第二章 平面体系的机动分析

结构力学

Structuralmechanics

东北大学资土学院土木工程研究所陈百玲第二章平面体系的机动分析一、几何不变体系：(geometricallystablesystem)：一个杆系，在荷载作用下，若略去杆件本身的弹性变形而能保持其几何形状和位置不变的体系。P第二章

平面体系的机动分析

问题：是不是任何一个结构都能成为工程结构？

§2-1基本概念：弹性变形几何不变二、几何可变体系：

(geometricallyunstablesystem)：一个体系受到某种荷载作用，在不考虑材料应变的前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变，称为几何可变体系。P第二章

平面体系的机动分析

§2-1基本概念：几何可变二、几何可变体系：

第二章

平面体系的机动分析

§2-1基本概念：FPFP三、瞬变体系：体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料应变的前提下，体系产生瞬时变形后，由几何可变体系变为几何不变体系，则称为几何瞬变体系。

第二章

平面体系的机动分析

§2-1基本概念：瞬变体系分析:特点：从微小运动角度看，这是一个可变体系；微小运动后即成不变体系。§2-1基本概念：四、杆系的机动分析(几何组成分析)：机动分析就是判断一个杆系是否是几何不变体系，同时还要研究几何不变体系的组成规律。

机动分析的目的：1、判别某一体系是否为几何不变，从而决定它能否作为结构。2、区别静定结构、超静定结构，从而选定相应计算方法。3、搞清结构各部分间的相互关系，以决定合理的计算顺序。第二章

平面体系的机动分析

组成几何不变体系的条件：

具有必要的约束数；

约束布置方式合理。§2-2平面体系的自由度计算：(Degreesoffreedomofplanarsystems)一、自由度：物体做刚体运动时，可以独立变化的几何参数的个数，也即确定物体的位置所需的独立坐标数。

1.一个点的自由度——2

第二章

平面体系的机动分析

xyyxA(x,y)oyxyoxA(x,y)

2.一个刚片的自由度——3

刚片——平面内一个几何不变的刚体(它可以是一根杆件：直杆、曲杆或由若干杆件组成的几何不变体系)。

1个单链杆=1个约束。链杆可以是曲的、折的杆，只要保持两铰间距不变，起到两铰连线方向约束作用即可1个单刚结点=3个约束1）单链杆2）单刚结点（1）单约束

仅连接两个刚片的约束.二、约束（联系）：

----约束(restraint)：凡能减少自由度的装置（即能限制体系运动的装置）。1.常见约束装置：（单约束、复约束）第二章

平面体系的机动分析

§2-2平面体系的自由度计算yox两个自由度：、

一个支座链杆可减少一个自由度第二章

平面体系的机动分析

§2-2平面体系的自由度计算

单链杆：3）单铰(简单铰)1个单铰=2个约束=2个单链杆。虚铰——在运动中虚铰的位置不定，这是虚铰和实铰的区别。通常我们研究的是指定位置处的瞬时运动，因此，虚铰和实铰所起的作用是相同的都是相对转动中心。yoxxy四个自由度：x、y、、ß一个单铰减少两个自由度。3）单铰(简单铰)第二章

平面体系的机动分析

§2-2平面体系的自由度计算⑵复约束：连接两个以上刚片的约束。一个连接n个刚片的复铰相当于(n-1)个单铰，相当于2(n-1)个约束。复铰一个连接n个刚片的复刚相当3(n-1)个约束。复链杆连接n个结点的复链杆相当于2n-3个单链杆复刚实际自由度（五个）：

、、θ1、θ2、θ3；铰A相当于两个单铰。结论：连接n个杆件的复铰，相当于(n－1)个单铰。以连接三刚片的复铰为例，推导：分析：一个刚片有三个自由度，没连接前，三刚片共有9个自由度；用铰A连接后，实际自由度为5，共减少了4个自由度；一个单铰减少两个自由度，所以说铰A相当于两个单铰作用。其他情况自己推导，记住结论。多余约束

(

redundentrestraints)：体系中增加一个或减少一个该约束并不改变体系的自由度数。结论：只有必要约束才能对体系自由度有影响。必要约束

(necessaryrestraints)：体系中增加一个或减少一个该约束，将改变体系的自由度数。必要约束多余约束2.平面刚片系的组成：第二章

平面体系的机动分析

§2-2平面体系的自由度计算3、平面刚片系的自由度计算公式：设有一个平面刚片系

：

第二章

平面体系的机动分析

§2-2平面体系的自由度计算体系自由度（计算）：自由度：3m

约束：

2h

约束：r单铰数：

h支座链杆数：r刚片数：

m

如果体系不与基础相连，即r=0时，体系对基础有三个自由度，仅研究体系本身的内部可变度V。则知

第二章

平面体系的机动分析

§2-2平面体系的自由度计算得：例1．

第二章

平面体系的机动分析

§2-2平面体系的自由度计算解:例2.

不与基础相连第二章

平面体系的机动分析

§2-2平面体系的自由度计算解:内部可变度：

平面上一个点有两个自由度。如图：A、B两点共有四个自由度：

、

、

、第二章

平面体系的机动分析

§2-2平面体系的自由度计算4、平面链杆系的自由度(桁架):链杆(link)——仅在杆件两端用铰连接的杆件。可见独立的参数仅三个。两点用一链杆相连后有：内部可变度：第二章

平面体系的机动分析

§2-2平面体系的自由度计算一根链杆→一个约束即两点间加一链杆，则减少一个自由度。设一个平面链杆系：自由度：2j

约束：

b

约束：r链杆数：

b支座链杆数：r铰结点数：

j则体系自由度：例3．

j=9b=15r=3

第二章

平面体系的机动分析

§2-2平面体系的自由度计算例4．j=6b=9r=3

第二章

平面体系的机动分析

W=0几何不变

§2-2平面体系的自由度计算5、自由度的讨论：

第二章

平面体系的机动分析

§2-2平面体系的自由度计算⑵W=0具有成为几何不变所需的最少联系⑴W>0

几何可变(3)W<0有多余联系第二章

平面体系的机动分析

§2-2平面体系的自由度计算因此，体系几何不变的必要条件：W<0几何不变W<0几何可变W≤0W>0,缺少足够联系，体系几何可变。

W=0,具备成为几何不变体系所要求的最少联系数目。

W<0，体系具有多余联系。W>0体系几何可变体系几何不变W<0小结计算自由度时，可能出现以下三情况：⑴W>0(V>0)

→存在自由度，几何可变。⑵W=0(V=0)

→约束数正好等于部件总自由度数。可能几何不变，但不能保证。是体系几何不变的必要条件，而非充分条件，如为几何不变，则体系是静定结构。(3)W<0

→表明体系的约束数多于部件总自由度数，必有多余联系，如为几何不变，则体系是超静定结构。第二章

平面体系的机动分析

§2-2平面体系的自由度计算复习：自由度的讨论：利用公式：(平面刚片系)或(平面链杆系)

结论：W≤0是体系几何不变的必要条件，而不是充分条件，还必须通过几何组成分析才能得出体系几何可变或几何不变。

第二章

平面体系的机动分析

§2-2平面体系的自由度计算

一、三刚片规则

三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相连，所组成的平面体系几何不变。

第二章

平面体系的机动分析

§2-3几何不变体系的构成规则(Geometricconstructionanalysis(Kinematicsanalysis）)说明：

1.刚片通过支座链杆与地基相联，地基可视为一刚片。第二章

平面体系的机动分析

§2-3几何不变体系的构成规则ⅡⅠ2.三刚片用位于同一直线上的三个铰相联，组成瞬变体系。(几何可变)第二章

平面体系的机动分析

§2-3几何不变体系的构成规则ABCC’3.连接两刚片的铰，也可以用两个相交的链杆来代替。

第二章

平面体系的机动分析

§2-3几何不变体系的构成规则两链杆的交点——单铰※交点在无穷远处(虚铰)：

第二章

平面体系的机动分析

几何可变

（瞬变）§2-3几何不变体系的构成规则ⅢⅠⅡⅢⅠⅡⅢⅠⅡ几何不变几何不变两链杆的交点——单铰二、二元体规则

在刚片上增加（或减少）一个二元体，是几何不变体系。

第二章

平面体系的机动分析

§2-3几何不变体系的构成规则二元体——由两根不共线的链杆联接一个新结点的装置，这个“两杆一铰”体系，称为二元体。刚片1BAC几何不变体系中，增加或减少二元体，仍为几何不变体系。第二章

平面体系的机动分析

§2-3几何不变体系的构成规则三、两刚片规则：

两个刚片用一个铰和一个不通过该铰铰心的链杆连接，组成几何不变体系。第二章

平面体系的机动分析

§2-3几何不变体系的构成规则ⅡⅠ链杆铰三、两刚片规则：

第二章

平面体系的机动分析

铰§2-3几何不变体系的构成规则刚片2刚片1DE刚片1刚片2ABCDOEFABC说明：

1.连接两刚片的三个链杆相交于一点，形成瞬变体系。第二章

平面体系的机动分析

§2-3几何不变体系的构成规则虚铰：几何瞬变实铰：几何可变2.连接两刚片的三个链杆相互平行。⑴三平行杆不等长，组成瞬变体系(图①)。第二章

平面体系的机动分析

§2-3几何不变体系的构成规则⑵三平行杆等长，且在同一侧，组成几何可变体系（常变）(图②)。

图①Ⅱ12Ⅰ3Ⅱ12Ⅰ3图②§2-3几何不变体系的构成规则第二章

平面体系的机动分析

图③1ⅡⅠ23⑶三平行杆等长，但不在同一侧，组成瞬变体系(图③)。

温馨提示1：

三个规律只是相互之间变相，终归为三角形稳定性。温馨提示2：每个规律的条件是必须的，否则将

成为可变体系。如果规律的条件不具备：共线则瞬变体系FPFP并线同侧则常变体系※温馨提示3：

有限交点无限交点瞬变体系常变体系结构分析方法1

从基础出发，由近及远，由小到大：技巧：依次增加二元体，每次固定一结点。固定一点结构分析方法2

从基础出发，由近及远，由小到大：固定一刚片固定两刚片主从结构

从刚片出发，由内及外，内外联合形成整体体系。若内部体系和基础由不交于一点的三杆相连，可去掉基础只分析内部体系。结构分析方法3结构分析方法4

从规律出发，由内及外，内外联合形成整体体系。利用虚铰铰杆代替解题方法

—教你一招

3.将几何不变部分作为一个大刚片；复杂形状的链杆可看成直链杆；连接两个刚片的链杆用虚铰代替（代替法）1.先找出体系中一个或几个几何不变部分，再逐步组装、扩大形成整体（组装法）2.对于不影响几何不变的部分逐步排除（如：去除二元体），使分析对象简化（排除法）§2-4机动分析示例

第二章

平面体系的机动分析

例1.

1.自由度的计算：刚片数：m=5支杆数：r=5单铰数：h=5自由度：

14刚片325

2.组成分析：去掉二元体后得图①：第二章

平面体系的机动分析

§2-4机动分析示例

132ⅡⅠ

图①由三刚片规则知，上部的结构几何不变，再由二刚片规则(图②)知，该结构为几何不变。

图②14刚片325

§2-4机动分析示例例2．第二章

平面体系的机动分析

124756满足几何不变的必要条件。1.自由度计算：结点数：j=8链杆数：b=13自由度：§2-4机动分析示例

第二章

平面体系的机动分析

2.

组成分析：1、2、3、4和5、6、7、8各组成一刚片，124756由两刚片规则，其几何不变。补充例题1：第二章

平面体系的机动分析

§2-4机动分析示例

ⅢⅠⅡj=6b=9三刚片规则，几何不变。

上部结构,两刚片规则，几何不变。上部+基础,两刚片规则，几何不变。第二章

平面体系的机动分析

§2-4机动分析示例ⅠⅡj=6b=9r=3补充例题2：补充例题3:对图示体系作几何组成分析解:三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系为无多余约束的几何不变体系.第二章

平面体系的机动分析大地：IIIIII补充例题4:对图示体系作几何组成分析解:内部三刚片三铰相连,三铰不共线,与基础用三根不交于一点的链杆相连，所以该体系为无多余约束的几何不变体系.第二章

平面体系的机动分析IIIIII补充例题5:对图示体系作几何组成分析第二章

平面体系的机动分析第二章

平面体系的机动分析补充例题6:对图示体系作几何组成分析主从结构，顺序安装IIIIII补充例题7:对图示体系作几何组成分析解:该体系为常变体系.第二章

平面体系的机动分析去二元体补充例题8:对图示体系作几何组成分析解:该体系为有一个多余约束几何不变体系第二章

平面体系的机动分析练习1:对图示体系作几何组成分析第二章

平面体系的机动分析练习2:对图示体系作几何组成分析第二章

平面体系的机动分析复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。连接n个铰结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。补充说明一点:FFBFAyFAx静定结构§2-5几何组成与静定性的关系

无多余联系几何不变。如何求支座反力?第二章

平面体系的机动分析

FFBFAyFAxFC超静定结构有多余联系几何不变。能否求全部反力?第二章

平面体系的机动分析

体系几何不变体系几何可变体系有多余联系无多余联系常变瞬变可作为结构静定结构超静定结构不可作结构小结第二章

平面体系的机动分析

习题：P24-25（2-3、2-5、2-7、2-10、2-11、2-15）

第二章

平面体系的机动分析

作业复习思考题：P23（1～8）几何组成分析练习题