第03章连续时间系统滑模变结构控制

第3章连续时间系统滑模变结构控制

3.1滑动模态到达条件

3.2等效控制及滑动模态运动方程

3.3滑模变结构控制匹配条件及不变性

3.4滑模变结构控制器设计基本方法

3.5基于比例切换的滑模变结构控制

3.6基于趋近律的滑模变结构控制

3.7基于准滑动模态的滑模变结构控制

若系统初始状态点处在切换面之外，则要求系统的运动必须趋向切换面，且在有限时间内到达切换面，即满足到达条件。否则，系统就无法启动滑动模态运动。

一般滑动模态的到达条件为

即

其中为切换函数

3.1滑动模态到达条件(3.1.1)(3.1.2)

由于状态离切换面可以任意远,故到达条件式(3.1.1)也称为广义(全局)到达条件。

3.1滑动模态到达条件

为了保证在有限时刻到达，避免渐近趋近的情况出现。可对式(3.1.1)进行修正，取为

其中为任意小正数。(3.1.3)通常将式(3.1.1)表达成李雅普诺夫函数型到达条件

(3.1.4)

满足上述到达条件的滑模变结构控制系统，其状态的运动轨迹都将在有限时间内到达切换面，并启动滑动模态运动。3.2.1等效控制设系统的状态方程为

3.2等效控制及滑动模态运动方程如果达到理想的滑动模态，则其中为控制输入，为时间。

即

或(3.2.1)(3.2.2)式(3.2.2)中称为系统在滑动模态区内的等效控制，一般用表示。

3.2.1等效控制例如，对于线性系统取切换函数为设系统进入滑动模态后的等效控制为，

(3.2.3)

(3.2.4)则由式(3.2.3)有(3.2.5)若矩阵满秩，

则可解出等效控制(3.2.6)

3.2.2滑动模态运动方程

将等效控制代入系统的状态方程式(3.2.1)，可得系统滑动模态运动方程

将式(3.2.6)代入式(3.2.3)可得线性系统的滑动模态运动方程如下：(3.2.7)为单位矩阵。(3.2.8)其中补充：滑模变结构控制MatlabP50&2.6在滑模控制中，等效控制保证系统的状态在滑模面上，切换控制保证系统的状态不离开滑模面。

3.3滑模变结构控制匹配条件及不变性

不变性：实现滑动模态运动不依赖于外部扰动和参数摄动的性质，也可叫鲁棒性、自适应性。是滑模变结构控制受到重视的最主要原因。对于线性系统，不变性的成立需满足滑动模态的匹配条件。对于扰动和摄动的作用的不同情况，分三种情况予以讨论：

（1）当系统受到外干扰时

(3.3.1)

其中表示系统所受的外干扰。滑动模态运动不受干扰影响的充要条件为(3.3.2)

3.3滑模变结构控制匹配条件及不变性

假如式(3.3.2)满足，则系统可化为其中有，通过设计控制律可实现对干扰的完全补偿。条件式(3.3.2)称为干扰和系统的完全匹配条件。（2）当系统存在不确定性时(3.3.3)(3.3.4)滑动模态与不确定性无关的充分必要条件为(3.3.5)假如式(3.3.5)满足，则系统可化为

3.3滑模变结构控制匹配条件及不变性

(3.3.6)其中有。通过设计控制律可实现对不确定性的完全补偿。条件式(3.3.5)称为不确定性和系统的完全匹配条件。（3）当系统同时存在外干扰和不确定性时(3.3.7)若同时满足匹配条件式（3.3.2）和（3.3.5），则系统可化为(3.3.8)通过设计控制律实现同时对不确定性和外干扰的完全补偿。

3.4滑模变结构控制器设计基本方法1.设计切换函数，使得所确定的滑动模态运动渐近稳定且具有良好的动态品质。

1)二阶单输入系统（规范空间）线性切换函数为

由于选择和为状态，所以，只有时，在切换面上的状态运动轨迹才会渐近趋向原点，即保证了系统为渐近稳定。

【注】规范空间：以状态和状态变化率为坐标构成的空间(3.4.1)

