高中数学人教A版2第一章统计案例 全国优质课

2023学年云南省昆明市黄冈实验学校高二（下）第一次月考数学试卷（文科）一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i2．两个量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（）A．模型1的相关指数R2为 B．模型2的相关指数R2为C．模型3的相关指数R2为 D．模型4的相关指数R2为3．复数的共轭复数是（）A．i+2 B．i﹣2 C．﹣2﹣i D．2﹣i4．阅读如图的程序框图．若输入n=6，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．推理：因为平行四边形对边平行且相等，而矩形是特殊的平行四边形，所以矩形的对边平行且相等．以上推理的方法是（）A．归纳推理 B．类比推理 C．演绎推理 D．合情推理6．已知x与y之间的关系如下表：X135y4815则y与x的线性回归方程为y=bx+a必经过点（）A．（3，7） B．（3，9） C．（，8） D．（4，9）7．在下列结论中，正确的结论是（）①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；③“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件；④“¬p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件．A．①② B．①③ C．②④ D．③④8．设x∈R，则“x=1”是“x3=x”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（）A． B． C． D．10．函数f（x）=5x2﹣2x的单调增区间为（）A． B． C． D．11．抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是（）A．1 B．2 C．4 D．812．设f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于（）A． B． C． D．二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．下表提供了某学生做题数量x（道）与做题时间y（分钟）的几组对应数据：x3456yt4根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=+，则表中t的值为．14．命题“∃x∈R使x2+2x+1＜0”的否定是．15．已知椭圆方程为+=1，则其离心率为．16．观察下列式子：1+＜，1++＜，1+++＜，…据以上式子可以猜想：1++++…+＜．三．解答题（共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．m取何实数时，复数．（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？18．证明：已知a与b均为有理数，且和都是无理数，证明+也是无理数．19．已知函数f（x）=x+xlnx．（1）求这个函数的导函数；（2）求这个函数在点x=1处的切线方程．20．已知：在数列{an}中，a1=7，an+1=，（1）请写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式．（2）请证明你猜想的通项公式的正确性．21．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．22．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在点M（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y+1=0，且在x=处有极值．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）的极大值与极小值．

2023学年云南省昆明市黄冈实验学校高二（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，故选：B．2．两个量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（）A．模型1的相关指数R2为 B．模型2的相关指数R2为C．模型3的相关指数R2为 D．模型4的相关指数R2为【考点】BS：相关系数．【分析】两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中是相关指数最大的值，得到结果．【解答】解：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中是相关指数最大的值，∴拟合效果最好的模型是模型1．故选A．3．复数的共轭复数是（）A．i+2 B．i﹣2 C．﹣2﹣i D．2﹣i【考点】A2：复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】首先要对所给的复数进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简到最简形式，把得到的复数虚部变为相反数，得到要求的共轭复数．【解答】解：∵复数==﹣2﹣i，∴共轭复数是﹣2+i故选B．4．阅读如图的程序框图．若输入n=6，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】E7：循环结构．【分析】框图是直到型循环结构，输入n的值为6，给k的赋值为0，运行过程中n进行了4次替换，k进行了3次替换．【解答】解：当n输入值为6时，用2×6+1=13替换n，13不大于100，用0+1=1替换k，再用2×13+1=27替换n，27不大于100，此时用1+1=2替换k，再用27×2+1=55替换n，此时55不大于100，用2+1=3替换k，再用2×55+1=111替换n，此时111大于100，算法结束，输出k的值为3．故选B．5．推理：因为平行四边形对边平行且相等，而矩形是特殊的平行四边形，所以矩形的对边平行且相等．以上推理的方法是（）A．归纳推理 B．类比推理 C．演绎推理 D．合情推理【考点】F7：进行简单的演绎推理．【分析】根据因为平行四边形对边平行且相等，而矩形是特殊的平行四边形，所以矩形的对边平行且相等，是一个演绎推理，这种推理是三段论的特点写出来．【解答】解：∵因为平行四边形对边平行且相等，而矩形是特殊的平行四边形，所以矩形的对边平行且相等，是三段论的形式，是一种演绎推理，故选C．6．已知x与y之间的关系如下表：X135y4815则y与x的线性回归方程为y=bx+a必经过点（）A．（3，7） B．（3，9） C．（，8） D．（4，9）【考点】BK：线性回归方程．【分析】先利用数据平均值的公式求出x，y的平均值，以平均值为横、纵坐标的点在回归直线上，即样本中心点在线性回归直线上．【解答】解：∵=3，==9，∴线性回归方程y=bx+a所表示的直线必经过点（3，9）．故选：B．7．