第6章正弦稳态电路

第4章正弦稳态电路分析4.1正弦信号的基本概念4.2正弦信号的相量表示4.3基本元件VAR和基尔霍夫定律的相量形式4.4复阻抗与复导纳型4.5相量法分析4.6正弦稳态电路的功率4.7谐振电路4.1正弦信号的基本概念

4.1.1正弦信号的三要素正弦信号的大小与方向都是随时间作周期性变化的，信号在任一时刻的值，称为瞬时值。在指定的参考方向下，正弦电流、电压的瞬时值可表示为

i(t)=Imsin(ωt

+ψi)(1)u(t)=Umsin(ωt

+ψu)(2)随时间按正弦规律变化的电流、电压称为正弦信号。正弦交流电容易产生、便于控制和变换，能远距离传输。以i(t)为例，说明正弦信号的三要素:i(t)=Imsin(ωt

+ψi)(1)Im

是正弦信号在整个变化过程中可能达到的最大幅值，称为振幅。（ωt+ψi）是正弦信号的相位，t=0时的相位ψi称为初相位。通常规定初相满足|ψi|≤π。ω=d(ωt+ψi)/dt

称为角速度或角频率，单位（rad/s），表示正弦信号变化的快慢程度。4.1.2同频率正弦量的相位差两同频率的正弦量为：

i1(t)=Im1sin(ωt

+ψ1)(1)i2(t)=Im2sin(ωt

+ψ2)(2)则，相位差：Δψ=ψ1-

ψ2结论：两个同频率的正弦量，相位差在任意瞬间都是常数，等于初相之差。若Δψ>0，则电流i1超前电流i2，或电流i2滞后电流i1；若Δψ=0，则电流i1与i2同相位；若Δψ=±π，电流i1与i2反相；若Δψ=π/2，电流i1与i2正交；4.1.3正弦量的有效值为什么引入有效值？正弦量随时间变化，不能确切反映周期信号在电路中的整体效应，因此，引入有效值度量正弦量的大小。有效值的定义：按照热效应定义：设有两个相同的电阻，分别通以周期电流和直流电流。如果在一周期内，两个电阻消耗的能量相同，就称该直流电流值为周期电流的有效值。4.1.3正弦量的有效值例：已知正弦电压源的频率为50Hz，初相为π/6弧度，由交流电压表测得电源开路电压为220V。求该电源电压的振幅、角频率，并写出其瞬时值表达式。解：因为f=50HZ，ψ=π/6。所以电源电压瞬时值表达式为：4.2正弦信号的相量表示4.2.1复数及其运算一个复数A可以表示成代数型、指数型或极坐标型，即代数型：A=a

+jb

=rcosθ+jrsinθ

指数型：

A=rejθ

极坐标型：A=r∠θ

式中，为复数单位；a和b分别为复数A的实部和虚部；r和θ分别是A的模和辐角。复数代数型与指数型(或极型)之间的转换关系为：4.2正弦信号的相量表示4.2.1复数及其运算复数运算：

复数加减：A±B=(a1+ja2)±(b1+jb2)=(a1±b1)+j(a2±b2)

复数乘除：A·B=

r1∠θ1·r2∠θ2=r1r2∠(θ1+θ2)

A／B=

(r1∠θ1)／(r2∠θ2)=r1／r2∠(θ1-θ2)4.2.2正弦量的相量表示正弦信号由振幅、角频率和初相三个要素确定。在正弦稳态电路中，所有的激励都是同频率的正弦量，则电路中的响应也是与激励同频的正弦量；因此，只需要确定响应的振幅和初相。用复数表示正弦量由欧拉公式:Imexp[j(ωt+ψ)]=Imcos(ωt+ψ)+jImsin(ωt+ψ)则：

Imsin(ωt+ψ)=

IM{

Imexp[j(ωt+ψ)]}

=

IM{

Imexp(jψ)exp(jωt)

