第6章 灰色决策方法2016

决策理论与方法第六章灰色决策方法学习目的了解灰数、灰色关联、灰色聚类的概念、原理与计算；掌握灰色决策的基本概念以及几类常用的经典灰色决策分析方法和技巧，为以后继续学习灰色决策的理论与方法奠定一定的基础。灰色系统理论产生的科学背景现代科学技术在高度分化的基础上高度综合的大趋势，导致了具有方法论意义的系统科学学科群的出现。系统科学揭示了事物之间更为深刻、更具本质性的内在联系，大大促进了科学技术的整体化进程；许多科学领域中长期难以解决的复杂问题随着系统科学新学科的出现迎刃而解；人们对自然界和客观事物演化规律的认识也由于系统科学新学科的出现而逐步深化。

灰色系统理论产生的科学背景(1)系统论(SystemTheory),创始人：L.Von.Bertalanffy。1925年提出，1945年发表第一篇论文，1968年出版代表作《一般系统理论—基础、发展和应用》。(2)

信息论（InformationTheory）,创始人：C.E.Shannon。1948年发表标志性论文“通讯的数学理论”。(3)

控制论（Cybernetics）,创始人：N.Wiener。1943年发表第一篇论文，1948年出版代表作《控制论》。(4)

耗散结构理论（DissipativityStructureTheory）,创始人：I.Prigogine.1969年发表第一篇论文。(5)

协同学（Synergetics）创始人：H.Haken.1971年提出，1976年出版代表作《协同学导论》。(6)突变论（CatastropheTheory）,创始人：R.Thom，1972。(7)

混沌理论(ChaosTheory),亦称紊乱学(DisorderTheory)，1964年，萨可夫斯基（ЩАКОЬСКИЙ）证明关于k周期点的结果；1975年，Yorke&Li证明关于3周期点的结果,提出混沌概念；代表人物：M.Feigenbaum，70年代中。(8)分形理论(FractalTheory),70年代，Mandelbrot(9)超循环理论(HypercycleTheory),70年代中，M.Eigen.灰色系统理论产生的科学背景(10)运筹学（OR），1940;单纯形方法，1947（G.B.Dantzig）(11)系统动力学（SD），J.W.Forrester，50年代(12)遗传算法（GeneticAlgorithms)JohnH.Holland,1975(13)人工神经网络（ArtificialNeuralNetworks）1943,W.W.McCullon&Pitts二值神经元模型1949,O.Hebb神经网络学习准则1958,F.Rosenblatt感知器1960年代初,B.Widrow&M.Hoff线性自适应元1970年代初,PaulWerbos,BP算法1982,J.Hopfield,Hopfield神经网络(14)模糊数学（FuzzyMathematics,1965，L.A.Zadeh）.(15)粗糙集理论(RoughSetTheory，1982，Z.Pawlak）(16)未确知数学（UncertaintyMathematics,1990年代初，王光远）(17)泛系理论(Pansystems,1970年代中，吴学谋)(18)灰色系统理论（GreySystemsTheory,1982，邓聚龙）(19)可拓学（Extenics,亦称物元分析(Matter-elementanalysis),(1983，蔡文）(20)集对分析（Setpairanalysis),1990年代，赵克勤）

