第7章 达朗贝尔原理

第一篇理论力学第7章达朗贝尔原理

第7章达朗贝尔原理

上一章以牛顿定律为基础研究了质点和质点系的动力学问题，给出了求解质点和质点系动力学问题的普遍定理。这一章我们需要学习求解非自由质点系动力学问题的新方法——达朗贝尔原理，它是用静力学平衡的观点解决动力学问题，又称为动静法。特别是在已知的运动求约束力方面显得尤为方便，因此在工程中得到广泛的应用。

7.1达朗贝尔原理

7.1.1惯性力·质点的达朗贝尔原理

设非自由质点的质量为m，加速度为a，作用在质点上的主动力为F，约束力为，如图7.1所示。根据牛顿第二定律，有将上式移项写为

(7-1)引入记号

(7-2)式(7-1)成为

(7-3)其中，具有力的量纲，称为质点的惯性力，它是一个虚拟力，它的大小等于质点的质量与加速度的乘积，方向与质点的加速度方向相反。

式(7-3)是一个汇交力系的平衡方程，它表示：作用在质点上的主动力、约束力和虚拟的惯性力在形式上构成平衡力系，称为质点的达朗贝尔原理。此原理是法国科学家达朗贝尔于1743年提出的。利用达朗贝尔原理在质点上虚拟添加惯性力，将动力学问题转化成静力学平衡问题进行求解的方法称为动静法。应当指出：(1) 达朗贝尔原理并没有改变动力学问题的性质。因为质点实际上并不是受到力的作用而真正处于平衡状态，而是假想地加在质点上的惯性力与作用在质点上的主动力、约束力在形式上构成平衡力系。(2) 惯性力是一种虚拟力，但它是使质点改变运动状态的施力物体的反作用力。例如，系在绳子一端质量为m的小球，速度为v，用手拉住小球在水平面内作匀速圆周运动，如图7.2所示。小球受到绳子的拉力F，使小球改变运动状态产生法向加速度，即 。小球对绳子的反作用力 ，这是由于小球具有惯性，力图保持其原有的运动状态，而对绳子施加的反作用力。

图7.1质点的达朗贝尔原理图7.2小球在水平面内做圆周运动(3) 质点的加速度不仅可以由一个力引起，而且还可以由同时作用在质点上的几个力共同引起的。因此惯性力可以是对多个施力物体的反作用力。例如圆锥摆，如图7.3所示，小球在摆线拉力和重力作用下作匀速圆周运动，有此时的惯性力为式中和分别为摆线和地球所受到小球的

反作用力。由于它们不作用在同一物体上，当

然没有合力，但它们构成了小球的惯性力系。

图7.3圆锥摆【例7.1】有一圆锥摆，如图7.4所示，重为的小球系于长为的绳上，绳的另一端系在固定点O，并与铅直线成

角。已知小球在水平面内作匀速圆周运动，试求小球的速度和绳子的拉力。解：以小球为研究对象，受有重力P，绳子的拉力以及在小球上

虚拟的惯性力，如图7.4所示。由于小球在水

平面内作匀速圆周运动，其惯性力只有法向惯

性力，即方向与法向加速度相反。

图7.4由质点的达朗贝尔原理得将上式向自然轴上投影，得下面的平衡方程

解得

7.1.2质点系的达朗贝尔原理设质点系由n个质点组成，其中第i个质点的质量为，加速度为，作用于该质点的主动力

、约束力、惯性力

，由质点的达朗贝尔原理第i个质点有 (7-4)式(7-4)表明：质点系中的每一个质点受到主动力、约束力、惯性力作用下在形式上处于平衡。若将作用在质点系上的力按外力和内力分，设第i个质点上的外力为、内力为，式(7-4)为

(7-5)式(7-5)表明：质点系中的每一个质点在外力、内力、惯性力

，作用下在形式上处于平衡。对于整个质点系而言，外力、内力、惯性力 在形式上构成空间平衡力系，由静力学平衡理论知，空间任意力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢和对任一点的主矩均为零。即

(7-6)由于内力是成对出现的，内力的主矢 ，内力的主矩 。则式(7-6)为

(7-7)即质点系的达朗贝尔原理：作用在质点系上的所有外力与虚加在质点上的惯性力在形式上构成平衡力系。式(7-7)在直角坐标轴上的投影形式：(1) 空间力系：

(7-8)(2) 平面力系：

(7-9)

7.2刚体惯性力系的简化

在应用动静法解决非自由质点系的动力学问题时，往往需要在每个质点上虚加惯性力，当质点较多，特别是刚体时，非常不方便。因此需要对虚加惯性力系进行简化，以便求解。下面对刚体作平移、绕定轴转动和刚体作平面运动时的惯性力系进化简化。

7.2.1平移刚体惯性力系的简化

当刚体作平移时，由于同一瞬时刚体上各点的加速度相等，则各点的加速度都用质心C的加速度表示，即

，如图7.5所示。将惯性力加在每个质点上，组成平行的惯性力系，且均与质心C的加速度方向相反，惯性力系向任一点O简化，得惯性力系主矢为

(7-10)图7.5刚体作平移运动惯性力系的主矩为

(7-11)式中为质心C到简化中心O点的矢径。若取质心C为简化中心

，则惯性力系的主矩为

(7-12)当简化中心不在质心C处，其主矩 。结论：刚体作平移时，惯性力系简化为通过质心的一个合力，其大小等于刚体的质量和加速度的乘积，方向与加速度方向相反。

7.2.2定轴转动刚体的惯性力系简化

这里只限于刚体具有质量对称平面且转轴垂直与此对称平面的特殊情形。当刚体作定轴转动时，先将刚体上的惯性力简化在质量对称平面上，构成平面力系，再将平面力系向转轴与对称平面的交点O简化。轴心O为简化中心，如图7.6所示，惯性力系的主矢为

