第七章控制系统的校正

7.1串联校正串联校正(SeriesCompensation)将校正装置Gc(s)串接在系统的前向通道中，如图7-1所示。串联校正装置的参数设计是根据系统固有部分的传递函数G0(s)和对系统的性能指标要求来进行的。第7章自动控制系统的校正图7-1串联校正

1.串联超前校正(SeriesPhase-LeadCompensation)

若校正装置具有超前的相频特性，即输出信号的相位超前于输入信号的相位，则称它为超前校正装置。1)超前校正装置(Phase-LeadCompensator)(1)无源超前校正装置。图7-2所示为一个由RC元件组成的无源超前校正装置，它的传递函数为图7-2无源超前校正装置其中:校正装置的放大倍数1/α<1，这将会影响到系统的稳态精度，因而一般再增加一个放大倍数为α的放大环节，这样校正装置的传递函数为(7-1)图7-3超前校正装置的伯德图

Gc(s)的伯德图如图7-3所示。两个转折频率为ω1=1/(αT)，ω2=1/T。当ω>ω2时,L(ω)=20lgωαT-20lgωT=20lgα。校正装置的幅相频率特性曲线如图7-4所示。图7-4超前校正装置的幅相频率特性曲线由式(7-1)可求得该校正装置的相频特性表达式为φ(ω)=arctan(αωT)-arctan(ωT)(7-2)

由于α>1，故当0<ω<∞时，φ(ω)>0。这表示该校正装置输出信号的相位总是超前输入信号的相位，因而称其为超前校正装置。由图7-3可见，在ω=ωm时，Gc(jω)有最大的超前相角φm。令dφ(ω)/dω=0，可求得(7-3)式(7-3)表示ωm处于转折频率1/T和1/(αT)的几何平均值处。根据极坐标图7-4，可求出最大超前相角为也可写为或写为(7-4)(7-5)(7-6)(2)有源超前校正装置。将RC电路构成的无源校正装置连接于系统之后，由于负载效应的影响，常会削弱其校正作用，或使得校正装置的参数选择比较困难。因而，在实际的控制系统中，大多采用由运算放大器构成的有源校正装置。有源超前校正装置可由图7-5所示的电路实现。由图7-5可见，有图7-5有源超前校正装置其中：故有(7-7)式中：令αT=τ，即有并使Kc=1，则式(7-7)就成为(7-8)2)超前校正装置的设计（不做要求））超前校正利用校正装置的相位超前特性来增加系统的相位稳定裕量，利用校正装置幅频特性曲线的正斜率段来增加系统的穿越频率，从而改善系统的平稳性和快速性。为此，要求校正装置的最大超前相角φm出现在系统新的穿越频率ω′c处。超前校正装置设计的一般步骤如下：（1）根据系统稳态精度指标的要求，确定系统开环增益K。（2）根据确定的开环增益K，绘制原系统的伯德图L0(ω)和φ0(ω)，并确定其相位裕量γ。（3）根据性能指标要求的相位裕量γ′和实际系统的相位裕量γ，确定校正装置的最大超前相角φm，即

φm=γ′-γ+Δ(7-9)其中，Δ是用于补偿因超前校正装置的引入，使系统的穿越频率增大而带来的相位滞后量。一般情况下，如果原系统的开环对数幅频特性在穿越频率ωc处的斜率为-40dB/dec，则Δ取值为5°～12°；如果在ωc处的斜率为-60dB/dec，则Δ取值为15°～20°。（4）根据所确定的φm，按式(7-6)计算出α值。（5）在原系统对数幅频特性曲线L0(ω)上找到幅频值为-10lgα的点，选定对应的频率为超前校正装置的ωm，也就是校正后系统的穿越频率ω′c。这样做的道理是：由图7-3知，超前校正装置在ωm处的对数幅频值为(7-10)在L０(ω)上找到幅频值为-10lgα的点后，则在该点处，Lc(ω)与L0(ω)的代数和为0dB，即该点频率既是选定的ωm，也是校正后系统的穿越频率ω′c。（6）根据选定的ωm确定校正装置的转折频率，并画出校正装置的伯德图。