}4.2.2正弦量的相量表示其模和辐角恰好分别对应正弦电流的振幅和初相；用复数形式表示的正弦量称为正弦量的相量表示；令：Im=Imexp(jψ)=Im∠ψ，

I=Iexp(jψ)=I

∠ψ；••符号上方标记圆点“·”，以与一般复数相区别；复数与正弦量之间只是对应关系，不具有相等关系；可以在复平面上用矢量表示，称为相量图。只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上，采用复数运算规则进行运算；用相量表示正弦量进行正弦电路运算的方法称相量法；幅值相量有效值相量例：已知电压u1=4sin(ωt+60°)V,u2=6sin(ωt+135°)V和u3=8sin(ωt-60°)V。试写出各电压的振幅相量，并画出相量图。解：正弦电压u1、u2和u3的振幅相量分别为

U1m=4

∠60，U2m=6

∠135，U3m=8

∠-60；

•••例：已知

试求电流：i=i1+i2。解：由已知条件可得：i1←→5∠-36.9Ai2←→10∠51.1A因此，正弦电流i的表达式为:I=i1+i2=(4-j3)+(6+j8)=10+5j=11.18∠26.6A4.3基本元件VAR和基尔霍夫定律

的相量形式4.3.1基本元件VAR的相量形式

1.电阻元件

2.电感元件

3.电容元件1.电阻元件设电阻R的端电压与电流采用关联参考方向。设正弦电流由欧姆定律可知电阻元件的端电压为

比较两式:U=RI，Um=Rim

可见：电阻元件的I、U是同频率的正弦量，且电流与电压同相位。U=RI••以相量形式的伏安关系描述电阻元件特性，故称为相量模型2.电感元件设电感L的端电压与电流采用关联参考方向。设正弦电流通过电感时，端电压为：

其中，U=ωLI

为电感电压的有效值，θu=θi+90°为初相。可知：（1）电感电压和电流是同频率的正弦量。（2）电感电压超前电流90°2.电感元件••其相量表达式：U=jωLI令：XL

=ωL=2πfL，叫感抗，单位为欧姆；表明电感受对交流电路的阻碍作用，随频率改变。因此，电感具有通直流，阻交流的作用；电压一定时，感抗越大，电路中的电流越小；U∠θu=ωLI∠θi+90°例:已知一电感元件L=3H，接在的电源上，求（1）感抗的大小；（2）电感元件电流i的表达式。解：3.电容元件设电容C的端电压与电流采用关联参考方向。设电容电压为通过电容的电流为：

u(t)=Usin(ωt+θu)其中，I=ωCU

为电容电流的有效值，θu=θi-90为初相。可知：（1）电容电压和电流是同频率的正弦量。（2）电容电流超前电压90°3.电容元件••其相量表达式：I=jωCU令：XC

=1/ωC=1/(2πfC)，叫容抗，单位为欧姆；表明电容在充放电时对电流的阻碍作用，随频率改变。因此，电容感具有通交流，阻直流的作用；电压一定时，容抗越大，电路中的电流越小；I∠θi=ωCU∠θi-90°例.已知2μF电容两端的电压有效值为10V，初相为60o，角频率为1000rad/s。试求流过电容的电流，写出其瞬时值解析式。解：电压的相量形式为：

电容的容抗为：

得:电流的瞬时值解析式为:4.3.2KCL、KVL的相量形式

KCL指出：对于电路中的任意结点，在任一时刻，流出(或流入)该结点的所有支路电流的代数和恒为零。在正弦稳态电路中，各支路电流都是同频率的正弦量，只是振幅和初相不同，其KCL可表示为：对应的相量关系表示为：

或

••这就是KCL的相量形式。它表明，在正弦稳态电路中，对任一节点，各支路电流相量的代数和恒为零。同理，对于正弦稳态电路中的任一回路，KVL的相量形式为:或

••例.在图（a）电路中，已知电流，R=100Ω，L=50mH，C=10μF，试用相量法求iR、iL、uS、及i并画出相量图。解：画出电路的相量模型如图所示。写出电流iC的相量形式根据各元件电压、电流的相量关系式可得由基尔霍夫电流定律的相量形式得

即：

4.4复阻抗和复导纳4.4.1复阻抗

由上节讨论可知，在电流、电压采用关联参考方向的条件下，三种基本元件VAR的相量形式是如用振幅相量表示，则为上式与电阻电路中的欧姆定律相似，故称为欧姆定律的相量形式。••••••••••••4.4复阻抗和复导纳4.4.1复阻抗正弦激励下：无源线性+-•U•IZ+-•U•I，单位：IUZ=iuψ-ψ