(7-13)惯性力系的主矩为

(7-14)其中，为刚体对垂直于质量对称平面转轴的转动惯量。

图7.6定轴转动刚体图7.7平面运动刚体结论：具有质量对称平面且转轴垂直于此对称平面的定轴转动刚体的惯性力系，向转轴简化为一个力和一个力偶。此力的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；此力偶矩的大小等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度转向相反。当转轴通过质心时，质心的加速度

，

，则惯性力系简化为质心上的一个力矩。即

(7-15)

7.2.3平面运动刚体惯性力系的简化

设刚体具有质量对称平面，且刚体上的各点在与对称平面保持平行的平面内运动。此时刚体上的惯性力简化在此对称平面内的平面力系。由平面运动的特点，取质心C为基点，如图7.7所示，质心的加速度为

，绕质心C转动的角速度为，角加速度为，惯性力系的主矢为：

(7-16)惯性力系的主矩为： (7-17)其中，为过质心且垂直于质量对称平面的轴的转动惯量。结论：具有质量对称平面的刚体，在平行于此平面运动时，刚体的惯性力系简化为在此平面内的一个力和一个力偶。此力大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过质心；此力偶矩的大小等于刚体对通过质心且垂直于质量对称平面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度的转向相反。【例7.2】均质圆柱体A的质量为m，在外缘上绕有一细绳，绳的一端B固定不动，如图7.8(a)所示，圆柱体无初速度地自由下降，试求圆柱体质心的加速度和绳的拉力。图7.8解：对圆柱体A进行受力分析，作用其上的力有：圆柱体的重力

，绳的拉力，作用在圆柱质心的虚拟惯性力和，即

(a)其方向如图7.8(b)所示。列平衡方程为 (b) (c)式(a)代入式(b)和式(c)，并联立求解，得圆柱体的角加速度和绳的拉力为圆柱体质心的加速度为【例7.3】如图7.9(a)所示，均质圆盘的质量为，由水平绳拉着沿水平面作纯滚动，绳的另一端跨过定滑轮B并系一重物A，重物的质量为。绳和定滑轮B的质量不计，试求重物下降的加速度，圆盘质心的加速度以及作用在圆盘上绳的拉力。解：以圆盘为研究对象，作用在圆盘上的力有重力，绳的拉力，法向约束力，摩擦力，虚拟惯性力和。虚拟惯性力和为其方向如图7.9(b)所示，r为圆盘的半径。

(a) (b)(c)图7.9列平衡方程为 (a)再以重物A为研究对象，作用在重物A上的力有重力

，绳的拉力，虚拟惯性力。虚拟惯性力为其方向如图7.9(c)所示。列平衡方程为

(b)式(a)和式(b)联立，并注意

，解得重物下降的加速度为圆盘质心的加速度为作用在圆盘上绳的拉力为

7.3本章小结

1. 质点的惯性力其中，惯性力是一个虚拟力。2. 质点的达朗贝尔原理作用在质点上的主动力、约束力和虚拟的惯性力在形式上构成平衡力系。即3. 质点系的达朗贝尔原理作用在质点系上的所有外力与虚加在质点上的惯性力在形式上构成平衡力系。即平衡力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢和对任一点的主矩均为零。主矢：主矩：4. 质点系达朗贝尔原理的投影形式(1) 空间力系：

(2) 平面力系：5. 刚体惯性力系的简化(1) 平移刚体惯性力系的简化：其中，惯性力系简化为通过质心的一个合力。(2) 定轴转动刚体的惯性力系简化：当转轴通过质心时，定轴转动刚体的惯性力系简化为质心上的一个力矩。即(3) 平面运动刚体惯性力系的简化：

，

7.4习题

7-1物体A重为，放在水平面上，与水平面的摩擦系数f，物体B重为，滑轮C的细绳连接物体A和物体B，如图所示。滑轮C的质量和轴承的摩擦不计，试求当物体B下降时，物体A的加速度和细绳的拉力。7-2两重物重为

和 ，连接如图所示，并由电动机A拖动，如电动机的绳的拉力为3kN，滑轮的重量不计，试求重物P的加速度和绳FD的拉力。

习题7-1图习题7-2图7-3如图所示的轮轴质心位于O处，对轴的转动惯量为。在轮轴上系有两个质量为和的物体，若此轮轴顺时针转动，试求轮轴的角加速度和轴承的动约束力。7-4如图所示的质量为的物体A下落时，带动质量为的均质圆盘B转动，不计支架和绳子的重量以及轴处的摩擦，

，圆盘B的半径为R。试求固定端的约束力。

习题7-3图 习题7-4图7-5 均质杆长为l，重为P，由铰链A和绳索支持，如图所示。若连接点B的绳索突然断了，试求铰支座A的约束力和点B的加速度。7-6 如图所示的长方形均质板，边长为

， ，质量为27kg，用两个销子A和B悬挂。若突然撤去销子B，试求此瞬时均质板的角加速度和销子A的约束力。

习题7-5图 习题7-6