由式(7-3)可得校正装置的两个转折频率为(7-11)

（7）画出校正后系统的伯德图，并校验系统的相位裕量γ′是否满足要求。如果不满足要求，则增大Δ值，从步骤（3）开始重新计算。图7-6例1系统结构图【例1】设某系统结构如图7-6所示，要求系统的速度误差系数Kv≥20，相位稳定裕量γ′≥50°,为满足系统性能指标的要求，试设计超前校正装置的参数。解（1）根据系统稳态精度指标的要求，确定开环增益K。

K=Kv=20原系统的开环传递函数为图7-7例1系统的伯德图（2）画出原系统的伯德图，如图7-7中的L0(ω)及φ0(ω)所示。其中20lgK=20lg20=26dB。从图中可以看出，该系统的穿越频率ωc=6.2rad/s，相位稳定裕量γ=17°，不满足要求。（3）根据性能指标要求确定φm。

φm=γ′-γ+Δ=50°-17°+5°=38°（4）由式（7-6）求得

（5）超前校正装置在ωm处的对数幅频值为

Lc(ωm)=10lgα=10lg4.2=6.2dB

在原系统对数幅频特性曲线上找到-6.2dB处，选定对应的频率ω=9rad/s为ωm，即ω′c。（6）计算超前校正装置的转折频率，并作出其伯德图。由式(7-11)可求得转折频率因而可算出另一转折频率所以校正装置的传递函数为画出超前校正装置的伯德图，如图7-7中的Lc(ω)及φc(ω)所示。（7）校正后系统的开环传递函数为校正后系统的伯德图如图7-7中的L(ω)及φ(ω)所示。由图可见，校正后系统的相位裕量γ′=50°，满足了设计要求。若采用图7-2所示的无源超前校正装置来实现上述设计，则可根据综上所述，超前校正有如下特点：

(1)超前校正主要针对系统频率特性的中频段进行校正，使校正后对数幅频特性曲线的中频段斜率为-20dB/dec，并有足够的相位裕量。(2)超前校正会使系统的穿越频率增加，这表明校正后系统的频带变宽，动态响应速度变快，但系统抗高频干扰的能力也变差。

(3)超前校正很难使原系统的低频特性得到改善，若想用提高增益的办法使低频段上移，则由于整个对数幅频特性曲线的上移，将使系统的平稳性变差，抗高频噪声的能力也将被削弱。(4)当原系统的对数相频特性曲线在穿越频率附近急剧下降时，由穿越频率的增加而带来的系统的相位滞后量，将超过由校正装置所能提供的相位超前量。此时，若用单级的超前校正装置来校正，将收效不大。(5)超前校正主要用于系统的稳态性能已满足要求，而动态性能有待改善的场合。

2.串联滞后校正(SeriesPhase-LagCompensation)

1)滞后校正装置(Phase-LagCompensator)(1)无源滞后校正装置。由RC电路构成的无源滞后校正装置如图7-8所示，其传递函数为(7-12)(7-13)其中：根据传递函数可画出滞后校正装置的伯德图，如图7-9所示。图7-8无源滞后校正装置图7-9无源滞后校正装置的伯德图由图7-9可见，校正装置输出量的相位总是滞后于输入量的相位，故称其为滞后校正装置。此外，图7-9中的对数幅频特性渐近线还显示了这种校正装置具有低通滤波器的性能，高频时，其幅值的衰减量为β。从形式上看，式(7-12)与式(7-1)是一样的，因此与超前校正装置类似，有(7-14)即滞后校正装置的最大滞后相角φm位于转折频率ω1=1/T和ω2=1/(βT)的几何中点ωm处，其大小为

(7-15)(2)有源滞后校正装置。有源滞后校正装置可由图7-10所示的电路实现。

由图7-10可见，有图7-10有源滞后校正装置故有(7-16)式中：令βT=τ，即有并使Kc=1，则式(5-16)就成为(7-17)

