第9讲多元线性回归主成分回归

多元线性回归主成分及其回归第9讲多元线性回归解决的问题系数矩阵Y=XA建模：求解回归系数A，该过程称为建模预报：在A已知时，对于新测Xnew，预报Ynew，称为预报例子某保健品含片产品，说明书标明：由营养物质A、B、C组成，产品标注中写出了每片中A、B、C物质的含量。问，如何认定？配置A、B、C的一组溶液，建立浓度与光吸收的关系。既建模求回归系数将药片配置成溶液，测吸光，利用上面的模型，预报浓度。建模公式推导Y=XAXtY=XtXA(XtX)-1XtY=AE:\学校教学\python\X.txtE:\学校教学\python\Y.txt问题求解的关键步骤是什么？方程数与未知数的关系设有规律上符合如下方程的一

组实验数据

y=ax+b通过实验，不断变更x，测得对应的y求a,b的值，需要几组这样的数据？唯一解最小二乘解y1y2…ynx11x21…1xn1ab=矩阵形式XtX是2*2的矩阵方程数与未知数的关系设有规律上符合如下方程的一

组实验数据

y=1.2x1+0.9x2+3.3x3通过实验，不断变更x1、x2、x3，测得对应的y需要几组这样的数据？唯一解最小二乘解方程数小于未知数，一定无解吗y=1.2x1+0.9x2+3.3x3当X1,X2,X3存在线性相关时，问题会怎样？如果x个数很多，样本打不到要求，怎么办？现实中存在这样的问题吗不同浓度成分相同的溶液，在不同波长x1、x2下的吸光值的比值，溶液浓度变化，比值不变。既X1和X2之间是线性相关的。怎样知道变量之间有相关性？答案：通过线性变化主成分算法能解决这类问题死计算：检查XtX有没有逆，没逆，则线性相关10主成份分析

PCAPrincipleComponentAnalysis能有效的提取测量数据的有用信息解决变量之间的相关性问题有效去除误差，建立有效的模型11PCA分解算法原理采用非线性迭代偏最小二乘法(NonlinearIterativePartialLeastSquares,NIPALS)方法分解量测矩阵SS=TPt+E=Σtipi+ET得分矩阵特征值方程Ax=λxP载荷矩阵T和P都是列正交矩阵T的第i列ti的模，就是第i个特征值λi

E为残差矩阵，对应噪声每个主成分就是T和P的对应列

主成分示例12方差最大方向NIPALS算法每次只求一个主成分，目前最大散差方向仪器的信噪比仪器测量时，信号强度要远远大于噪声信号的数据的方差要远远大于噪声的方差所以，PCA可以区别噪声样例x0.91.10.80.8722.21.92.1y1.21.00.921.11.811.91.72.5t11.4861.4851.2161.3932.6942.8982.5453.253t2-0.2080.075-0.081-0.1580.1420.2210.149-0.273原数据图PCA后15通过特征值比值判断有效变量数在λi/λi+i，应该达到最大值根据i值，取T和P的前i列，即可扔掉噪声16主成分回归PCRPrincipleComponentRegression是多元线性回归！原来Y=XA现在Y=TAT为X的主成分得分，即X经PCA分解后的得分因为T只是X的线性组合，提取了线性相关的部分，且只取前i列，所以模型稳定，去掉噪声numpy中主成分分解—SVD分解实矩阵的SVD(SingularValueDecomposition，奇异值分解)分解：分解结果：A=USV其中S是对角矩阵numpy中主成分分解---SVD程序代码：B=np.linalg.svd(A,full_matrices=False)full_matrices=False一定要写，否则会按复数分解分解结果：U=B[0]lamda=B[1]V=B[2]Lamda是所有的特征值，可以计算相邻比值，决定主成分，它不是一个矩阵实例—光谱矩阵的SVD分解数据：E:\学校教学\教改项目教材\数据\S-093790.txt是一个16*6的矩阵看看能求解个特征值？16个？6个？96个？实例—光谱矩阵的SVD分解data=np.mafromtxt("E:\\学校教学\\教改项目教材\\数据\\S-093790.txt")data=data.dataB=np.linalg.svd(data,full_matrices=False)>>>B[1]array([5.48250094e+00,1.10440342e+00,3.27012276e-01,3.23153080e-03,2.19720845e-03,1.11546885e-03])实例—光谱矩阵的SVD分解>>>ld=B[1]>>>foriinrange(len(ld)-1): temp=ld[i]/ld[i+1] print(temp)4.964219451633.37725370576101.1942313561.470743841531.96976226926矩阵中有3个有效特征值根据有效特征值，设定PCA的得分和载荷实例—光谱矩阵的SVD分解根据主成分，规划得分U和载荷矩阵PSVD：X=USVPCA：X=TPtT=US，P=Vti=len(lamda)