这些都是解决不确定性和复杂性问题的研究成果。这些成果从不同角度、不同侧面论述了描述和处理各类不确定性信息的理论和方法。灰色系统理论的产生与发展动态邓聚龙教授1933年生,湖南涟源人,华中科技大学控制科学与工程系灰色系统理论的提出:1982年1.“TheControlproblemofgreysystems”,System&ControlLetter2.“灰色控制系统”,华中工学院学报标志着灰色系统理论这一新兴横断学科的问世。灰色系统理论（GreySystemTheory）的创立源于20世纪80年代。邓聚龙教授在1981年上海中-美控制系统学术会议上所作的“含未知数系统的控制问题”的学术报告中首次使用了“灰色系统”一词。灰色理论的创立1982年，邓聚龙发表了“参数不完全系统的最小信息正定”、“灰色系统的控制问题”等系列论文，奠定了灰色系统理论的基础。他的论文在国际上引起了高度的重视，美国哈佛大学教授、《系统与控制通信》杂志主编布罗克特（Brockett）给予灰色系统理论高度评价，因而，众多的中青年学者加入到灰色系统理论的研究行列，积极探索灰色系统理论及其应用研究。邓聚龙系统理论则主张从事物内部，从系统内部结构及参数去研究系统，以消除“黑箱”理论从外部研究事物而使已知信息不能充分发挥作用的弊端，因而，被认为是比“黑箱”理论更为准确的系统研究方法。灰色系统理论应用灰色系统理论的产生与发展动态从事灰色系统研究的学者遍布全球：中国（包括全国各省、市、自治区及港、澳、台地区）、英国、日本、美国、澳大利亚、德国、加拿大、奥地利、俄罗斯、新加坡、意大利、法国…许多重要国际会议把灰色系统列为讨论专题：不确定性系统建模国际会议、系统预测控制国际会议、国际一般系统研究会年会、系统与控制世界组织年会…灰色系统理论的产生与发展动态1989年，国际杂志《灰色系统学报》(TheJournalofGreySystem)（SA,MR,MA…核心期刊）在英国创刊。数百种国际国内学术期刊接受、发表灰色系统论文，美国计算机学会会刊、台湾《模糊数学通讯》出版灰色系统专辑，系统与控制国际杂志Kybernetes(SCI源期刊)用一期的版面集中介绍了我国学者的灰色系统研究成果灰色系统学术著作已出版60余种：科学出版社、国防工业出版社、华中理工大学出版社、江苏科学技术出版社、山东人民出版社、科学技术文献出版社、台湾全华科技图书出版社、台湾高立图书有限公司、日本理工出版社、美国IIGSS学术出版社…灰色系统理论的产生与发展动态全球近300所高校或研究机构开设灰色系统课程：华中科技大学、中国人民大学、清华大学、浙江大学、山东大学、南京航空航天大学、美国马里兰大学、日本丰桥大学、神奈川大学、维也纳经济大学、法国宇航中心、台湾中央大学、成功大学、大同工学院…《中国大百科全书》、《系统科学大辞典》、《中国科学技术蓝皮书（第8号）》等充分肯定我国首创的灰色系统理论成果。一批新兴边缘学科应运而生：灰色水文学、灰色地质学、灰色育种学、灰色哲学…华中科技大学、南京航空航天大学、福州大学、武汉理工大学招收、培养灰色系统专业博士研究生，国内外数千名博士、硕士研究生应用灰色系统的理论、方法、模型开展科学研究、撰写学位论文。灰色系统理论的产生与发展动态国家及各省、市科学基金积极资助灰色系统研究，每年都有一大批灰色系统理论或应用研究项目获得各类基金资助。200多项灰色系统成果获得国家或省部级奖励；2002年，我国灰色系统学者刘思峰教授获系统与控制世界组织奖。SCI,EI,ISTP,SA,MR,MA等国际权威性检索机构跟踪、摘引我国学者的灰色系统论著3000多次，据中国科学引文数据库（CSCD）统计，多年来，邓聚龙教授的论著被引用次数一直居全国第一。

总体而言,灰色系统理论作为一门新兴横断学科,正处于蓬勃发展中.几种不确定性方法比较分析模糊数学着重研究“认知不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。主要凭借经验，借助于隶属函数进行处理。概率统计研究的是“随机不确定”现象的历史统计规律，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性的大小，其出发点是，大样本，且对象服从某种典型分布。灰色系统理论研究的是“部分信息明确，部分信息未知”的“小样本，贫信息”不确定性系统，它通过对已知“部分”信息的开发、生成去了解、认识现实世界。着重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。几种不确定性方法比较分析项目灰色系统概率统计模糊数学研究对象贫信息不确定随机不确定认知不确定基础集合灰色朦胧集康托集模糊集方法依据信息覆盖映射映射途径手段灰序列生成频率分布截集数据要求任意分布典型分布隶属度可知侧重内涵内涵外延目标现实规律历史统计规律认知表达特色小样本大样本凭借经验灰色系统的基本概念所谓灰色系统

