第9章 梁的应力

第9章梁的应力CD梁段横截面上只有弯矩,而没有剪力，这种平面弯曲称为纯弯曲。AC和DB梁段横截面上不仅有弯矩还伴有剪力，这种平面弯曲称为横力弯曲。MFPaFQFPFPFPFPaaCDAB

与圆轴扭转同样，纯弯曲梁横截面上的正应力研究方法是：观察变形应力分布应力计算公式

σ与ε物理关系静力学关系一、纯弯曲时梁横截面上的正应力Oyxzbhoyz观察纯弯曲梁变形现象o1ao2b12121.几何变形方面zyxoMMOyz所有纵向线都弯成曲线，仍与横向线垂直，靠近凸边的纵向线伸长了，靠近凹边的纵向线缩短了。横向线仍为直线但转过了一个角度；矩形截面的上部变宽下部变窄。1212MMo1a1o2b1

平面假设：梁变形后其横截面仍保持为平面，且仍与变形后的梁轴线垂直。同时还假设梁的各纵向纤维之间无挤压。

单向受力假设：将梁看成由无数条纵向纤维组成，各纤维只受到轴向拉伸或压缩，不存在相互挤压。中性层MMzy中性轴受压区受拉区

中性层：梁的下部纵向纤维伸长，而上部纵向纤维缩短，由变形的连续性可知，梁内肯定有一层长度不变的纤维层，称为中性层。

中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴，由于荷载作用于梁的纵向对称面内，梁的变形沿纵向对称，则中性轴垂直于横截面的对称轴。梁弯曲变形时，其横截面绕中性轴旋转某一角度。

1212o1ao2b1212o1ao2b1122MMdx

梁中取出的长为dx的微段变形后其两端相对转了d角a1b1O2O1dr距中性层为y处的纵向纤维ab的变形式中ρ为中性层上的纤维的曲率半径。可知：梁内任一层纵向纤维的线应变与其的坐标成正比。

则纤维的应变为原长：))O1O2a1b1O2O1dr1212o1ao2b变形后长：弯曲应力

2.物理关系方面

由于假设梁内各纵向纤维只受拉伸或压缩，所以当材料在线弹性范围内工作时，由虎克定律可得各纵向纤维的正应力为

梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比。即弯曲正应力沿截面高度成线性分布。

中性轴上各点处的正应力等于零，距中性轴最远的上、下边缘上各点处正应力最大，其它点的正应力介于零到最大值。xyzO坐标系的选取：

y轴：截面的纵向对称轴。

z轴：中性轴。

x轴：沿纵向线。

受力分析：dA上的内力为σdA，于是整个截面上所有内力组成一空间平行力系，由于横截面上只有绕中性轴的弯矩MZ，所以横截面法向的轴力FN和力偶矩My应为零，即：ΣFx＝0ΣMy=0ΣMz=M(y

z)M3.静力学关系方面故：Sz

=0

即中性轴z必过横截面的形心。代入胡克定律：及：故：Iyz＝0，y轴为对称轴，z轴又过形心，则轴y，z为横截面的形心主惯性轴。（中性层曲率公式）故：其中1／ρ是梁轴线变形后的曲率。称EIZ为梁的抗弯刚度。得纯弯曲时横截面上正应力的计算公式：代入：

表明：横截面上任一点的正应力与该横截面上的弯矩和该点到中性轴的距离成正比，而与该截面对中性轴的惯性矩成反比。

计算时公式中代入M和y的绝对值。σ的正负可由弯矩的正负和所求点的位置来判断.-++-适用条件是：

(1)梁的横截面至少具有一个纵向对称轴。(2)正应力不超过材料的比例极限。(3)梁产生纯弯曲。横力弯曲：梁的横截面上既有弯矩又有剪力。此时，横截面是不仅有正应力，而且有切应力。二、纯弯曲理论的推广对于跨度与截面高度之比大于5的横力弯曲梁，横截面上的最大正应力按纯弯曲正应力公式计算，满足工程上的精度要求。梁的跨高比越大，误差就越小。梁在纯弯曲时所作的平面假设和各纵向纤维间无挤压的假设不再成立。

例简支梁受均布荷载q作用，试完成：(1)求距左端为１m的C截面上a、b、c三点的正应力。(2)求梁的最大正应力值，并说明最大正应力发生在何处。(3)作出C截面上正应力沿截面高度的分布图。