3.4滑模变结构控制器设计基本方法而选择不同的值时，切换面上的状态运动轨迹趋向原点的速度是不同的，越大，对于相同的，的变化率越大，从而趋近速度越快。图3.4.1，切换函数的参数分别选取和作出图示说明。图3.4.1

3.4滑模变结构控制器设计基本方法2)高阶单输入系统（一般状态空间）

线性切换函数为

参数的确定是至关重要的，所设计的参数必须使系统在切换面上的滑动模态运动是渐近稳定的。一般地，考虑如下系统：(3.4.2)(3.4.3)在滑模控制中，参数应满足多项式：当n=2，

3.4滑模变结构控制器设计基本方法2.设计控制律，使到达条件得到满足，从而在切换面上形成滑动模态区。

下面给出几种常用的控制结构形式

通过Ackermann公式来求解其参数，具体方法如下：其中为期望选取的特征值。(3.4.4)

3.4滑模变结构控制器设计基本方法1)常值切换控制（bang-bang控制）(3.4.5)其中为待求常数。2)函数切换控制(3.4.6)这是以等效控制为基础的控制结构形式。3)比例切换控制其中，，和为常数。(3.4.7)

3.5基于比例切换的滑模变结构控制控制对象

【例3.5.1】考虑如下被控对象模型：(3.5.1)其中，，。相应状态空间模型方程为：其中，，。即有(3.5.2)(3.5.3)

3.5基于比例切换的滑模变结构控制2.控制器设计（以位置跟踪系统为例）设位置给定信号为，将系统的位置误差和位置误差变化率作为状态变量，即：取切换函数为根据比例切换控制方法，取控制律为(3.5.4)(3.5.5)(3.5.6)其中和为大于零的常数。Matlab仿真案例：基于比例切换函数的滑模控制

考虑如下时变函数：其中将传递函数描述为状态方程的形式：

其中预备知识：关于Matlab的ODE45函数的用法。

clearall;closeall;globalSAFcalfabetaxk=[0,0];ts=0.001;T=1;TimeSet=[0:ts:T];[t,y]=ode45('chap2_1eq',TimeSet,xk,[],[]);x1=y(:,1);x2=y(:,2);ifS==1rin=1.0;drin=0;elseifS==2rin=A*sin(F*2*pi*t);drin=A*F*2*pi*cos(F*2*pi*t);ende1=rin-x1;e2=drin-x2;s=c*e1+e2;fork=1:1:T/ts+1u(k)=(alfa*abs(e1(k))+beta*abs(e2(k)))*sign(s(k));endfigure(1);plot(t,rin,'r',t,y(:,1),'b');xlabel('time(s)');ylabel('Positiontracking');figure(2);plot(t,u,'r');xlabel('time(s)');ylabel('u');figure(3);plot(e1,e2,'r',e1,-c*e1,'b');xlabel('time(s)');ylabel('Phasetrajectory');functiondx=PlantModel(t,x,flag,para)globalSAFcalfabetadx=zeros(2,1);S=1;%S=1时为阶跃响应，S=2时为正弦响应%ifS==1rin=1.0;drin=0;elseifS==2A=0.5;F=3;rin=A*sin(F*2*pi*t);drin=A*F*2*pi*cos(F*2*pi*t);endc=30;alfa=500;beta=10;e1=rin-x(1);e2=drin-x(2);s=c*e1+e2;u=(alfa*abs(e1)+beta*abs(e2))*sign(s);dx(1)=x(2);dx(2)=-(25+5*sin(3*2*pi*t))*x(2)+(133+50*sin(1*2*pi*t))*u;案例分析：见教材P25（滑模变结构控制Matlab）.