在下列结论中，正确的结论是（）①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；③“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件；④“¬p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件．A．①② B．①③ C．②④ D．③④【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；2E：复合命题的真假．【分析】先判断命题的正误，可知①③是正确的，②④是假命题，然后再根据¬p，必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【解答】解：①③是正确的，②④是假命题，其中②中，“p∧q”为假是“p∨q”为真的既不充分也不必要条件，④“¬p”为真，“p”为假，∴“¬p”为真是“p∧q”为假的充分不必要条件．8．设x∈R，则“x=1”是“x3=x”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【解答】解：因为x3=x，解得x=0，1，﹣1，显然条件的集合小，结论表示的集合大，由集合的包含关系，我们不难得到“x=1”是“x3=x”的充分不必要条件故选A9．若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（）A． B． C． D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．【解答】解：由题意，则，化简后得m=，故选A10．函数f（x）=5x2﹣2x的单调增区间为（）A． B． C． D．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】根据所给的二次函数的二次项系数大于零，得到二次函数的图象是一个开口向上的抛物线，根据对称轴，考查二次函数的变化区间，得到结果．【解答】解：∵函数f（x）=5x2﹣2x的二次项的系数大于零，∴相应的抛物线的开口向上，∵二次函数的对称轴是x=，∴函数的单调递增区间是．故选A．11．抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线的方程求出p的值，即可得到答案．【解答】解：由y2=2px=8x，知p=4，又焦点到准线的距离就是p．故选C．12．设f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于（）A． B． C． D．【考点】63：导数的运算．【分析】先求出导函数，再代值算出a．【解答】解：f′（x）=3ax2+6x，∴f′（﹣1）=3a﹣6=4，∴a=故选D．二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．下表提供了某学生做题数量x（道）与做题时间y（分钟）的几组对应数据：x3456yt4根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=+，则表中t的值为3．【考点】BK：线性回归方程．【分析】先求样本中心点，再代入回归直线方程，即可求得t的值．【解答】解：由题意，==，==，∵y对x的回归直线方程是=+，∴=+，∴t=3．故答案为：3．14．命题“∃x∈R使x2+2x+1＜0”的否定是∀x∈R，使x2+2x+1≥0．【考点】2J：命题的否定．【分析】根据命题“∃x∈R使x2+2x+1＜0”是特称命题，其否定为全称命题，即∀x∈R，使x2+2x+1≥0．从而得到答案．【解答】解：∵命题“∃x∈R使x2+2x+1＜0”是特称命题∴否定命题为：∀x∈R，使x2+2x+1≥0故答案为：∀x∈R，使x2+2x+1≥0．15．已知椭圆方程为+=1，则其离心率为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】椭圆方程标准方程为+=1，由此求得a，b及c，能够求出它的离心率．【解答】解：椭圆方程标准方程为+=1，其中a=，b=，c=，∴e==故答案为：．16．观察下列式子：1+＜，1++＜，1+++＜，…据以上式子可以猜想：1++++…+＜．【考点】F1：归纳推理．【分析】由已知中的不等式：我们可以推断出：右边分式的分母与左右最后一项分母的底数相等，分子是分母的2倍减1，即，将n=2023，代入可得答案．【解答】解：由已知中的不等式：，，…我们可以推断出：右边分式的分母与左右最后一项分母的底数相等，分子是分母的2倍减1，即，∴．故答案为：．三．解答题（共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．m取何实数时，复数．（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？【考点】A2：复数的基本概念．【分析】（1）由虚部等于0且实部分母不等于0列式求解m的值；（2）由虚部不等于0且实部分母不等于0列式求解m的值；（3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解m的值．【解答】解：（1）当，即，即m=5时，z的虚部等于0，实部有意义，∴m=5时，z是实数．（2）当，即时，z的虚部不等于0，实部有意义，∴当m≠5且m≠﹣3时，z是虚数．（3）当，即时，z为纯虚数，∴当m=3或m=﹣2时，z是纯虚数．18．证明：已知a与b均为有理数，且和都是无理数，证明+也是无理数．【考点】FC：反证法．【分析】本题利反证法证明：假设+是有理数，则（+）（﹣）=a﹣b这样推出（+）+（﹣）=2∈Q，从而ÎQ（矛盾）最后得出+是无理数．【解答】证明：假设+是有理数，则（+）（﹣）=a﹣b由a＞0，b＞0则+＞0即+≠0∴∵a，bÎQ且+∈Q∴∈Q即（﹣）∈Q这样（+）+（﹣）=2∈Q从而ÎQ（矛盾）∴+是无理数19．已知函数f（x）=x+xlnx．（1）求这个函数的导函数；（2）求这个函数在点x=1处的切线方程．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；63：导数的运算．【分析】（1）直接利用基本初等函数的等式公式得答案；（2）求出函数在x=1处的导数，求处f（1），然后由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：（1）由f（x）=x+xlnx，得f′（x）=1+lnx+1=lnx+2；（2）f（1）=1+ln1=1，∴切点A（1，1），又f′（1）=ln1+2=2，∴函数在x=1处的切线斜率为2．∴该函数在点x﹣=1处的切线方程为y=2x﹣1．20．已知：在数列{an}中，a1=7，an+1=，（1）请写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式．（2）请证明你猜想的通项公式的正确性．【考点】RG：数学归纳法；81：数列的概念及简单表示法．【分析】（1）由a1=7，，代入计算，可求数列的前4项，从而猜想{an}的通项公式；用数学归纳法证明，关键是假设当n=k（k≥1）时，命题成立，利用递推式，证明当n=k+1时，等式成立．【解答】解：（1）由已知…猜想：an=…（2）由两边取倒数得：⇔，⇔，…⇔数列{}是以=为首相，以为公差的等差数列，…⇒=+（n﹣1）=⇔an=…21．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．【考点】BK：线性回归方程．【分