2)滞后校正装置的设计（不做要求）滞后校正不是利用校正装置的相位滞后特性，而是利用其幅频特性曲线的负斜率段，即幅值的高频衰减特性对系统进行校正的。它使得原系统幅频特性曲线的中频段和高频段降低，穿越频率减小，从而使系统获得足够大的相位裕量，但快速性变差。滞后校正装置设计的一般步骤如下：（1）根据稳态精度指标要求，确定开环增益K。（2）根据确定的K值，绘制原系统的伯德图，并确定原系统的相位裕量γ。（3）若原系统的相位裕量不满足要求，则从原系统的相频特性曲线上找到一点，该点处相角为φ=-180°+γ′+Δ(7-18)（4）量得原系统在ω′c处的对数幅频值L0(ω′c)，并设L0(ω′c)=-20lgβ，由此可解得β值。（5）计算滞后校正装置的转折频率，并作出其伯德图。为了避免φm出现在ω′c附近而影响系统的相位裕量，应使校正装置的转折频率远小于ω′c。一般取转折频率(7-19)(7-20)则另一个转折频率（6）画出校正后系统的伯德图，并校核相位裕量。图7-11例2系统结构图【例2】设某系统结构如图7-11所示。要求系统的速度误差系数Kv≥5，相位裕量γ′≥40°,试设计滞后校正装置。图7-12例2系统的伯德图

综上所述，滞后校正有如下特点：

(1)滞后校正是利用校正装置在高频段造成的幅值衰减，使系统幅频特性曲线的中频段和高频段下移，使系统的相位裕量增加，但同时也会使系统的穿越频率减小。(2)滞后校正没有改变原系统低频段的特性，往往还允许增加开环增益，从而可改善系统的稳态精度。(3)由于滞后校正使得系统的高频幅值降低，因而其抗高频干扰的能力得到加强。(4)滞后校正主要用于需提高系统稳定性或者稳态精度有待改善的场合。3.串联滞后-超前校正(SeriesPhase-Lag-LeadCompensation)通过前面的分析知道，只采用超前校正或滞后校正难以同时满足系统的动态和稳态性能要求。而采用滞后-超前校正则能同时改善系统的动态性能和稳态性能，满足较高的性能要求。图7-13无源滞后-超前校正装置1)滞后-超前校正装置(Phase-Lag-LeadCompensator)(1)无源滞后-超前校正装置。由RC电路构成的无源滞后-超前校正装置如图7-13所示。其传递函数为(7-21)式中：T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2。将式(7-21)的分母分解为两个因式的乘积，即(7-22)比较式（7-22）与式（7-21）的分母，有设则有(7-23)传递函数式(7-22)亦可写成图7-14滞后-超前校正装置的伯德图(2)有源滞后-超前校正装置。有源滞后-超前校正装置可由如图7-15所示的电路实现。由图7-15可见，有(7-25)式中：Kc=(R2+R3)/R1，T0=R2C1，T1=R2R3/(R2+R3)C1，T2=(R3+R4)C2,T3=R4C2,并取R1=R0。图7-15有源滞后-超前校正装置适当选择参数，使T1>T2，则有

T0>T1>T2>T3(7-26)

设(7-27)并使Kc=1，则式（5-25）可写成(7-28)2)滞后-超前校正装置的设计如果原系统不稳定，而对校正后系统的动态和稳态性能均有较高的要求，则宜采用滞后-超前校正。它实质上是综合了滞后和超前校正各自的特点，即利用校正装置的超前部分来增大系统的相位裕量，以改善其动态性能；利用校正装置的滞后部分来改善系统的稳态性能。两者分工明确，相辅相成，达到了同时改善系统动态和稳态性能的目的。【例3】设单位反馈系统的开环传递函数为要求校正后的系统满足下列性能指标：相位裕量γ′=50°；幅值裕量20lgKg≥10dB；静态速度误差系数Kv≥10。试设计滞后-超前校正装置。