一个简单的滑模控制案例。

3.6基于趋近律的滑模变结构控制

系统运动包括趋近运动和滑动模态运动两个过程。根据滑模变结构控制原理，滑动模态到达条件仅保证状态运动点由状态空间中任意初始位置在有限时间内到达切换面，而对于趋近运动的具体轨迹未做任何限制，若采用趋近律的方法，则可以改善趋近运动的动态品质。

在2.3.4节中介绍了常见的几种趋近律。3.6.1基于趋近律的调节系统

1.控制器的设计系统的状态方程如下：(3.6.1)3.6.1基于趋近律的调节系统采用趋近律的控制方式，设切换函数为从而其中slaw代表趋近律，例如，采用指数趋近律，则有其中和皆为正实数。将式(3.6.1)代入(3.6.3)中，即有(3.6.2)(3.6.3)(3.6.4)(3.6.5)从而可以得到控制作用如下：(3.6.7)几种常见的趋近律:3.6.1基于趋近律的调节系统2.实例

【例3.6.1】选择被控对象为(3.6.8)其中，。即有(3.6.9)采用指数趋近律为例。选择切换函数为取，即。指数趋近律为

，其中取，。3.6.1基于趋近律的调节系统将的值代入(3.6.7)式，可得控制律式为(3.6.10)采用Matlab的M语言建立仿真程序，可得到直观结果。《滑模变结构控制MATLAB仿真》，刘金琨，清华大学出版社，2005。

趋近律参数选择原则：以如下指数趋近律为例：指数趋近律是趋近效果比较好的一种趋近律。在趋近过程中，指数趋近律的趋近速度是变化的，具有既可以加快趋近时间又也可以削弱抖振的优点。(3.6.11)3.6.1基于趋近律的调节系统

当状态运动点远离切换面时，趋近速度主要取决于项。而当到达切换面附近时，由于变得很小，趋近速度则主要取决于项的大小。常将值取得较大，使状态点快速趋近切换面；而将值取得较小，从而使切换面附近的趋近速度较小，这样就可以保证系统以较小的速度到达切换面，削弱了抖振。基于趋近律的滑模控制Matlab分析案例：clearall;closeall;globalMABCeqkts=0.001;T=2;TimeSet=[0:ts:T];c=15;C=[c,1];para=[c];[t,x]=ode45('chap2_4eq',TimeSet,[0.500.50],[],para);x1=x(:,1);x2=x(:,2);s=c*x(:,1)+x(:,2);ifM==2forkk=1:1:T/ts+1xk=[x1(kk);x2(kk)];sk(kk)=c*x1(kk)+x2(kk);slaw(kk)=-eq*sign(sk(kk))-k*sk(kk);%Exponentialtrendinglawu(kk)=inv(C*B)*(-C*A*xk+slaw(kk));endendfigure(1);plot(x(:,1),x(:,2),'r',x(:,1),-c*x(:,1),'b');xlabel('x1');ylabel('x2');figure(2);plot(t,x(:,1),'r');xlabel('time(s)');ylabel('x1');figure(3);plot(t,x(:,2),'r');xlabel('time(s)');ylabel('x2');figure(4);plot(t,s,'r');xlabel('time(s)');ylabel('s');ifM==2figure(5);plot(t,u,'r');xlabel('time(s)');ylabel('u');end子程序functiondx=DynamicModel(t,x,flag,para)globalMABCeqka=25;b=133;c=para(1);s=c*x(1)+x(2);A=[01;0-a];B=[0;b];M=2;eq=5.0;ifM==1%M=1为等速趋近律，M=2为指数趋近律，