S=np.zeros((i,i))

S[:i,:i]=np.diag(lamda)

T=np.dot(U,S)V=V.TP=VT=T[:,:k]P=P[:,:k]可否编写PCA类传递矩阵给类求得T、P矩阵，特征值比值列表根据特征值比值，规划T和PPCA类importnumpyasnpclassPCA:def__init__(self,A):self.A=AdefSVDdecompose(self):B=np.linalg.svd(self.A,full_matrices=False)U=B[0]lamda=B[1]V=B[2]i=len(lamda)S=np.zeros((i,i))S[:i,:i]=np.diag(lamda)PCA类

self.T=np.dot(U,S)

V=V.Tself.P=Vcompare=[]foriinrange(len(lamda)-1):temp=lamda[i]/lamda[i+1]compare.append(temp)returnU,S,V,comparedefPCAdecompose(self,k):T=self.T[:,:k]P=self.P[:,:k]returnT,PPCA类调用应该先调用decompose方法，根据返回的特征之比值，确定主成分再调用PCAdecompose方法，设定得分和载荷矩阵主成分回归原来Y=XA现在Y=TATtY=TtTATtT-1TtY=A求得最终的回归系数：主成分X=TPt因为P是正交矩阵，所以T=XPY=TA=XPA=XAnew主成分回归数据E:\学校教学\python\S-093843.txtE:\学校教学\python\C-093843.txt求解方程C=SAS是6*16的矩阵所以StS的逆不存在S是光谱矩阵，光谱的不同波长间线性相关，所以可以用PCR程序代码—建模过程S=np.mafromtxt(“E:\\学校教学\\python\\S-093843.txt")S=S.dataC=np.mafromtxt(“E:\\学校教学\\python\\C-093843.txt")C=C.dataB=np.linalg.svd(data,full_matrices=False)U=B[0]lamda=B[1]i=len(lamda)S=np.zeros((i,i))S[:i,:i]=np.diag(lamda)T=np.dot(U,S)V=B[2]程序代码—建模过程P=V.Tforiinrange(len(lmada)-1): temp=lamda[i]/lamda[i+1] print(temp)k=int(input(“主成分数为:”))T=T[:,:k]P=P[:,:k]TtT=np.dot(T.T,T)inv=np.linalg.inv(TtT)A=np.dot(inv,T.T)Alast=np.dot(P,A)程序代码—预报对新测定Snew:C=np.dot(Snew,Alast)扩展--能否用MLR、PCA类PCR类传递X，Y给PCRPCR内，以X调用PCA，确定主成分数根据确定的主成分数，确定T、P，以T，Y建模，并结合P确定回归系数建立预报方法。扩展--能否用MLR、PCA类PCR类importnumpyasnpfromPCAimportPCAfromMLRimportMLRclassPCR:def__init__(self,X,Y):self.X=Xself.Y=YdefconfirmPCs(self):pca=PCA(self.X)U,S,V,compare=pca.SVDdecompose()returncompare扩展----能否用MLR、PCA类defmodel(self,PCs):pca=PCA(self.X)U,S,V,compare=pca.SVDdecompose()T,P=pca.PCAdecompose(PCs)mlr=MLR(T,self.Y)mlr.modelling()self.A=np.dot(P,mlr.A)defpredict(self,Xnew):ans=np.dot(Xnew,self.A)returnans调用函数S=np.mafromtxt("E:\\学校教