第2章逻辑代数

第2章逻辑代数基础2.1逻辑代数与基本逻辑运算2.2逻辑函数与变换2.3逻辑函数的化简2.4逻辑函数化简中的几个特殊问题2.1逻辑代数与基本逻辑运算一、基本逻辑运算和逻辑函数 所谓“逻辑”是指“条件”与“结果”的关系，利用电路的输入信号反映“条件”，而用电路的输出反映“结果”。从而使电路的输入和输出之间代表了一定的逻辑关系。最简单的逻辑单元——基本逻辑门。一、基本逻辑运算和逻辑函数1、逻辑变量 逻辑代数中的变量（逻辑变量）只能取两个值——0和1，而没有中间值。0和1并不表示数值的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。称为逻辑0或逻辑1，这种表示方法叫状态赋值。2、逻辑函数（1）概念：Z=F（A、B、C、D…）逻辑即是“条件”与“结果”的关系。（2）特点：A、逻辑函数与自变量的关系由有限个基本逻辑运算（与、或、非）决定。B、自变量和函数的值都只能取0或1。3、基本逻辑运算——三种与(and)、或(or)、非(not)UABY

B、真值表ABY000010100111规定:开关合为逻辑“1”开关断为逻辑“0”灯亮为逻辑“1”灯灭为逻辑“0”特点:有0则0,全1则1（1）“与”逻辑关系和与门决定事件发生的各条件中，所有条件都具备，事件才会发生（成立）。A、概念一、基本逻辑运算和逻辑函数3、基本逻辑运算——三种&ABYD、与逻辑运算规则—逻辑乘C、与逻辑关系表示式L=A•B=AB

E、与门符号:0•0=00•1=01•0=01•1=1ABY（1）“与”逻辑关系和与门一、基本逻辑运算和逻辑函数3、基本逻辑运算——三种A、概念B、真值表（2）“或”逻辑关系和或门决定事件发生的各条件中，有一个或一个以上的条件具备，事件就会发生（成立）。A、概念UABY000011101111ABY开关合为逻辑“1”，开关断为逻辑“0”；灯亮为逻辑“1”，灯灭为逻辑“0”。设：特点:任1则1,全0则0B、真值表一、基本逻辑运算和逻辑函数3、基本逻辑运算——三种ABY≥1D、运算规则—逻辑加C.或逻辑关系表示式

L=A＋B

E、或门符号:0+0=00+1=11+0=11+1=1ABY+（2）“或”逻辑关系和或门A、概念一、基本逻辑运算和逻辑函数3、基本逻辑运算——三种B、或逻辑真值表（3）“非”逻辑关系和非门决定事件发生的条件只有一个，条件不具备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。特点:1则0,0则1B、真值表0110AYYRAUA、概念一、基本逻辑运算和逻辑函数3、基本逻辑运算——三种非逻辑—逻辑反0＝11＝0C、关系表示式:

1AYE、符号：AY（3）“非”逻辑关系和非门A、概念3、基本逻辑运算——三种一、基本逻辑运算和逻辑函数B、真值表Y＝AD、运算规则：二、基本逻辑关系的扩展将基本逻辑门加以组合，可构成“与非”、“或非”、“异或”等门电路。1、与非门表示式：

真值表

ABABY0001010110011110多个逻辑变量时:&ABY符号：ABY2、或非门表示式：Y=A+B

真值表ABA+BY0001011010101110多个逻辑变量时:Y=A+B+CABY≥1符号：ABY+二、基本逻辑关系的扩展3、与或非门表示式：Y=AB+CD符号：CDY≥1AB&&二、基本逻辑关系的扩展Y=AB=AB+AB表示式：真值表特点:相同则0,不同则1

真值表

ABABABY000000110110011110004、异或门=1ABY符号：ABY二、基本逻辑关系的扩展11&&≥1ABY=AB=AB+AB表示式：ABABABY=AB+AB4、异或门二、基本逻辑关系的扩展用基本逻辑门组成异或门门电路是实现一定逻辑关系的电路。类型:与门、或门、非门、与非门、或非门、异或门……。1、用二极管、三极管实现2、数字集成电路(大量使用)1)TTL集成门电路2)MOS集成门电路实现方法:门电路小结门电路小结门电路符号表示式与门&ABYABY≥1或门非门1YAY=ABY=A+BY=A与非门&ABYY=AB或非门ABY≥1Y=A+B异或门=1ABYY=AB三、逻辑函数的相等1、定义：设有两个逻辑函数F=f(x1,x2,…xn)G=g(x1,x2,…xn)其变量都为x1,x2,…xn，如果对应于变量x1,x2,…xn的任何一组变量取值，F，G的值都相等，则称这两个函数相等，记为F=G。2、判断逻辑函数是否相等的方法（1）列出输入变量的所有可能的取值组合，并按逻辑运算规则计算出在各种输入取值下两个函数的相应值，并进行比较。（2）利用逻辑代数的定理、定律和规则进行证明。三、逻辑函数的相等它们的真值表完全相同，故F和G是相等的。四、关于逻辑函数的书写乘运算规则:加运算规则:五、逻辑代数基本运算规则非运算规则:0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10•0=00•1=01•0=01•1=1A＝AA•0=0A•1=AA•A=AA•A=00=11=0A+0=A，A+1=1，A+A=A，A+A=11、基本关系交换律:A+B=B+A