是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统理论所要考察和研究的是信息不完全的系统，通过对已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的。灰色系统的基本概念系统信息不完全（2）结构信息不完全（1）元素信息不完全（4）运行行为信息不完全（3）边界信息不完全灰色系统的基本概念“信息不完全”是“灰”的基本含义。从不同场合、不同角度看，还可以将“灰”的含义加以引申灰色系统的基本原理公理1、差异信息原理。差异即信息，凡信息必有差异。公理2、解的非唯一性原理。信息不完全、不确定的解是非唯一的。该原理是灰色系统理论解决实际问题所遵循的基本法则。公理3、最少信息原理灰色系统理论的特点是充分利用已占有的“最少信息”。公理4、认知根据原理。信息是认知的根据。公理5、新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。公理6、灰性不灭原理“信息完全”是相对的,“信息不完全”是绝对的。灰色系统理论的主要研究内容理论模型应用灰色系统的哲学思想灰色系统的数学基础序列算子预测模型关联分析聚类分析决策模型工程应用控制模型经济管理农业系统生态系统灰色系统理论的主要研究内容灰数学;灰色代数系统、灰色矩阵、灰色方程等是灰色系统理论的基础。灰色序列生成;主要包括缓冲算子（弱化缓冲算子、强化算子）、均值生成算子、级比生成算子、累加生成算子和累减生成算子等。灰色系统分析;除灰色关联分析外，还包括灰色聚类和灰色统计评估等方面的内容。灰色模型;通过灰色生成弱化随机性，挖掘数据规律，经过差分方程与微分方程之间的互换实现离散数据序列建立连续的动态微分方程的新飞跃。灰色组合模型;包括灰色经济计量学模型（G-E）、灰色生产函数模型(G-C-D)、灰色马尔可夫模型(G-M)、灰色时序组合模型等。灰色决策;包括灰靶决策、灰色关联决策、灰色统计、聚类决策、灰色局势决策和灰色层次决策等。灰色优化技术;包括灰色线形规划、灰色非线性规划、灰色整数规划和灰色动态规划等。灰色博弈模型;包括基于纯策略的灰矩阵博弈模型和基于混合策略的灰矩阵博弈模型等。灰色控制;包括本征性灰色系统的控制问题和以灰色系统方法为主构成的控制等。灰数及其运算1.

灰数的基本概念灰数的定义灰数的分类2.区间灰数的运算加减乘除灰数的基本概念所谓灰数是指只知道大概范围而不知道确切取值的实数。灰数的背景信息表现不完全人们认知能力有限例1:某市2007年居民储蓄存款余额预计200-300亿。若年底结算存款余额为275亿,则即为真值。例2:某成年男子的身高即为一灰数；未测量之前估计其身高约为1.8-1.9米，通过测量得到该男子身高为1.86米，则即为该男子身高的真值。灰数的基本概念灰数的基本概念灰数的基本概念从本质上看,灰数又可分为:(1)信息型灰数指因暂时缺乏信息而不能肯定其取值的数。(2)概念型灰数指由人们的某种观念、意愿形成的灰数。(3)层次型灰数由层次改变形成的灰数。

例8:

预计某地区今年夏粮产量在100万吨以上，；估计某储蓄所年底居民储蓄存款余额将达7000万到9000万元，；预计南京地区10月份最高气温不超过36℃.例9:

某高校承担一项国家重点科技攻关课题，希望科研经费投入不低于3000万元，并且越多越好；某工厂废品率为1%，希望大幅度降低，当然越小越好.例10:

例如叫张三的人,某个学校只有1人，全市大学有4～6人，已是灰数；若在全国范围内考虑，就更加说不清了。本讲内容灰色决策相关入门知识灰色决策的经典理论与方法非经典灰色决策方法希腊字母大小写及读法Aα阿尔法Bβ贝塔Γγ伽玛Δδ德尔塔Εε伊普西隆Ζζ泽塔Ηη伊塔Θθ西塔Ιι约塔Κκ卡帕Λλ兰姆达Μμ米欧Νν纽Ξξ克西Οο欧米克隆Ππ派Ρρ柔Σσ西格玛Ττ陶Υυ玉普西隆Φφ弗爱Χχ凯Ψψ普赛Ωω奥米伽6.1灰色决策相关入门知识6.1.1灰数及其白化1.灰数

灰色系统用灰数、灰色方程、灰色矩阵等来描述，其中灰数是灰色系统的基本“单元”或“细胞”。

灰数：我们把只知道大概范围而不知其确切值的数称为灰色。在应用中，灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数。通常用“”示灰数。