200q=3.5kN/mAB3m1m解

（1）求指定截面上指定点的应力先求出支座反力,由对称性C截面积的弯矩矩形截面对中性轴z的惯性矩MC=(5.25×1－3.5×1×0.5)kN·m=3.5kN·m200q=3.5kN/mAB3m1m计算C截面上a、b、c三点的正应力：200(2)求梁的最大正应力值，及最大正应力发生的位置。梁的最大正应力发生在最大弯矩Mmax所在的上、下边缘处。由梁的变形情况可以判定，最大拉应力发生在跨中截面的下边缘处；最大压应力发生在跨中截面的边缘处。其最大正应力的值为(3)作C截面上正应力沿截面高度的分布图。

一般情况下，最大正应力发生于弯矩最大的横截面上矩中性轴最远处。

式中WZ仅与截面的几何形状及尺寸有关，称为截面对中性轴的抗弯截面模量。单位：m3或mm3。令：三、梁的正应力强度计算1.梁的最大正应力习惯上把产生最大应力的截面称为危险截面，产生最大应力的点称为危险点。若截面是高为h，宽为b的的矩形，则若截面是直径为d的圆形，则

若截面是外径为D、内径为d的空心圆形，则

DdDd=a对于各种型钢的惯性矩和抗弯截面系数可从书后“附录”型钢表中查出。

对于中性轴不是截面对称轴的梁，例如T型截面的等直梁。yy1y2C同一横截面上σtmax≠σcmax，这时整个梁的σtmax或σcmax不一定发生在|Mmax|截面处，需对最大正弯矩和最大负弯矩处的σtmax和σcmax分别计算。2.梁的正应力强度计算对于抗拉和抗压能力相同的塑性材料（如低碳钢），由于，所以只要求：梁横截面上绝对值最大的正应力不超过材料的弯曲许用应力。其正应力强度条件为：对于抗拉和抗压能力不同的脆性材料（如铸铁），由于，所以要求：梁横截面上的最大拉应力不超过材料的弯曲许用拉应力，同时，梁横截面上的最大压应力不超过材料的弯曲许用压应力。其正应力强度条件为：3.强度条件应用●

强度校核:●

设计截面:●

确定许用荷载

:

例

图示简支梁选用木材制成，其横截面为矩形b×h=140mm×210mm，梁的跨度l=4m，荷载FP=6kN，q=2kN/m，材料的弯曲许用应力[σ]=11MPa，试校核该梁的正应力强度。FAyFByhbz解：（1）求梁在图示荷载作用下的最大弯矩。求支座反力,由对称性FBy=FAy=7kNqABl=4mFP10kNm

(2)计算截面的几何参数。

再作梁的弯矩图，如图示。hbz从图可知：跨中截面上弯矩最大，其值为Mmax=10kN·m

。FAyFByqABl=4mFP(3)校核梁的正应力强度。该梁满足正应力强度要求。截面设计矩形截面简支木梁，跨度4m，受均布荷栽5kN/m作用，木材[σ]

=10MPa，若截面高宽比为1.5，试确定截面尺寸。解：跨中截面为危险截面kN.m强度条件定截面尺寸可取mm3mmmmmm许可荷栽由两根20号槽钢组成的外伸梁，受集中力P作用，若[]=170MPa，试求梁能承受的最大荷栽Pmax。解：作弯矩图B为危险截面PABCNo.202m6mkN.m2PM图上部受拉，下部受压最大荷载查型钢表，找抗弯截面系数cm3强度条件求最大荷载kNkNy2y1C

例T形截面外伸梁如图示，已知：材料的弯曲许用应力分别为[σt]=45MPa，[σc]=175MPa，截面对中性轴的惯性矩Iz=5.73×10-6m4，下边缘到中性轴的距离y1=72mm，上边缘到中性轴的距离y2=38mm。试校核该梁的强度。4FP1=40kN0.3m0.3m0.3mFP2=15kNABCD解：(1)求梁在图示荷载作用下的最大弯矩。