AB=BA结合律:A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)

ABC=(AB)C=A(BC)五、逻辑代数基本运算规则2.逻辑代数运算规律分配律:A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)证明:右边=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC;分配律=A+A(B+C)+BC;结合律,AA=A=A(1+B+C)+BC;结合律=A•1+BC;1+B+C=1=A+BC;A•1=1=左边五、逻辑代数基本运算规则2.逻辑代数运算规律吸收规则原变量吸收规则:反变量吸收规则:A+AB=A+BA+AB=A+B注:红色变量被吸收掉！A+AB=A+AB+AB=A+(A+A)B=A+1•B;A+A=1=A+BA+AB=A证明:五、逻辑代数基本运算规则2.逻辑代数运算规律混合变量吸收规则:AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+ACAB+AB=AAB+AC+BC=AB+AC证明:五、逻辑代数基本运算规则2.逻辑代数运算规律反演定理（德摩根定理）A•B=A+B

A+B=A•B用真值表证明ABA•BA+B1110000110111110证明:五、逻辑代数基本运算规则2.逻辑代数运算规律4.展开定理五、逻辑代数基本运算规则3.关于“异或”运算的一些公式（1）代入规则 对逻辑等式中的任意变量A，若将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数，则等式仍然成立。 例：若：A(B+C)=AB+ACC→C+D则：A[B+(C+D)]=AB+A(C+D) 意义：利用这条规则和现有的等式，可以推出更多的等式，而无需证明。（2）反演规则 对于任何一个逻辑函数F，若将F表达式中所有的“·”和“+”互换，“0”和“1”互换，原变量和反变量互换，并保持运算优先顺序不变，则可得到F的反函数。五、逻辑代数基本运算规则5.重要规则注意：①反演规则的意义在于利用它求一个函数的反函数。②运用反演规则时，不是一个变量上的反号应该保留。③变换时，应注意先“与”后“或”，先括号内后括号外的顺序。五、逻辑代数基本运算规则5.重要规则（3）对偶规则对于任何一个逻辑函数F，若将F表达式中所有的“·”和“+”互换，“0”和“1”互换，并保持运算优先顺序不变，则所得到新的函数称为函数F的对偶函数F'。例：五、逻辑代数基本运算规则5.重要规则若称函数为自对偶函数例：（3）对偶规则注意：转换时应先“与”后“或”，先括号内后括号外的顺序。对偶规则：当某个逻辑恒等式成立时，其对偶式的等式也成立。互为对偶原理：(Z')'=Z2.2逻辑函数的表示与变换一、逻辑函数的表示方法四种表示方法Y=AB+AB逻辑代数式(逻辑表示式,逻辑函数式)11&&≥1ABY

逻辑电路图:卡诺图

将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。N个输入变量种组合。真值表：ABY001011101110ABCY000000100100011010001011110111110110AY一输入变量，二种组合二输入变量，四种组合三输入变量，八种组合一、逻辑函数的表示方法1、真值表ABCDY0000100010001010011101000010110110001111ABCDY1000110011101011011111001110111110111111四输入变量，16种组合一、逻辑函数的表示方法1、真值表（四输入变量）二、各种表示方法之间的转换1、由真值表求逻辑表达式（1）把真值表中逻辑函数值为1的变量组合挑出来；（2）若输入变量为1，则写成原变量，若输入变量为0，则写成反变量；（3）把每个组合中各个变量相乘，得到一个乘积项；（4）将各乘积项相加，就得到相应的逻辑表达式。例：试设计一个三人表决器二、各种表示方法之间的转换2、由逻辑表达式列出真值表 按照逻辑表达式，对逻辑变量的各种取值进行计算，求出相应的函数值，再把变量取值和函数值一一对应列成表格。二、各种表示方法之间的转换3、由逻辑函数式求逻辑电路（1）画出所有的逻辑变量；（2）用“非门”对变量中有“非”的变量取“非”；（3）用“与门”对有关变量的乘积项，实现逻辑乘；（4）用“或门”对有关的乘积项，实现逻辑加；&