灰数有以下几类：（1）仅有下界的灰数（2）仅有上界的灰数（3）区间灰数（4）连续灰数与离散灰数（5）本征灰数与非本征灰数（6）黑数与白数(特殊的灰数)6.1灰色决策相关入门知识6.1灰色决策相关入门知识2.区间灰数的运算

设有灰数用符号表示与间的运算，若，则应为区间灰数，因此应有且对任意

，。法则1 设则的和记为，且。法则2设则。法则3设则

法则4设则

法则5设则

法则6设则即。6.1灰色决策相关入门知识法则7设定理6.1.1区间灰数不能相消，相约。定义6.1.1

设为一灰数集，若对任意的有,,均属于（商运算时要满足法则6的条件），则称为一灰数域。定理6.1.2区间灰数全体构成灰数域。定理6.1.3区间灰数全体构成灰色线性空间。6.1灰色决策相关入门知识

3.灰数的白化定义6.1.3形如的白化值称为等权白化。定义6.1.4在等权白化中，取而得到的白化值称为等权均值白化。当区间灰数取值的分布信息缺乏时，常采用等权均值白化。定义6.1.5设区间灰数，

，,当时，6.1灰色决策相关入门知识我们称取数一致；当时，称取数非一致。定义6.1.6起点、终点确定的左升、右降连续函数称为典型白化权函数。6.1灰色决策相关入门知识6.1灰色决策相关入门知识6.1.2灰色关联度

灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，反之就越小。灰色关联分析方法对样本量的多少和样本有无规律都同样适用，而且计算量小，十分方便，更不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。

6.1灰色决策相关入门知识1.灰色关联因素和关联算子

对系统进行灰色关联分析，则需要对系统行为特征映射量和各有效因素进行适当处理，通过算子作用，使之化为数量级大体相近的无量纲数据，并将负相关因素转化为正相关因素。定义6.1.7设为系统因素，其在序号上的观测数据为则称为因素的行为序列;当序号分别为时间、指标、决策矩阵(多属性决策)6.1灰色决策相关入门知识对象时，则依次称为因素的行为时间序列、行为指标序列、行为横向序列。无论是时间序列数据、指标序列数据还是横向序列数据，都可以用来作关联分析。定义6.1.8设为因素的行为序列，为序列算子，且其中1,若

6.1灰色决策相关入门知识则称为初始化算子，为在初始化算子下的像，简称初值像;2,若,则称为均值化算子，为在均值化算子下的像，简称均值像;3,若则称为均值化算子，为在均值化算子下的像，简称区间值像.6.1灰色决策相关入门知识4,若，则称为逆化算子，为行为序列在逆化算子下的像，简称逆化像。5,若，则称为倒数化算子，为行为序列在逆化算子下的像，简称逆化像。称为灰色关联算子集，称(X,D)为灰色关联因子}5,4,3,2,1|{==iDDi思考题P167定理6.1.46.1灰色决策相关入门知识2.灰色关联公理和灰色关联度定义6.1.17设为系统特征序列，且为相关因素序列。给定实数，若实数满足规范性,整体性,偶对对称性,接近性,则称为与的灰色关联度，为与在点的关联系数，并称四个条件为灰色关联四公理。定理6.1.5设系统行为序列，，对于,令6.1灰色决策相关入门知识

则满足灰色关联四公理，其中称为分辨系数。称为与的灰色关联度。灰色关联度的计算步骤如下：步骤1求各序列的初值像（或均值像）。令步骤2求差序列。记

6.1灰色决策相关入门知识6.1灰色决策相关入门知识步骤3求两极最大差与最小差。记步骤4求关联系数步骤5计算关联度应用研究☆一级男子百米运动员身体素质与运动成绩的灰色关联度分析选择100米作为研究项目,依据灰色关联度分析原理,揭示一级水平男子百米运动员的各项身体素质、各类型素质与运动成绩之间的关联度;针对训练实践中对身体素质认识上的模糊,提出相应的训练策略,旨在对提高运动成绩有所裨益。相关因素：行进间30米，230米，460米，5150米，立定跳远，立定三级跳，二级蛙跳，后抛铅球，仰卧起坐，坐蹲起，深蹲，前后劈叉，左右劈叉，站立体前屈，折回跑，象限跳，侧跨步。应用研究☆我国铁路货物运输发展的灰色关联分析本文用灰色关联分析方法对1989～2002年我国铁路运输货运量的发展进行系统分析,探讨影响我国铁路运输货运量发展的主要因素以及各因素相对于铁路运输货运量发展的关联程度,以便为有关部门的决策者提供数据资料.影响我国铁路运输货运量发展的主要因素有:GDP、人口数量、居民消费水平、固定资产总投资及国家财政总收入等.把铁路运输货运量作为母序列X0,其影响因素作为子序列6.1灰色决策相关入门知识3.广义灰色关联度