4.5kNm3kNmFP2=15kNDFP1=40kN0.3m0.3mABC0.3mB截面和C截面应力分布规律图y2y1C

C截面

B截面B截面满足正应力强度条件。C截面B截面C截面不满足正应力强度条件。所以该梁的正应力强度不满足要求。FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1mMx30zy180120K1.C截面上K点正应力2.全梁上最大正应力已知E=200GPa，FSx90kN90kN1.求支反力（压应力）解：例题BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN2.全梁最大正应力最大弯矩截面惯性矩分析（1）（2）弯矩最大的截面（3）抗弯截面系数最小的截面图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知材料的许用应力？例题（3）B截面，C截面需校核（4）强度校核B截面：C截面：（5）结论（1）计算简图（2）绘弯矩图FaFb解：分析（1）确定危险截面（3）计算（4）计算，选择工字钢型号某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重材料的许用应力起重量跨度试选择工字钢的型号。（2）例题（4）选择工字钢型号（5）讨论（3）根据计算（1）计算简图（2）绘弯矩图解：36c工字钢作弯矩图，寻找需要校核的截面要同时满足分析：非对称截面，要寻找中性轴位置T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。例题（2）求截面对中性轴z的惯性矩（1）求截面形心z1yz52解：（4）B截面校核（3）作弯矩图（5）C截面要不要校核？（4）B截面校核（3）作弯矩图式中，FQ—需求切应力处横截面上的剪力；Iz—为横截面对中性轴的惯性矩；

Sz*—为横截面上需求切应力处平行于中性轴的线以上（或以下）部分的面积对中性轴的静矩；

b—为横截面的宽度。三、梁横截面上的切应力bhyzyFQ1.矩形截面梁

切应力的分布规律：1)切应力的方向与剪力同向平行。2)切应力沿截面宽度均匀分布，即同一横截面上，与中性轴等距离的点切应力均相等。3)切应力沿截面高度按二次抛物线规律分布。距中性轴最远的点处切应力等于零；中性轴上切应力取得该截面上的最大值，其值为将

说明：矩形截面梁任一横截面上的最大切应力发生在中性轴上，其值为该截面上平均切应力FQ/A的1.5倍，切应力沿截面高度的分布规律如图示。

zyFQ2.工字形截面梁结论：翼缘部分tmax«腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字钢最大剪应力式中，h1—腹板的高度。b1—腹板的宽度。3.切应力强度条件

一般截面，最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。zyFQ梁的切应力强度条件表达式为：4.梁的切应力强度条件在工程中的应用与梁的正应力强度条件在工程中的应用相似，切应力强度条件在工程中同样能解决强度方面的三类问题，即进行切应力强度校核、设计截面、计算许用荷载。在一般情况下，正应力对梁的强度起着决定性作用。所以在实际计算时，通常是以梁的正应力强度条件做各种计算，以切应力强度条件进行校核即可。四、提高梁强度的措施

1、根据抗弯截面系数选择合理截面

从抗弯截面系数的计算可以推知：一般情况下，抗弯截面系数与截面高度的平方成正比，所以，合理的截面形状应该是在横截面面积A相等的条件下，比值Wz/A尽量大些。

1)通过对矩形、圆形、工字形、正方形截面进行理论计算发现：在横截面的面积A相等的情况下，比值Wz/A从大到小的截面依次是：工字形、矩形、正方形、圆形；zzzz

2)通过对具有相同截面面积的实心及空心截面进行理论分析发现：不论截面的几何形状是哪种类型，空心截面的Wz/A总是大于实心截面的Wz/A。zzzz3）对具有相同面积的矩形截面进行理论计算还发现：尽管截面形状和尺寸都没变，只是放置方式不同（中性轴不同），从而使抗弯截面系数不相同。立放的矩形截面Wz/A值比平放的矩形截面Wz/A值大。若h=2b，梁平放时Wz/A=b/6，梁竖放时Wz/A=b/3。zybhhzyb

注意：上面我们只是单从强度观点出发分析了截面的选择规律，事实上，在实际工程中，选择截面时，除了考虑强度条件外，还要同时考虑稳定性、施工方便、使用合理等因素后才正确选择梁的截面形状。这就是大家所看到的在实际工程中仍然大量使用实心矩形截面梁，而不常使用空心截面梁的原因。2、根据材料特性选择截面sGz对于抗拉和抗压相同的塑性材料，一般采用对称于中性轴的截面，如圆形、工字形等，使得上、下边缘同时达到材料的许用应力值。对于抗拉和抗压不相同的脆性材料，最好选用关于中性轴不对称的截面，如T形、槽形等。弯曲应力3、采用变截面梁

为了