图7-16例3系统的伯德图

4.调节器(Adjustor)

在工业自动化控制系统中，常采用由比例、积分、微分单元构成的组合型校正装置作为系统的调节器。这些调节器是串接在系统前向通道中的，因而起着串联校正的作用。以上对串联校正装置的介绍主要是根据其相频特性的超前或滞后来划分的，而以下对调节器的划分则主要是从其数学模型的构成来考虑的，通过下面的分析可以看到，二者之间是有内在联系的。

具有调节器的控制系统的结构如图7-17所示。图中，Gc(s)为调节器的传递函数，G0(s)为系统（装置）固有部分的传递函数。1)P（比例）调节器(ProportionalAdjustor)

若调节器由比例放大器构成，即其传递函数为Gc(s)=Kc(7-29)

则称该调节器为比例调节器，简称P调节器。图7-17具有调节器的控制系统的结构2)PD(比例-微分)调节器(Proportional-DerivativeAdjustor)比例-微分调节器简称PD调节器。可由如图7-18所示的运算放大器电路构成PD调节器，其传递函数为(7-30)式中:Kc=R2/R1,τ=R1C。对应的伯德图如图7-19所示。

图7-18PD调节器图7-19PD调节器的伯德图3)PI(比例-积分)调节器(Proportional-IntegralAdjustor)比例-积分调节器简称PI调节器，它在实际工程中得到了广泛的应用。

PI调节器可由如图7-20所示的运算放大器电路构成，它的传递函数为(7-31)式中:Kc=R2/R1，τ1=R2C。对应的伯德图如图7-21所示。图7-20PI调节器图7-21PI调节器的伯德图图5-22例4系统结构图【例4】某单位负反馈控制系统如图7-22所示。已知K0=3.2，T1=0.33s，T2=0.036s。要求：校正后系统在阶跃信号输入下无静差，同时γ′≥60°，ω′c≥9rad/s。解由系统固有部分的传递函数G0(s)可见，校正之前系统为0型系统，因而在阶跃信号输入下是有静差的，不符合题目要求。由图7-22所示，引入PI调节器进行校正，为分析方便，取PI调节器参数τ1=T1=0.33s，Kc=1.3。绘出系统伯德图,如图7-23所示。图7-23例4系统伯德图图7-23中，L0(ω)及φ0(ω)为系统固有部分的伯德图，其穿越频率为ωc=9.5rad/s，相应的相位裕量为γ=180°-arctan(T1ωc)-arctan(T2ωc)=88°

Lc(ω)及φc(ω)为PI调节器的伯德图，Lc(ω)的转折频率为ω1=1/τ1≈3，其水平线的高度为20lgKc=20lg1.3=2.3dB。L(ω)及φ(ω)为校正后系统的伯德图，其穿越频率为ω′c=13rad/s，相位裕量为γ′=180°-90°-arctan(T2ω′c)=65°图7-24例5系统结构图【例5】某调速系统结构图如图5-24所示。已知K0=55.58，T1=0.049s，T2=0.026s，Ts=0.00167s。要求采用PI调节器进行校正，使系统实现阶跃信号输入下无静差，并具有足够的稳定裕量。图7-25例5系统伯德图图7-26PID调节器图7-27PID调节器的伯德图图7-28反馈校正在系统中的位置在自动控制系统中，为了改善控制系统的性能，除了采用串联校正外，反馈校正(FeedbackCompensation)也是常采用的校正形式之一。反馈校正在系统中的位置如图7-28所示。7.2反馈校正在反馈校正方式中，校正装置Gc(s)反馈包围了系统的部分环节（或部件），它同样可以改变系统的结构、参数和性能，使系统的性能达到所要求的性能指标。通常，反馈校正又可分为硬反馈和软反馈。硬反馈校正装置的主体是比例环节（可能还含有小惯性环节），它在系统的动态和稳态过程中都起反馈校正作用。软反馈校正装置的主体是微分环节（可能还含有小惯性环节），它的特点是只在动态过程中起校正作用，而在稳态时，相当于开路，不起作用。反馈校正对典型环节性能的影响：结论：环节(或部件)经反馈校正后，不仅参数发生了变化，甚至环节(或部件)的结构和性质也可能发生改变

