a2+b2=c2 B.a2+c2=b2C.c2+b2=a2 D.以上都有可能(4)已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( )A、25 B、14 C、7 D、7或25例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。(1)直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为。(2)已知Rt^ABC中，NC=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt^ABC的面积是( )A、24cm2 B、36cm2C、48cm2 D、60cm2(3)已知x、y为正数，且1x2-4|+(y2-3)2=0,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为( )A、5 B、25 C、7 D、15例3：探索勾股定理的证明有四个斜边为c、两直角边长为a,b的全等三角形，拼成如图所示的五边形，利用这个图形证明勾股定理。考点二：勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系，a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。(2)常见的勾股数：(3n,4n,5n),(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n)…..(n为正整数)(3)直角三角形的判定方法：①如果三角形的三边长a,b,c有关系，a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。②有一个角是直角的三角形是直角三角形。③两内角互余的三角形是直角三角形。④如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。例题：例1：勾股数的应用TOC\o"1-5"\h\z(1)下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是( )A.4，5，6 B. 2，3，4C.11，12，13D.8，15，17(2)若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为( )A、2：3：4 B、3：4：6 C、5：12：13 D、4：6：7例2：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状(1)下面的三角形中：①4ABC中，NC=NA—NB；②4ABC中，NA：NB：NC=1：2：3；③4ABC中，a：b：c=3：4：5；④4ABC中，三边长分别为8，15，17.其中是直角三角形的个数有( ).A.1个A.1个B.2个C.3个D.4个<21.(2)若三角形的三边之比为q-：i］：1,则这个三角形一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等边三角形)=0,则它的形状为( )(3)已知a,b,c为AABC三边，且满足(a2—b2)(a2+b2)=0,则它的形状为( )B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形(4)将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形(5)若4ABC的三边长a,b,c满足a2+b2+C2+200=B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形(4)将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形(5)若4ABC的三边长a,b,c满足a2+b2+C2+200=12a+16b+20c,试判断4ABC的形状。(6)AABC的两边分别为5,12,另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为，此三角形为例3：求最大、最小角的问题(1)若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最大内角是.度。(2)已知三角形三边的比为1：、兀：2,则其最小角为考点三：勾股定理的应用例题:例1：面积问题(1)下图是株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是()D.94A.13B.26C.47SS(图1) (图2) (图3)(3)如图，4ABC为直角三角形，分别以AB,BC,AC为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得( )A. S1+ S2> S3 B. S1+ S2= S3 C.S2+S3< S1 D.以上都不是(2)如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S「S2、S3,则它们之间的关系是()A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C.S2+S3< S1 D.S「S3=S1例2：求长度问题(1)小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。(2)在一棵树10m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高D例3：最短路程问题(1)如图1,已知圆柱体底面圆的半径为三，高为2,AB,CD分别是两底面的直径，AD,BC是母线，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是。(结果保留根式)(2)如图2,有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B,那么这只昆虫爬行的最短距离为。（图2）（图（图2）例4：航海问题(1)一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过小时后，它们相距海里.(2)(深圳)如图1,某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险试说明理由。(图1) (图2)(3)如图2,某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km,那么台风中心经过多长时间从B点移到D点如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险例5：网格问题(1)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是()A.0 B.1 C.2 D.3(2)如图，正方形网格中的^ABC,若小方格边长为1,则4ABC是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对(3)如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是()A.25B.C.9D.

例6：（1）（2）\\CB（图1）图形问题——1.7,B\CA如图1,求该四边形的面积（2010四川宜宾）如图2,已知（图2）在4例6：（1）（2）\\CB（图1）图形问题——1.7,B\CA如图1,求该四边形的面积（2010四川宜宾）如图2,已知（图2）在4ABC中，NA二/\///\/DACB（图3）45AC=V2,AB=\/3+1,则边BC的长B12D413A（图1） （图2）（3）某公司的大门如图所示，其中四边形ABCD是长方形，上部是以AD为直径的半圆，其中AB二m,BC=2m,现有一辆装满货物的卡车,高为m,宽为m,问这辆卡车能否通过公司的大门并说明你的理由（4）（（4）（太原）将一根长24cm的筷子置于地面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hem,则h的取值范围【中考链接】（2010广西钦州市）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm,现将^ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE,则BE的长为（A）4cm（B）5cm（C）6cm（D）10cm（2010山东荷泽）（本题满分8分）如图所示，在Rt^ABC中，NC=90°,NA=30°,BD是/ABC的平分线，CD=5cm,求AB的长.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：①使三角形的三边长分别为3、屈、＜5（在图甲中画一个即可）；②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）.TOC\o"1-5"\h\z（2010广东湛江）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）,2,3 ,3,4 ,4,5 ,5,6（2010四川泸州）在4ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,则该三角形为（ ）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形（2010辽宁丹东市）已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt^ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt^ACD,再以Rt^ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt^ADE,…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 .EF（2010广西南宁）如图，每个小正方形的边长为1,AABC的三边a,b,c的大小关系式：（A）a<c<b（B）a<b<c（C）c<a<b（D）c<b<a（2010湖北孝感）（本题满分10分）［问题情境］勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。［定理表述］请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；（3分）［尝试证明］以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2）,请你利用图2,验证勾股定理；（4分）［知识拓展］利用图2中的直角梯形，我们可以证明a+b<<2.其证明步骤如下：cBC=a+b,AD=。又•・•在直角梯形ABCD中有BCAD（填大小关系），即，.二"b<五c勾股定理难题集锦：在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.----康拄尔1、如图，四边形ABCD中，NACB=90O,CD，AB于点D,若AD=8,BD=2,求CD的(Cantor)勺长度。\A 1.如图，P是等边三角形AABC内的一点，连结PA、PB、PC,以BP为