（1）灰色绝对关联度命题6.1.5设系统行为序列，记折线为，令则当为增长序列时，；当为衰减序列时，

；当为振荡序列时，符号不定。6.1灰色决策相关入门知识定义6.1.18设系统行为序列，为序列算子,且,其中,,则称为始点零化算子，为的始点零化像，记为命题6.1.6设系统行为序列,的始点零化像分别为,,令则：当恒在上方，； 当恒在下方，； 当与相交，的符号不定。定义6.1.19称序列各个观测数据间时距之和为长度。6.1灰色决策相关入门知识6.1灰色决策相关入门知识定义6.1.20设序列与长度相同，如命题6.1.5中所示，如命题6.1.6中所示，则称为与的灰色绝对关联度，简称绝对关联度。定理6.1.6定义6.1.20给出的灰色绝对关联度满足灰色关联公理中规范性、偶对对称性与接近性，但不满足整体性。6.1灰色决策相关入门知识命题6.1.7设序列与的长度相同，令， 。其中，为常数，若与的灰色绝对关联度为，则。定义6.1.21若序列各对相邻观测数据间时距相同,则称为等时距序列。6.1灰色决策相关入门知识引理6.1.1设为等时距序列，若其时距，则时间轴,可将化为1-时距序列。引理6.1.2设与的长度相同，且皆为1-时距序列，而，分别为与的始点零化像，则，6.1灰色决策相关入门知识定理6.1.8设序列和长度相同，当它们时距不同或至少有一个为非等时距序列时，若通过均值生成填补相映空穴使之化成时距相同的等时距序列，则此时灰色绝对关联度不变。定理6.1.9灰色绝对关联度具有下列性质：①；②只与和的几何形状有关，而与其空间相对位置无关，平移不改变绝对关联度的值；6.1灰色决策相关入门知识③任何两个序列都不是绝对无关的,即恒不为零；④与几何上相似程度越大，越大；⑤与平行，或围绕摆动，且位于之上部分的面积与位于之下部分的面积相等时，=1；⑥当或中任一观测数据变化时，将随之变化；6.1灰色决策相关入门知识⑦与长度变化，亦变；⑧;⑨。（2）灰色相对关联度定义6.1.22设序列，长度相同，且初值皆不等于零，，分别为，的初值像，则称与的灰色绝对关联度为与的灰色相对关联度,简称为相对关联度，记为。6.1灰色决策相关入门知识

相对关联度表征了序列与相对于始点的变化速率之间的关系，与的变化速率越接近，越大，反之就越小。定理6.1.10灰色相对关联度具有下列性质：①，⑥，⑦，⑧，⑨与灰色绝对关联度对应性质类似。

②只与序列和的相对于始点的变化率有关,而与各观测值的大小无关，或者说，数乘不改变相6.1灰色决策相关入门知识对关联度的值；③任何两个序列的变化速率都不是毫无联系的，即恒不为零；④与相对于始点的变化速率越趋于一致，越大；⑤与相对于始点的变化速率相同,即；或与的初值像的始点零化像，满足：围绕摆动，且位于之上的面积与位于6.1灰色决策相关入门知识之下部分的面积相等时，=1；（3）灰色综合关联度定义6.1.23设序列，长度相同,且初值不等于零,和分别为与的灰色绝对关联度和灰色相对关联度，，则称为与的灰色综合关联度，简称综合关联度。6.1灰色决策相关入门知识6.1.3灰色聚类

灰色聚类是根据灰色关联矩阵或灰数的白化权函数将一些观测指标或观测对象划分成可定义类别的方法。按聚类对象划分，灰色聚类可分为灰色关联聚类和灰色白化权函数聚类。1.灰色关联聚类