此外，反馈校正还有一个重要的特点：反馈校正回路中，若反馈校正回路的增益|G2(s)Gc(s)|>>1，则(7-33)此时，该局部反馈回路的特性完全取决于反馈校正装置

。因此，当系统中某些元件的特性或参数不稳定时，常常用反馈校正装置将它们包围，以削弱这些元件对系统性能的影响。图7-33具有位置负反馈和转速负反馈的随动系统方框图【例3】图7-33为具有位置负反馈和转速负反馈的随动系统的方框图。图中:检测电位器常数K1=0.1Ｖ／°；功放及电动机转速总增益K2=400r·min

-1/V；电动机机电时间常数Tm=0.2s；电动机及齿轮箱的转速-位移常数K3=0.5°/［(r·min

-1)s］；转速反馈系数α=0.005V/(r·min

-1)。试分析增设转速负反馈（反馈校正）对系统性能的影响。图7-34转速负反馈对随动系统动态性能的影响7.3顺馈补偿在前面的分析中，已经介绍了系统工作时存在着两种误差：取决于输入量的跟随误差er(t)和取决于扰动量的扰动误差en(t)。为了分析的方便，以如图7-35所示的典型单位反馈控制系统为例，得出两种误差的拉氏式分别为:跟随误差（拉氏式）(7-34)(7-35)扰动误差（拉氏式）式中，G1(s)为扰动量作用点前的前向通路中的传递函数；G2(s)为扰动量作用点后的前向通路中的传递函数。图7-35典型单位反馈系统方框图

1.扰动顺馈补偿当作用于系统的扰动量可以直接或间接地获得时，可采用如图7-36所示的复合控制。图7-36具有扰动顺馈补偿的复合控制在如图7-36所示的系统中，将获得的扰动量信号N(s)经过扰动量检测器(其传递函数为Gn(s))变换后送到系统控制器的输入端。在如图7-36所示的系统中，若无扰动顺馈补偿，则由扰动量产生的系统误差为当增设扰动顺馈补偿后，系统误差变为(7-36)扰动误差全补偿的条件是(7-37)

2.输入顺馈补偿当系统的输入量可以直接或间接地获得时，可采用如图7-37所示的复合控制。图7-37具有输入顺馈补偿的复合控制在如图7-37所示的系统中，将获得的输入量信号R(s)，经过输入量检测器(其传递函数为Gr(s))变换后送往系统控制器的输入端。若无输入顺馈补偿，由输入量产生的跟随误差由式（7-34）可知当增设输入顺馈补偿后，系统误差变为(7-38)对应跟随误差全补偿的条件是(7-39)习题

7-1什么叫系统校正？系统校正有哪些类型？7-2比例串联校正调整的是什么参数?它对系统的性能产生什么影响？7-3比例-微分串联校正调整系统的什么参数?它对系统的性能产生什么影响？7-4比例-积分串联校正调整系统的什么参数?它使系统在结构方面发生怎样的变化？它对系统的性能产生什么影响？7-5比例-积分-微分串联校正调整系统的什么参数?它使系统在结构方面发生怎样的变化？它对系统的性能产生什么影响？7-6为什么PID校正称为相位滞后-超前校正，而不称为相位超前-滞后校正？相位既滞后又超前，能否相互抵消？能不能将这种校正更改为相位超前-滞后校正？若作这样的变化，对系统又会产生怎样的影响？7-7在自动控制系统中，若串联校正装置的传递函数为

问这属于哪一类校正？试定性分析它对系统性能的影响？7-8采用扰动顺馈（或给定顺馈）补偿能否减少系统启动时的最大超调量？为什么？7-9试比较相位超前校正、相位滞后校正和相位滞后-超