≥1&&&CAAABBBCCZBABY=AB+ABABA1&AB&1≥1二、各种表示方法之间的转换4、由逻辑图求逻辑表达式 由输入到输出，按照每个门的符号写出每个门的逻辑函数，直到最后得到整个逻辑电路的表达式。三、逻辑函数表达式的形式1、两种基本形式（1）“与—或”表达式（“积之和”SumofProducts或SP型） 单个逻辑变量进行“与”运算构成的项称为“与项”，由“与项”进行“或”运算构成的表达式称为“与—或”表达式。例：（2）“或—与”表达式（“和之积”ProductsofSum或PS型） 单个逻辑变量进行“或”运算构成的项称为“或项”，由“或项”进行“与”运算构成的表达式称为“或—与”表达式。例：三、逻辑函数表达式的形式2、最小项1）定义：若n个变量组成的与项中，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次且仅出现一次，则称该“与项”为n个变量的最小项。例：设A，B，C是三个逻辑变量，其最小项为不是最小项的与项：AB，AC，A(B+C)，…2）最小项的编号：把使该最小项为1的取值组合视作二进制数（原变量取1，反变量取0），则相应的十进制数作为最小项的编号。用(m)(N)10表示。三、逻辑函数表达式的形式3）性质：①n变量的函数，最多可构成2n个最小项；②对于任意一个最小项，只有一组变量取值组合使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值均为0；③不同的最小项，使它为1的变量取值组合不同；④任意两个最小项mi和mj(i≠j)的乘积必为零，即mi·mj=0；⑤对于变量的任意一组取值，全体最小项之和为1，即：⑥n变量的每一个最小项，都有n个相邻的最小项。当两个最小项中只有一个变量不同，且这个变量分别为同一变量的原变量和反变量时，称这两个最小项为相邻的最小项。2、最小项三、逻辑函数表达式的形式2）一个逻辑函数的标准“与—或”式是唯一的。3）任何一个逻辑函数都可表示成为标准“与—或”式。其方法如下：代数法：①将函数表示成为一般的“与—或”式；3、逻辑函数的标准形式（1）标准“与—或”式1）由最小项相“或”构成的逻辑表达式，称为标准“与—或”式。②反复利用X=X(Y+)，将表达式中所有非最小项的“与”项扩展成为最小项。三、逻辑函数表达式的形式3、逻辑函数的标准形式（1）标准“与—或”式三、逻辑函数表达式的形式3、逻辑函数的标准形式（1）标准“与—或”式三、逻辑函数表达式的形式3、逻辑函数的标准形式（1）标准“与—或”式真值表法：将在真值表中，输出为1所对应的最小项相加，即为标准“与—或”式三、逻辑函数表达式的形式3、逻辑函数的标准形式（3）反函数的标准形式1）若把真值表中使函数值为0所对应的最小项加起来，得反函数的标准“与或”式。即=真值表中输出为0的变量组合相加。例：对上面的真值表有=∑m（0，1，3，5，7）四、逻辑表达式的变换1、逻辑函数的“与非”实现（1）“与非”逻辑的完备性（2）用“与非”实现逻辑函数 先将函数化成“与或”表达式，然后对表达式两次取反，得函数的“与非—与非”表达式。ABC2.3逻辑函数的化简一、化简的意义和最简的概念1、化简的意义 （1）节省器材； （2）提高了工作的可靠性；2、最简的概念 （1）举例试证明下面两式具有相同的逻辑功能，并比较它们的逻辑图。++即Z1、Z2具有相同的逻辑功能一、化简的意义和最简的概念1、化简的意义 （1）节省器材； （2）提高了工作的可靠性；2、最简的概念 （1）举例（2）“与或”表达式化简的意义①任何一个表达式都不难展开成“与或”表达式；②从一个最简的“与或”表达式可以比较容易地得到其他类型的最简式。（3）最简“与或”表达式①“与”项的个数最少；②每个“与”项中的因子数最少；例1：反变量吸收提出AB=1提出A二、代数化简法Y=AB=AB+AB=A•A•B•B•A•B右边=A•A•B+B•A•B;AB=A+B=A•A•B+B•A•B;A=A=A•(A+B)+B•(A+B);AB=A+B=A•A+A•B+B•A+B•B;展开=0+A•B+A•B+0=A•B+A•B=左边结论:异或门可以用4个与非门实现二、代数化简法例2:证明Y=AB=AB+AB=A•A•B•B•A•B&&&&ABY11&&≥1AB二、代数化简法异或门可以用4个与非门实现例3Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC将化简为最简逻辑代数式。=AB(C+C)+ABC+AB(C+C)=AB+ABC+AB=(A+A)B+ABC=B+BAC;A+AB=A+B=B+AC；C+C=1Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC二、代数化简法例4将Y化简为最简逻辑代数式。