设有个观测对象，每个对象观测个特征数据，得到序列如下：6.1灰色决策相关入门知识，…，对所有的，计算出与的灰色绝对关联度，得上三角矩阵如下：其中，，。6.1灰色决策相关入门知识定义6.1.24上述矩阵称为特征变量关联矩阵。取临界值，一般要求>0.5,当时，则视与为同类特征.定义6.1.25特征变量，，…，在临界值r下的分类称为特征变量的r灰色关联聚类。r根据实际问题的需要确定,r越接近于1,分类越细;r越小，分类越粗。灰色系统方法主要介绍灰色系统的三种方法：灰色关联分析方法灰色预测方法GM(1,1)灰色统计（灰色评价）

因素分析的基本方法过去采用的主要方法是统计方法。如回归分析（包括线性回归、多因素回归、单因素回归、逐步回归、非逐步回归）。回归分析虽然是一种较通用的方法，但一般认为回归分析有下述不足：（1）要求大量数据，数据量少难以找到规律；（2）要求分布是线性的，或是指数的，或是对数（3）计算工作量大；（4）有可能出现反常的现象，使正相关变成负相关，以致正确现象受到歪曲或颠倒。1、灰色关联分析方法

灰色系统考虑到上述种种弊病和不足，采用关联分析的方法来作系统分析。作为一个发展变化的系统，关联度分析事实上是动态过程发展态势的量化分析。说得确切一点，是发展态势的量化比较分析、发展态势的比较，也就是系统历年来有关统计数据列几何关系的比较。考虑有三个数据列，一个是某地区的年总收入，一个是某地区的养猪收入，一个是某地区的养兔收入。总收入养猪养兔从图中可以观察到，总收入曲线与养猪曲线趋势较接近，而与养兔曲线差距较大，因此可以认为该地区对收入影响较大的是养猪而不是养兔。例1果树产量因素分析某农业研究所在研究果树的产量时发现影响果树单产的因素很多，有数据的因素就达12种之多。如树龄、剪枝、硝氨、磷肥、农肥、浇水、药物人防、畜耕人耕、弥雾、喷雾等等。经过详细的定量分析找出4种认为是对果树单产有较大影响的因素，其数据如下：年序号190019911992199319941995199619971998单产X01.141.491.692.123.434.325.926.077.85剪枝X13.33.473.613.844.194.424.614.8农肥X26667.57.57.5999浇水X31.21.21.81.81.82.42.73.64药物X44.875.896.767.978.8410.0511.3112.2511.64①首先需要将数据列进行无量纲化处理。年序号190019911992199319941995199619971998单产X011.311.481.863.013.795.195.326.86剪枝X111.051.091.151.211.271.341.401.45农肥X21111.251.251.251.51.51.5浇水X3111.51.51.52.02.253.03.33药物X411.211.391.641.822.062.322.522.39②然后再计算各子数据列与母数据列的差值年序号190019911992199319941995199619971998单产X011.311.481.863.013.795.195.326.86剪枝X100.260.390.751.82.523.853.925.41农肥X200.310.480.611.762.543.693.825.36浇水X300.310.020.361.61.792.942.323.53药物X400.100.070.221.191.732.872.804.47③计算极大差和极小差=0=6.86④计算关联系数⑤计算关联度计算得到的关联度分别如下：因此，药物对果树单产的影响最大，农肥次之，剪枝再次之，浇水对果树单产的影响最小。年序号190019911992199319941995199619971998单产X0111111111剪枝X110.91230.87400.78290.60040.51770.41270.40830.3333农肥X210.89630.84810.81460.60360.51340.42070.41230.3333浇水X31药物X412、灰色预测模型灰色系统理论认为，随机量可以看作是在一定范围内变化的灰色量。对于贫信息的灰色系统，灰色变量所取的值十分有限，并且数据变化无规律。对这些灰色变量作生成运算处理，处理后的数据变化有一定规律，与原始数据相比，增加了数据变化的确定性。从而在生成数据的基础上建立灰色系统模型。灰色系统中数据的生成运算有累加生成运算AGO(AccumulatedGeneratingOperation)和累减生成运算IAGO(InverseAccumulatedGeneratingOperation)。(1)累加生成运算（AGO）设有原始数据列对作一次累加生成运算得到一次累加生成序列对作二次累加生成运算得到二次累加生成序列例如，某公司1990~1994年的产品销售额原始数据列为其一次累加生成后的序列为其二次累加生成后的序列为生成前的序列生成后的序列累加生成的特点

