第五章+约束优化计算方法

第五章约束优化计算方法5.1引言5.2随机方向搜索法5.3复合形法5.4惩罚函数法5.1引言

机械优化设计中的问题，大多数属于约束优化设计问题，其数学模型为上一章讨论的都是无约束条件下非线性函数的寻优方法，但在实际工程中大部分问题的变量取值都有一定的限制，也就是属于有约束条件的寻优问题。与无约束问题不同，约束问题目标函数的最小值是满足约束条件下的最小值，即是由约束条件所限定的可行域内的最小值。只要由约束条件所决定的可行域必是一个凸集，目标函数是凸函数，其约束最优解就是全域最优解。否则，将由于所选择的初始点的不同，而探索到不同的局部最优解上。在这种情况下，探索结果经常与初始点的选择有关。为了能得到全局最优解，在探索过程中最好能改变初始点，有时甚至要改换几次。（1）直接法

直接法包括：网格法、复合形法、随机试验法、随机方向法、可变容差法和可行方向法。

（2）间接法

间接法包括：罚函数法、内点罚函数法、外点罚函数法、混合罚函数法、广义乘子法、广义简约梯度法和约束变尺度法等。根据求解方式的不同，约束优化设计问题可分为:直接解法、间接解法。间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来解的一种方法。由于间接解法可以选用已研究比较成熟的无约束优化方法，并且容易处理同时具有不等式约束和等式约束的问题。因而在机械优化设计得到广泛的应用。间接解法中具有代表性的是惩罚函数法。直接解法的基本思想：在由m个不等式约束条件gu(x)≤0所确定的可行域φ内，选择一个初始点x(0)，然后确定一个可行搜索方向S，且以适当的步长沿S方向进行搜索，取得一个目标函数有所改善的可行的新点x(1)，即完成了一次迭代。以新点为起始点重复上述搜索过程，每次均按如下的基本迭代格式进行计算：

x(k+1)＝x(k)+α(k)S(k)(k=0,1,2,…)逐步趋向最优解，直到满足终止准则才停止迭代。直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题，思路是在m个不等式约束条件所确定的可行域内，选择一个初始点，然后决定可行搜索方向S且以适当的步长，进行搜索，得到一个使目标函数值下降的可行的新点，即完成一次迭代。再以新点为起点，重复上述搜索过程，直至满足收敛条件。-------步长--------可行搜索方向可行搜索方向:当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值将下降，且不会越出可行域。直接解法的原理简单，方法实用，其特点是：1）由于整个过程在可行域内进行，因此，迭代计算不论何时终止，都可以获得比初始点好的设计点。2）若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可获得全域最优解，否则，可能存在多个局部最优解，当选择的初始点不同，而搜索到不同的局部最优解。3）要求可行域有界的非空集。a)可行域是凸集；b)可行域是非凸集间接解法的求解思路：将约束函数进行特殊的加权处理后，和目标函数结合起来，构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化为一个或一系列的无约束优化问题。新目标函数加权因子然后对新目标函数进行无约束极小化计算。5.2随机方向法

基本思想：利用计算机产生的随机数所构成的随机方向进行搜索，产生的新点必须在可行域内，即满足直接法的特性。随机方向法，是约束最优化问题的一种常用的直接求解方法。随机方向法的基本思路：在可行域内选择一个初始点，利用随机数的概率特性，产生若干个随机方向，并从中选择一个能使目标函数值下降最快的随机方向作为搜索方向s。从初始点x0出发，沿s方向以一定步长进行搜索，得到新点X，新点x应满足约束条件且f(x)<f(x0)，至此完成一次迭代。基本思路如图所示。随机方向法程序设计简单，搜索速度快，是解决小型机械优化问题的十分有效的算法。随机方向探索法的一般迭代计算公式为：

X(k+1)=X(k)+aS(k)

(k=0,1,2,…)