=ψ阻抗模阻抗角4.4复阻抗和复导纳4.4.1复阻抗阻抗Z可表示成代数式形式：Z=R+jX式中：R是Z的实部，称为阻抗的电阻分量；

X是Z的虚部，称为阻抗的电抗分量；它们与阻抗模和阻抗角之间有如下关系

RXφ|Z|阻抗三角形4.4复阻抗和复导纳4.4.1复阻抗电路中，电抗X取不同值时，对应的阻抗性质不同。(1)当X>0时，二端网络端口电压u在相位上超前电流i，此时电路的阻抗性质是电感性的；(2)当X<0时，电压u在相位上滞后电流i，此时电路的阻抗性质是电容性的；(3)当X=0时，电压u与电流i同相，此时电路是电阻性的。

基本元件R、L和C的阻抗分别为：其中，XL称为感抗；XC称为容抗；单位为Ω。4.4复阻抗和复导纳4.4.2复导纳复阻抗的倒数定义为复导纳Y，单位为S；UIY=iuψ-ψ

=ψ导纳模导纳角4.4复阻抗和复导纳4.4.2复导纳导纳Y可表示成代数形式：Y=G+jB式中：G是Y的实部，称为导纳的电导分量；

B是Y的虚部，称为导纳的电纳分量；基本元件R、L和C的导纳分别为:其中，BL称为感纳；BC称为容纳；G叫电导。单位为S。导纳等效转换为阻抗时，有式中

4.4复阻抗和复导纳4.4.2复导纳4.4.3阻抗和导纳的串、并联

下面给出阻抗和导纳串、并联的有关结论，其证明方法与电阻电路相似，这里不再重复。设：阻抗Z1=R1+jX1，Z2=R2+jX2；····则，当两个阻抗Z1和Z2串联时，其等效阻抗Z为：Z=Z1+Z2=(R1+R2)+j(X1+X2)

分压公式为：4.4.3阻抗和导纳的串、并联设：阻抗Z1=R1+jX1，Z2=R2+jX2；当两个阻抗Z1和Z2并联时，其等效阻抗Z为：Z=Z1Z2

／（Z1+Z2）

分流公式为：····4.4.3阻抗和导纳的串、并联设：导纳Y1=G1+jB1，Y2=G2+jB2。当两个导纳Y1和Y2并联时，其等效导纳Y为：Y=Y1+Y2=(G1+G2)+j(B1+B2)

分流公式为：····例:

解:电路如图,已知R=3Ω，L=2H，ω

=2rad/s。求u1(t)、u2(t)、u

(t)。+u-+u1-iSL+u2-R=3ΩjωL=j4R=3Ω相量模型电流相量：由RL元件相量关系式得：由KVL：写出u1(t)、u2(t)、u(t)表达式为：画相量图+1+j例:如图(a)电路，已知r=10Ω，L=50mH,R=50Ω，C=20μF,电源us(t)=100sin(103t)V。求:电路的等效阻抗和各支路电流，并画出电流相量图。解:电压源相量和jXL、jXC分别为Us=100

∠0V，jXL=jωL=j50ΩjXC=－j／ωC=－j50Ω

；

•电路的相量模型如图(b)所示。设R、L串联支路的阻抗为ZrL,R、C并联电路的阻抗为ZRC,可得：电路总阻抗Z为电路总电流

由并联电路分流公式，求得R、C支路电流······例：两个负载Z1=5+j5Ω和Z2=6-j8Ω相串联，接在的电源上。试求等效阻抗Z和电路电流i。解：等效阻抗电压u的相量形式为电流相量为：电流的表达式为：4.5正弦交流电路的相量法分析在简单的交流电路中，欧姆定律、基尔霍夫定律都可以应用，因此支路电流法、节点电压法、叠加原理、戴维南定理都可以应用。相量法分析的主要步骤(1)画电路的相量模型(2)根据KCL、KVL和元件的相量形式，求解得到电压电流的相量表达式；(3)根据计算得到的电压、电流相量，写出相应的瞬时值表达式。各正弦电压、电流用相量表示，R、L、C元件用相应的阻抗或导纳表示。例:在正弦稳态电路中，已知Z1=1+j2Ω，Z2=0.8+j2.8Ω，Z3=40+j30Ω，US1=US2=220V，US2滞后US120˚角，