M=3为幂次趋近律，M=4为一般趋近律slaw=-eq*sign(s);%EqualvelocitytrendinglawelseifM==2k=10;slaw=-eq*sign(s)-k*s;%ExponentialvelocitytrendinglawelseifM==3k=10;alfa=0.50;slaw=-k*abs(s)^alfa*sign(s);%PowertrendinglawelseifM==4k=1;slaw=-eq*sign(s)-k*s^3;%Generaltrendinglawendu=inv(C*B)*(-C*A*x+slaw);dx=zeros(2,1);dx(1)=x(2);dx(2)=-a*x(2)+b*u;3.6.2基于趋近律的位置跟踪系统1.控制器设计系统状态方程如下(3.6.12)其中此时的系统称为滑模变结构控制系统的简约型，对于任意能控系统，均可以选择适当的状态变换将系统转换为简约型。此处，设定上式中的，，即系统为单输入二阶系统。3.6.2基于趋近律的位置跟踪系统则(3.6.13)设给定信号为，则误差为误差变化率为(3.6.14)设，误差向量为，则切换函数为

即有(3.6.15)(3.6.16)3.6.2基于趋近律的位置跟踪系统采用趋近律slaw，将式(3.6.13)代入式（3.6.16）中，得控制律为(3.6.17)2.实例

【例3.6.2】选择被控对象为(3.6.18)其中，。即有(3.6.19)按照控制器的设计步骤设计控制系统。3.6.2基于趋近律的位置跟踪系统误差为误差变化率为(3.6.21)

切换函数为取，从而，由式(3.6.15)得系统控制作用为(3.6.20)(3.6.22)(3.6.23)slaw取为指数趋近律：3.6.2基于趋近律的位置跟踪系统(3.6.23)其中，。补充P29&2.2基于趋近律的滑模控制。P29&2.2基于趋近律的滑模鲁棒控制。

3.7基于准滑动模态的滑模变结构控制

1准滑动模态定义

所谓准滑动模态，是指系统的运动轨迹被限制在切换面的某一邻域内的模态。从相轨迹方面来说，具有理想滑动模态的控制是使一定范围内的状态点均被吸引至切换面。而准滑动模态控制则是使一定范围内的状态点均被吸引至切换面的某一邻域内。通常称此邻域为滑动模态切换面的边界层。在边界层内，准滑动模态不要求满足滑动模态的存在条件。因此，准滑动模态不要求在切换面上进行控制的切换。它可以是在边界层上进行结构变换的控

控制系统，也可以是根本不进行结构变换的连续状态反馈控制系统。准滑动模态控制在实现上的这种差别，使它从根本上避免或削弱了抖振（作用），从而在实际中得到了广泛的应用。在连续系统中，常用的准滑动模态控制有以下两种方法。

(1)用饱和函数代替理想滑动模态控制作用中的符号函数。

3.7基于准滑动模态的滑模变结构控制

3.7基于准滑动模态的滑模变结构控制

其中称为“边界层”。饱和函数如图3.7.1所示。图3.7.1(3.7.1)

3.7基于准滑动模态的滑模变结构控制

控制律中采用饱和函数代替符号函数，其控制作用在本质上已变为：在边界层外，采用切换控制；在边界层内采用线性化反馈控制。，(2)将继电特性连续化，用连续函数取代符号函数其中是很小的正常数。2.实例

【例3.7.1】仍选择被控对象为(3.7.2)其中，。即有

3.7基于准滑动模态的滑模变结构控制

(3.7.3)(3.7.4)

按照3.6节控制器的设计步骤设计一个基于准滑动模态的位置跟踪滑模变结构控制系统。由式(3.6.22)得系统控制作用为(3.7.5)