一般经济数列都是非负数列。累加生成能使任意非负数列、摆动的与非摆动的，转化为非减的、递增的。原始数列作图

1—AGO作图

某市的汽车销售量递增的规律原始数列作图1—AGO作图有明显的指数关系的规律某钢厂产量某地区作物产量

s型变化规律(2)累减生成运算（IAGO）累减生成运算是累加生成的逆运算。累减生成运算公式为：(3)灰色系统建模用灰色系统理论和方法建立的模型称为灰色模型GM（GreyModel)。一般的GM模型是一个n阶，h个变量的微分方程模型，简记为GM(n,h)。GM模型的建模机理是，将随机量看作是一定范围内变化的灰色量，对无规律的原始数据经过生成处理后，建立生成数据序列的微分方程模型。并用不同的数据生成建立不同模型来提高模型的精度。模型采用三种方式检验，即残差检验、关联检验和后验检验。①GM（1，1）模型GM（1，1）是一阶常微分方程模型。设有原始数据列作一次累加生成后的数据列为

则可建立下述白化形式的微分方程记参数列为按最小二乘法求微分方程复习Eg.质量为m的物体自由落下,t=0时,初始位移和初速度分别为求物体的运动规律.设运动方程为S=S(t),则两次积分分别得出:条件代入:一阶线性方程一般形式:一阶线性齐次方程一阶线性非齐次方程自由项白化形式的微分方程的解为：综上所述，GM（1，1）模型建模的计算步骤：1）对原始数据序列作一次累加生成得到2）用最小二乘法估计得到参数3）解一阶线性微分方程

得到时间响应函数4）模型检验5）利用模型进行预测例题某公司1990~1994年的年销售额（单位：百万元）数据为试建立GM（1，1）模型并进行预测。解：1）对原始数据作一次累加生成，得到2）用最小二乘法估计得到参数从而可得得到一阶线性微分方程其时间响应函数为3）模型检验：这里仅对模型进行残差检验。用时间响应函数计算，用公式计算还原数据，并求出各时期的残差值q(k)和相对误差值e(k)。计算结果见下表k%2(1991)6.113.2363.2780.0421.4023(1992)9.460583.35453.337-0.0175-0.52594(1993)12.942293.48173.39-0.0917-2.7055(1994)16.55593.61363.6790.06541.7755由此看出，模型的相对误差不超过3%。4）利用模型进行预测当k=5时，利用模型求得②GM（1，h）模型GM（1，h）模型上含有h个变量的一阶微分方程，形如其中为待估参数，均为一次累加生成变量模型反映了h-1个变量对因变量变化率的影响，故称GM（1，h）为h个序列的一阶线性动态模型。与GM（1，1）建模原理相仿，GM（1，h）模型的建模步骤是：设有h个变量组成的原始数据序列1）对原始数据序列作一次累加生成运算，得累加生成序列2）计算GM（1，h）模型的待估参数，用最小二乘法得到估计值其中，B为累加数据矩阵，YN为参数项向量，分别是3）将参数的估计值代入方程，求得微分方程的解4）模型检验。检验方法与GM（1，1）模型检验类似。GM(1,1)MATLAB实现clcclearallformatshort%输入要预测的数据x0=[2.874,3.278,3.337,3.39,3.679];%%%%%%x0矩阵中输入已知几年的数据%求x1x1=[];fori=1:length(x0)forj=1:ix1(i)=sum(x0(1:i));%累加求和endend%求z1z1=[];z1(1)=x1(1);fori=2:length(x1)z1(i)=1/2*(x1(i)+x1(i-1));%%%%求平均end求a,bY=[x0(2:length(x0))]';b1=z1(2:length(z1));b2=-1*b1;b3=b2';b4=ones(1,(length(z1)-1))';B=[b3,b4];A=inv(B'*B)*B'*Y;%时间响应方程symsky=(x0(1)-A(2)/A(1))*exp(-1*A(1)*k)+A(2)/A(1);%求模拟值k=0:length(x0)-1;