Y=AB+(A+B)CD解：Y=AB+(A+B)CD=AB+(A+B)CD=AB+ABCD=AB+CD;利用反演定理;将AB当成一个变量,利用公式A+AB=A+B；A=A二、代数化简法二、代数化简法1、并项法：2、吸收法：利用A+AB=A消去多余的项二、代数化简法3、消去法：4、配项法：利用消去多余的因子二、代数化简法3、消去法：4、配项法：二、代数化简法5、综合运用：二、代数化简法小结： 用代数法化简，一开始不可能知道它的最简式，只能在简化的过程中方能够逐渐清楚。 化简步骤：首先把表达式转换成“与或”表达式，然后用较易的并项法，吸收法和消去法化简函数式，最后再考虑能否用配项法给予展开化简。 具体应用中要特别注意一个函数式作为一个变量看待时的具体变换。3.逻辑函数的卡诺图化简法

卡诺图是真值表的一种变形，为逻辑函数的化简提供了直观的图形方法。当逻辑变量不太多(一般小于5个)时，应用卡诺图化简逻辑函数，方法直观、简捷，较容易掌握。(1)最小项的概念设有n个变量，它们组成的与项中每个变量或以原变量或以反变量形式出现一次，且仅出现一次，这些与项均称之为n个变量的最小项。若函数包含n个变量，构成的最小项应为2n个，分别记为mn。例如两变量的最小项共有22=4个，可表示为：三变量的最小项共有23=8个，可表示为：四变量的最小项共有24=16个，分别表示为：显然，当变量为n个时，最多可构成的最小项数为2n个。2)卡诺图表示法A01B01m0m1m2m3两变量卡诺图A01BC00011110m0m1m4m5m3m2m7m6三变量卡诺图CD00011110AB00011110m0m1m4m5m3m2m7m6m12m13m8m9m15m14m11m10四变量卡诺图显然，相邻两个变量之间只允许有一个变量不同！(2)卡诺图表示法

卡诺图是平面方格阵列图，其画法满足几何相邻原则：相邻方格中的最小项仅有一个变量不同。用卡诺图表示逻辑函数时，将函数中出现的最小项，在对应方格中填1，没有的最小项填0(或不填)，所得图形即为该函数的卡诺图。例把函数式和表示在卡诺图中。m0m1m4m5ABC000101m3m2m7m611101m0m1m4m5ABC000101m3m2m7m61110111111111(3)用卡诺图表示逻辑函数试把下列逻辑函数式表示在卡诺图中0101ABC00010110011110CD00011110AB000111100011010111000111

用卡诺图表示逻辑函数，关键在于正确找出函数式中所包含的全部最小项，并用1标在卡诺图对应的方格中。(4)用卡诺图化简逻辑函数

利用卡诺图化简逻辑函数式的步骤如下：①根据变量的数目，画出相应方格数的卡诺图；②根据逻辑函数式，把所有为“1”的项画入卡诺图中；③用卡诺圈把相邻最小项进行合并，合并时应按照20、21、22、23、24个相邻变量圈定，并遵照卡诺圈最大化原则；④根据所圈的卡诺圈，消除圈内全部互非的变量，保留相同的变量作为一个“与”项(注意圈圈时应把卡诺图看作成一个圆球体)，最后将各“与”项相或，即为化简后的最简与或表达式。例试把逻辑函数式CD00011110AB00011110用卡诺图化简。②把逻辑函数表示在卡诺图的方格中①画出相应方格数的卡诺图0011110111000111③按最大化原则圈定卡诺圈④消去卡诺圈中互非变量后得最简式3、画卡诺圈的原则·在覆盖所有1方格的前题下，卡诺圈的个数应尽可能少。因为卡诺圈个数越少，函数表达式中的与项数目越少；·在满足合并规律的前题下，卡诺圈应尽可能大。因为卡诺围中包含的最小项越多，相应与项所含的变量数越少；·每个1方格至少被一个卡诺圈包围，根据需要也可以被多个卡诺圈包围。·圈的区域可以是长方形或正方形，不能是其他形状；·画圈的次序是“先大后小”·消去的是相邻方格中取值不同的变量，一个包围2m个方格的卡诺图，可以消去m个变量。例其余不为1的方格填写上0圈卡诺圈：只对2n个相邻为1项圈画消去互为反变量的因子，保留相同的公因子，原函数化简为：CD00011110AB000111101001001111110000例AB00011110CD000111101111111100000000试把逻辑函数式化简。其余不为1的方格填写上0圈卡诺圈：只对2n个相邻为1项圈画消去互为反变量的因子，保留相同的公因子，原函数化简为：

当卡诺圈中的相邻最小项为23个，即可消去3个互非的变量因子后合并为一项。