试用支路电流法求各支路电流。解：设US1为参考相量，则

根据KCL、KVL的相量形式列出电路方程代入已知数据得解方程得4.6正弦稳态电路的功率

对于电阻、电容、电感组成的无源二端网络，都可以等效为复阻抗Z=R+jX，也就是等效为一个电阻与一个电抗串联的电路。一般的可分别设：式中，φ是端口电压与电流的相位差。在任一时刻t，电路N的吸收功率：

p(t)=u(t)i(t)=2UIsin(ωt)sin(ωt+φ)=UIcosφ-UIcos(2ωt+φ)称为瞬时功率

瞬时功率波形图(1)当u＞0,i＞0或u＜0,i＜0时,p(t)＞0:电路N从外电路吸收功率；(2)当u＞0,i＜0或u＜0,i＞0时,p(t)＜0:电路N向外电路发出功率。

pu，ip

itu

i+u-N1.平均功率P电路的平均功率也称有功功率，它是瞬时功率在一周期内的平均值，即平均功率代表电路所消耗的功率，所以在正弦稳态电路中通常所说的功率是指平均功率。平均功率的单位是瓦(W)。平均功率不仅与电压、电流有关，还与电压、电流的相位差、即电路的阻抗角有关，定义：

λ=cosφ

称为电路的功率因数.1.平均功率P在RLC串联电路中，（1）若电路中只包含电阻元件，则φ=0，此时P=I2R，说明电阻是耗能元件；（2）若电路中只包含电容或电感元件时，则φ=±π／2，此时P=0，说明电容或电感是储能元件，不消耗电能；

2.无功功率Q

为了描述交流电路电源与外电路的能量交换规模，定义：Q=UIsinφ为无功功率，代表二端网络与外电路交换能量的最大值。无功功率的单位是乏尔(Var)。(1)对于电阻性电路N，φ=0，Q=0，表示N与外电路没有发生能量互换现象，流入N的能量全部被电阻消耗；(2)N为电感性电路时，φ＞0，Q＞0;Q≠0，表示电路N与外电路之间存在能量互换现象，而不是消耗能量。

(3)N为电容性电路时，φ＜0，Q＜0。电阻元件：电容元件：电感元件：3.视在功率S在二端网络中，定义电压与电流有效值的乘积为视在功率：S=UI，单位VA（伏安）。实际用电设备的功率以视在功率表示。

视在功率、有功功率和无功功率的关系如下：

SQ

Pφ功率三角形4.复功率

在工程上为了计算方便，取有功功率P作为实部、无功功率Q作为虚部组成复数，该复数被定义为复功率：

复功率的模为视在功率S，辐角为功率因数角φ。

4.7谐振电路在正弦电源激励下的RLC串联电路，通过改变元件参数或调节电源频率，可使电路端电压与流入的电流同相，此时称电路发生了谐振。

4.7.1串联谐振电路RLC串联电路如图所示，设图中正弦电压源的角频率为ω。串联电路的等效阻抗为:·电路中电流：

若使电压与电流同相位，则应有φZ=0。即：称电路发生了串联谐振。上式是电路发生串联谐振的条件根据谐振条件，可得谐振（角）频率为：··|Z|、X及I随ω的变化曲线（频率特性）由频率特性知：串联谐振回路对不同频率信号具有不同的响应，能将ω0附近的信号选择出来，同时将远离频率ω0的信号加以消弱。因此，串联谐振电路可用作选频电路。在上面讨论中，保持电路参数不变，即ω0一定，通过改变电源角频率ω，使之与ω0相等，电路产生谐振。实际上，若固定电源角频率ω，调节电路参数L或C，ω0发生变化，使ω0=ω,则电路也会发生谐振。串联谐振电路具有以下特点：(1)谐振时，电抗X=0,故电路阻抗电路呈电阻性。阻抗模达最小。

(2)谐振时电路电流达到最大。···(3)谐振时电路元件上电压串联谐振时，电感和电容上的电压远大于电阻上的电压，因此串联谐振又叫电压谐振。谐振时UL0=UC0Q