式中a为步长，S(k)为第k次迭代的随机探索方向。因此，随机方向探索法的计算过程可归结为：

复合形法是求解约束非线性最优化问题的一种重要的直接方法。它来源于用于求解无约束非线性最优化问题的单纯形法，实际上是单纯形法在约束问题中的发展。如前所述，在求解无约束问题的单纯形法中，不需计算目标函数的梯度，而是靠选取单纯形的顶点井比较各顶点处目标函数值的大小，来寻找下一步的探索方向的。在用于求解约束问题的复合形法中，复合形各顶点的选择和替换，不仅要满足目标函数值的下降，还应当满足所有的约束条件。5.3复合形法它的基本思路是在可行域内构造一个具有k个顶点的初始复合形。对该复合形各顶点的目标函数值进行比较，找到目标函数最大的顶点（最坏点），然后按一定的法则求出目标函数值有所下降的可行的新点，并用此点代替最坏点，构成新的复合形，复合形的形状没改变一次，就向最优点移动一步，直至逼近最优点。由于复合形的形状不必保持规则的图形，对目标函数和约束函数无特殊要求，因此这种方法适应性强，在机械优化设计中应用广泛。二.初始复合形的构成1.复合形顶点数K的选择建议:

小取大值,大取小值2)为避免降维,K应取大些;但过大,计算量也大.*1)为保证迭代点能逼近极小点,应使2.初始复合形顶点的确定

1)用试凑方法产生---适于低维情况;2)用随机方法产生①用随机方法产生K个顶点先用随机函数产生

个随机数

,然后变换到预定的区间

中去.这便得到了一个顶点,要连续产生K个顶点.初始复合形生成的方法：1）由设计者决定k个可形点，构成初始复合形。设计变量少时适用。2）由设计者选定一个可形点，其余的k-1个可形点用随机法产生。3）由计算机自动生成初始复合形的所有顶点。二、复合形法的搜索方法1.反射1）计算复合形各顶点的目标函数值，并比较其大小，求出最好点XL、最坏点XH

及次坏点XG，即2）计算除去最坏点XH

外的（k-1）个顶点的中心XC

3）从统计的观点来看，一般情况下，最坏点XH和中心点XC的连线方向为目标函数的下降方向。4）判别反射点XR的位置若XR

为可行点，则比较XR

和XH

两点的目标函数值，如果f(XR)<f(XH)，则用XR取代XH

，构成新的复合形，完成一次迭代；如果f(XR)>=f(XH),则将α缩小0.7倍，重新计算新的反射点，若仍不行，继续缩小α，直至f(XR)<f(XH)为止。若为非可行点，则将α缩小0.7倍，直至可行为止。然后再重复可行点的步骤。2.扩张3.收缩三.终止判别条件各顶点与好点函数值之差的均方根应不大于误差限比较复合形各顶点的函数值，找出好点XL，坏点XHXH=XRα=0.5α找出次坏点XSH

，XH=XSH满足终止条件？X*=XL,F*=F(XL)结束四.复合形法的

迭代步骤是否给定K，δ，α，ε，ai,bi

i=1,2,…n产生初始复合形顶点Xj,j=1,2,…,K计算复合形各顶点的函数值F(Xj),j=1,2,…,K是是是否否否XR∈DFR<F(XH)方法特点（1）复合形法是求解约束非线性最优化问题的一种直接方法，仅通过选取各顶点并比较各点处函数值的大小，就可寻找下一步的探索方向。但复合形各顶点的选择和替换，不仅要满足目标函数值下降的要求，还应当满足所有的约束条件。（2）复合形法适用于仅含不等式约束的问题。§5-5惩罚函数法

惩罚函数法是一种很广泛、很有效的间接解法。它的基本原理是将约束优化问题中的不等式和不等式约束函数经加权后，和原目标函数结合为新的目标函数——惩罚函数。

将约束优化问题转换为无约束优化问题。求解无约束优化问题的极小值，从而得到原约束优化问题的最优解。加权转化项将有约束的优化问题转化为无约束优化问题来求解。前提：一是不能破坏约束问题的约束条件，二是使它归结到原约束问题的同一最优解上去。

构成一个新的目标函数，称为惩罚函数

从而有惩罚项必须具有以下极限性质：

求解该新目标函数的无约束极小值，以期得到原问题的约束最优解。按一定的法则改变罚因子r1

和r2的值，求得一序列的无约束最优解，不断地逼近原约束优化问题的最优解。

根据约束形式和定义的泛函及罚因子的递推方法等不同，罚函数法可分为内点法、外点法和混合罚函数法三种。这种方法是1968年由美国学者A．V．Fiacco和G．P．Mcormick提出的，把不等式约束引入数学模型中，为求多维有约束非线性规划问题开创了一个新局面。内点法