3.7基于准滑动模态的滑模变结构控制

slaw取为指数趋近律：(3.7.6)其中，。

现采用饱和函数取代控制作用中的符号函数，即可实现准滑动模态下的滑模变结构控制。作用：准滑动模态下的滑模变结构控制具有削弱抖振的效果globalabcAFMepkdeltats=0.001;T=5;TimeSet=[0:ts:T];c=5.0;para=[];[t,x]=ode45('figure2_8eq',TimeSet,[-0.50],[],para);x1=x(:,1);x2=x(:,2);r=A*sin(2*pi*F*t);dr=A*2*pi*F*cos(2*pi*F*t);ddr=-A*(2*pi*F)^2*sin(2*pi*F*t);s=c*(r-x(:,1))+dr-x(:,2);ifM==1slaw=-ep*sign(s)-k*s;%Exponentialvelocitytrendinglawu=1/b*(c*(dr-x(2))+ddr-slaw+a*x(2));elseifM==2kk=1/delta;fori=1:1:T/ts+1;ifs(i)>deltasats(i)=1;elseifabs(s(i))<=deltasats(i)=kk*s(i);elseifs(i)<-deltasats(i)=-1;endslaw(i)=-ep*sats(i)-k*s(i);u(i)=1/b*(c*(dr(i)-x2(i))+ddr(i)-slaw(i)+a*x2(i));endelseifM==3fori=1:1:T/ts+1;ths(i)=s(i)/(abs(s(i))+delta);slaw(i)=-ep*ths(i)-k*s(i);u(i)=1/b*(c*(dr(i)-x2(i))+ddr(i)-slaw(i)+a*x2(i));endendfigure(1);plot(t,r,'r',t,x(:,1),'b');xlabel('time(s)');ylabel('r,yout');figure(2);plot(t,r-x(:,1),'r');xlabel('time(s)');ylabel('error');figure(3);plot(r-x(:,1),dr-x(:,2),'r',r-x(:,1),-c*(r-x(:,1)),'b');%drawline(s=0)xlabel('e');ylabel('de');figure(4);plot(t,s,'r');xlabel('time(s)');ylabel('s');figure(5);plot(t,u,'r');xlabel('time(s)');ylabel('u');functiondx=DynamicModel(t,x,flag,para)globalabcAFMepkdeltaa=25;b=133;A=0.50;F=1.0;r=A*sin(2*pi*F*t);dr=A*2*pi*F*cos(2*pi*F*t);ddr=-A*(2*pi*F)^2*sin(2*pi*F*t);s=c*(r-x(1))+dr-x(2);k=30;ep=15;M=3;ifM==1slaw=-ep*sign(s)-k*s;%ExponentialvelocitytrendinglawelseifM==2%Saturatedfunctiondelta=0.05;kk=1/delta;ifs>deltasats=1;elseifabs(s)<=deltasats=kk*s;elseifs<-deltasats=-1;endslaw=-ep*sats-k*s;elseifM==3delta=0.05;ths=s/(abs(s)+delta);slaw=-ep*ths-k*s;endu=1/b*(c*(dr-x(2))+ddr-slaw+a*x(2));%StateEquationdx=zeros(2,1);dx(1)=x(2);dx(2)=-a*x(2)+b*u;仿真程序如下主程序：figure2_8.mclearall;closeall;globalabcAFMepkdeltats=0.001;T=5;TimeSet=[0:ts:T];c=5.0;para=[];[t,x]=ode45('figure2_8eq',TimeSet,[-0.50],[],para);x1=x(:,1);x2=x(:,2);r=A*sin(2*pi*F*t);dr=A*2*pi*F*cos(2*pi*F*t);ddr=-A*(2*pi*F)^2*sin(2*pi*F*t);s=c*(r-x(:,1))+dr-x(:,2);ifM==1slaw=-ep*sign(s)-k*s;%Exponentialvelocitytrendinglawu=1/b*(c*(dr-x(2))+ddr-slaw+a*x(2));elseifM==2kk=1/delta;fori=1:1:T/ts+1;ifs(i)>deltasats(i)=1;elseifabs(s(i))<=deltasats(i)=kk*s(i);elseifs(i)<-deltasats(i)=-1;endslaw(i)=-ep*sats(i)-k*s(i);u(i)=1/b*(c*(dr(i)-x2(i))+ddr(i)-slaw(i)+a*x2(i));endelseifM==3fori=1: