第6讲正弦量及其表示

电工电子技术

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2137388761交流电的概念

(AlternatingCurrent,AC)大小和方向都随时间按一定规律作周期性变化且在一个周期内平均值为零的电压、电流称为交流电。如正弦波、方波、三角波、锯齿波等。Tut第3章正弦交流电路uTt2

如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正弦（或余弦）规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦（或余弦）的，这样的电路称为正弦交流电路。

正弦交流电的优越性：便于传输:利用变压器可方便升压降压；便于运算:同频率正弦量的加减及对时间的导数和积分仍是同频率正弦量；有利于电器设备的运行:因为变化平稳。等等。正弦交流电路

因此，在生产和生活中普遍应用正弦交流电。ωt3不同的是：直流电路在稳定状态下电流、电压的大小和方向是不随时间变化的，所以其值要么恒大于0，要么恒小于0，如图所示。

tI,UO而正弦电压和电流是按正弦规律周期性变化的，其波形如图示。

tu,iO–

+uiR–

+uiR正半周负半周因此，在正半周时，其实际方向与参考方向一致，其值为正。而在负半周时，由于的参考方向与实际方向相反，所以为负值。+实际方向正弦交流电的方向与直流电路一样，交流电路进行计算时，也要首先规定物理量的参考方向，然后才能用数学表达式来描述。43.1正弦量及其表示1.正弦量2.波形描述术语3.1.1正弦量三要素随时间按正弦和余弦规律变化的电压、电流和电势统称为正弦量。ImT2iO角频率：决定正弦量变化快慢幅值：决定正弦量的大小幅值、角频率、初相角称为正弦量的三要素。初相角：决定正弦量起始位置幅值必须大写,下标加m。53.频率与周期周期T：正弦量变化一次所需的时间（s）角频率：正弦量1秒钟转过的电角度（rad/s）频率f：正弦量1秒钟变化的次数（Hz）T*无线通信频率：

30kHz~30GMHz*电网频率：我国50Hz，美国

、日本60Hz*高频炉频率：200~300kHZ*中频炉频率：500~8000HziO正弦电路中所有物理量的角频率相同。6

给出了观察正弦波的起点或参考点。:4.相位与相位差

相位：初相位：

表示正弦量在t=0时的相位。

反映正弦量变化进程的电角度。iO7如：若电压超前电流

两同频率的正弦量之间的初相位之差。相位差：

uiuiωtO8电流超前电压电压与电流同相

电流超前电压

电压与电流反相uiωtuiOuiωtui90°OuiωtuiOωtuiuiO9②不同频率的正弦量比较无意义。

①两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选择起点无关。注意:tO103.1.2正弦量的有效值及应用1.周期量的有效值定义Riuut0Tu0Tt与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。则有交流直流有效值必须大写

112.有效值的实用计算及应用设i=Imsin(t+)则由三角恒等式得同理：注意：交流电压、电流表测量数据为有效值交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值12已知：频率初相位课堂练习1问:i的幅值、频率、初相位为多少？答：幅度，133.1.3正弦量的相量表示法正弦量的表示法：ii1i2已知：求：i解：i=i1+i2wsinA)60(80+=t1iiwsinA)30(602－t=三角函数表示波形表示相量表示i1i2O14在前面介绍了用三角函数和波形表达正弦量，但这种表示其计算非常烦琐和麻烦。用相量表示正弦量，在正弦稳态计算中，可以避免三角的烦琐演算和解微分方程的麻烦，即把求解微分方程的问题转化为求解代数方程。

相量（phasor）为什么能表示正弦量，则要从复数谈起。151.相量的数学基础（1）复数（复矢量）的表示形式

代数式I=a+jbj——虚数单位（数学中的文字符号为i）a=Re[I]，Re[]—取实算子；b=Im[I]，Im[]—取虚算子。指数式

I=│I│ej矢量图│I│称复数I的模；称辐角。

16（2）旋转因子ej90°=cos90°+jsin90°ej90°——90°的旋转因子。（3）复数的计算四则运算：加、减运算——相量用代数式表示乘、除演算——相量用指数式表示两复数相等的条件：对代数式：实部、虚部分别相等。对指数式：模相等，辐角相同。1jj=1×j其几何意义为ejωt——以ω为角速度的旋转因子。实轴=0+j172.正弦量的相量表示（1）指数与三角的关系（欧拉公式）ej=cos+jsine-j=cos-jsinej（t+）=cos(t+)+jsin(t+)在该式两边同乘以Um得Umej（t+）=Umcos(t+)+jUmsin(t+)Umsin(t+)Um

sin(t+)=Im[Umej（t+）]18u=Um

sin(t+)ω若:有向线段长度=ω有向线段以速度

按逆时针方向旋转则:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。有向线段与横轴夹角=初相位u0xyOOUmej（t+）

193.相量符号

包含幅度与相位信息。1.描述正弦量的有向线段称为相量(phasor)。若其幅度用最大值表示，则用符号：有效值最大值（2）正弦量的相量表示2.在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：20

落后于超前落后？解:(1)相量式(2)相量图例:

将u1、u2

用相量表示+1+j21同频率正弦波的相量画在一起，构成相量图。例：同频率正弦波相加--平行四边形法则22①相量是表示正弦量的复数，正弦量是时间的函数，二者之间并不相等注意:？=②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。

正变换反变换23⑤相量的书写方式

模用最大值表示，则用符号：④相量的两种表示形式

相量图:

把相量表示在复平面的图形实际应用中，模多采用有效值，符号：可不画坐标轴如：已知则或相量式:24[例

]若已知i1=I1msin(t+1)=100sin(t+45)A，

i2=I2

msin(t+2)=60

sin(t30)A，求i=i1

+

i2。[解]正弦电量(时间函数)所求正弦量变换相量(复数)相量结果反变换相量运算(复数运算)于是得正弦电量的运算可按下列步骤进行，首先把25？正误判断1.已知：？有效值？3.已知：复数瞬时值j45•？最大值？？负号2.已知：4.已知：课堂练习226例3-1:图示电路是三相四线制电源，已知三个电源的电压分别为：试求uAB，并画出相量图。NCANB+–++-+–––解:(1)用相量法计算：

27(2)相量图由KVL定律可知28（3）正弦量微分与积分的相量同理可导出积分的相量i→I.i=Im[Iejt].29波形图瞬时值相量图小结：正弦量的四种表示法Ti相量303．2电路约束的相量形式元件约束（VCR）结构约束（KCL、KVL）相量形式时域形式电路约束数域？？313.2.1元件VCR的相量形式（1）相量模型要等式成立，只要相应电路模型为1.电阻元件将uR、iR代入式u=Ri得由正弦函数等于旋转复矢量取虚部，uR、iR可表示为32（2）限流与移相特性

∴U=RI

u=iu=

itiu（3）波形图相量图结果表明，电阻在交流电路中只有限流作用没有移相功能。332.电容元件（1）相量模型

==由正弦函数等于旋转复矢量取虚部，uc、ic可表示为34所以要等式成立，只要相应电路模型为=35（2）限流与移相特性∴U=XcIu=i-90°=Xc—具有与电阻相同的作用，即限流作用，但又不是电阻，故引用容抗来描述电容的限流特性，单位为Ω。Bc—具有与电导相同的作用，即导流作用，但又不是电导，故引用容纳来描述电容的导流特性，单位为S。或36它表明电压滞后电流90°，它揭示电容器件的移相特性。（3）波形图及相量图tiu

iuu-i=

-90°IU超前所以电容C具有隔直通交的作用XC直流：XC，电容C视为开路交流：f容抗XC是频率的函数37（1）相量模型3.电感元件==由正弦函数等于旋转复矢量取虚部，uL、iL可表示为38所以=要等式成立，只要相应电路模型为39（2）限流与移相特性∴U=XLI=XL—具有与电阻相同的作用，即限流作用，但又不是电阻，故引用感抗来描述电感的限流特性，单位为Ω。BL—具有与电导相同的作用，即导流作用，但又不是电导，故引用感纳来描述电感的导流特性，单位为S。或u=i+90°40它表明电压超前电流90°，它揭示电感的器件的移