这种方法将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。对于只具有不等式约束的优化问题：

转化后的惩罚函数形式为：或：rk是惩罚因子，它是一个由大到小且趋近于0的正数列，即:由于内点法的迭代过程在可行域内进行，“障碍项”的作用是阻止迭代点越出可行域。由“障碍项”的函数形式可知，当迭代点靠近某一约束边界时，其值趋近于0，而“障碍项”的值陡然增加，并趋近于无穷大，好像在可行域的边界上筑起了一道“高墙”，使迭代点始终不能越出可行域。显然，只有当惩罚因子时，才能求得在约束边界上的最优解。

罚因子的作用是：由于内点法只能在可行域内迭代，而最优解很可能在可行域内靠近边界处或就在边界上，此时尽管泛函的值很大，但罚因子是不断递减的正值，经多次迭代，接近最优解时，惩罚项已是很小的正值。

例5-2用内点法求的约束最优解。解:用内点法求解该问题时，首先构造内点惩罚函数:用解析法求函数的极小值，运用极值条件：

联立求解得：时不满足约束条件

应舍去。无约束极值点为当1）

初始点x0的选取使用内点法时，初始点应选择一个离约束边界较远的可行点。如太靠近某一约束边界，构造的惩罚函数可能由于障碍项的值很大而变得畸形，使求解无约束优化问题发生困难.2）

惩罚因子初值r0的选取惩罚因子的初值应适当，否则会影响迭代计算的正常进行。一般而言，太大，将增加迭代次数；太小，会使惩罚函数的性态变坏，甚至难以收敛到极值点。无一般性的有效方法。对于不同的问题，都要经过多次试算，才能决定一个适当

r0

3)惩罚因子的缩减系数c的选取在构造序列惩罚函数时，惩罚因子r是一个逐次递减到0的数列，相邻两次迭代的惩罚因子的关系为

:式中的c称为惩罚因子的缩减系数，c为小于1的正数。一般的看法是，c值的大小在迭代过程中不起决定性作用，通常的取值范围在0.1~0.7之间。

4)收敛条件算法步骤：1）选择可行域内初始点X(0);2）选取初始罚因子r(0)与罚因子降低系数c，并置K←0；3）求minφ(x(K),r(K))解出最优点xK*；4）当K=0转步骤5），否则转步骤6）；5）K←K+1，r(K+1)←r(K)，xK+10←xK*，并转步骤3）；6）按终止准则判别，若满足转步骤7），否则转步骤5）；7）输出最优解（X*，F*），停止计算。2.

外点法

外点法是从可行域的外部构造一个点序列去逼近原约束问题的最优解。外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。

外点惩罚函数的形式为：

r是惩罚因子

,外点法的迭代过程在可行域之外进行，惩罚项的作用是迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。由惩罚项的形式可知，当迭代点x

不可行时，惩罚项的值大于0。

惩罚因子，它是由小到大。惩罚项由惩罚项可知，当迭代点不可行时，惩罚项的值大于零。

当迭代点离约束边界越远时，惩罚项愈大，这可看成是对迭代点不满足约束条件的一种惩罚。转化后的外点惩罚函数的形式为：例

用外点法求解下列有约束优化问题解：惩罚函数为：

对上式求偏导，得

无约束目标函数极小化问题的最优解系列为：当惩罚因子渐增时，由下表可看出收敛情况。r0.01-0.80975-50.00000-24.9650-49.99770.1-0.45969-5.00000-2.2344-4.947410.23607-0.500000.96310.1295100.83216-0.050002.30682.000110000.99800-0.000502.66242.6582∞108/38/3例6-6用外点法求问题约束最优解。首先构造外点惩罚函数：用解析法求解求解得外点法惩罚因子按下式递增递增系数，通常取c=5-10。与内点法相反计算r0

值。选取的r0

太大则会使惩罚函数等值线偏心或变形，难以取得极小值。但r0太小