第八章一元气体动力学基础-终1

第八章一元气体动力学基础§8.1声速和马赫数§8.2一元气流的流动特性§8.3等熵和绝热气流的基本方程式与基本概念§8.4收缩喷管和拉瓦尔喷管的计算流速密度气体的一元流动虽然简单但很实用。除航空科学外，许多技术领域中气体问题大都可简化为一元流动问题，如发动机的空气供给、风动工具、燃气轮和涡轮增压器等。前言3．气体状态参数：气体的绝对温度本章主要介绍气体动力学的基础知识和基本理论。1．气体动力学：就是研究可压缩气体运动规律及其在工程中应用的一门科学。2．气体的一元流动：是气体动力学中最基本的内容，只研究气体流动参数在过流断面上的平均值的变化规律，而不研究气体流场的空间变化情况。压强1.声速的定义：微弱扰动在介质中的传播速度。§8.1声速和马赫数一、声速的定义及声速方程式将声速作为微弱扰动波传播速度的统称。声波即是一种微弱扰动波。2.声速方程式等直圆管中充满着静止的可压缩流体，温度为T压强为密度ρ活塞突然以微小速度向右运动

微弱的扰动以速度c向右传播波后气体处于受扰动状态：（1）受到扰动的气体在dt时间前和dt时间后的质量守恒方程式dt时间前气体的质量为：dt时间后气体的质量为:根据质量守恒定律：消去dtA，展开，并略去高阶微量得：

（2）分析受到扰动这部分气体的动量方程：dt时间前气体的动量为0，dt时间后气体的动量为：气体所受的合外力为：因此，动量方程为：消去dtA：

越大，越易压缩，

越小——声速定义式液体：解得：得：代表密度随压强的变化率，可压缩性越大，其倒数则越小因而：音速是反映流体压缩性大小的物理参数3．声速方程式的另外两种形式因为微弱的扰动波的传播速度很快，所引起的气体的压强、温度和密度的变化也很微小，因此可以假设此过程不仅绝热而且可逆（等熵过程）对于绝热并且可逆的等熵过程，有：绝热或等熵指数:气体的比体积又根据完全气体状态方程：对于空气来说，绝热指数：气体常数：因此空气中的音速为：Rg－气体常数（空气：287J/kg·K）讨论：（1）音速与本身性质有关（2）越大，越易压缩，c越小音速是反映流体压缩性大小的物理参数（3）当地音速（4）空气M<1亚音速流动M=1音速流动M>1超音速流动二、马赫数Ma1．定义：即流体速度u与介质中音速C之比。在流速一定的情况下，当地声速越大，Ma越小，气体压缩性就越小。则，其马赫数Ma为：例：在风洞中，空气流速u＝150m/s，其温度为25℃，试求其马赫数Ma？解;当空气为25℃，其声速为：2．气流流动状态在无界可压缩流场中，某处设一间隙性声源，每隔1秒法一次声。设：声速为c来流速度为V，观察者与声源距离为r马赫数越大，马赫角越小。一般M＞3称为高超音速流动，此时扰动区域只有2d＜40°的范围，马赫锥外320°空间中皆不受扰动。3．超声速流场中马赫角

M<1亚音速流动M=1音速流动M>1超音速流动声速V=cMa=1声源上游不同亚声速0<V<c0<Ma<1无不同静止V=0Ma=0无相同流场名称流速马赫数是否有寂静区听到声音的频率超声速V>cMa>1马赫锥外不同§8.2可压缩气体一元流动的基本方程式及流动特性对于液体或气体的一元流动都是普遍适用的。气体在管道中作定常等熵流动时，取有效截面上流动参数的平均值代替截面上各点的参数值，这洋的管道流动即可认为是一维定常等墒流动。下面通过讨论一元气流的基本方程式研究流动特性。

一、可压缩气体总流的连续性方程式对上式取对数，得：再微分：可压缩气体密度变化状态方程R——气体常数（空气：287J/kg·K）二、可压缩气体的能量方程式理想流体做定常流动，沿流线的积分方程为：忽略质量力，力的势函数并且等熵气流不计摩擦则：微分得：——理想气体一元恒定流的能量方程——欧拉运动微分方程——理想气体一元恒定流的能量方程一些常见的热力过程（1）等容过程积分：——机械能守恒（2）等温过程代入积分得可压缩理想气体在等温过程中的能量方程（3）绝热过程理想气体的绝热过程→等熵过程——绝热指数代入积分得或证明：可压缩理想气体在绝热过程中的能量方程或——焓内能u（4）多变过程——多变指数可压缩理想气体的能量方程n→±∞等容过程n=0等压过程n=1等温过程n=k绝热过程例1：文丘里流量计，进口直径d1=100mm，温度t1=20℃，压强p1=420kPa，喉管直径d2=50mm，压强p2=350kPa，已知当地大气压pa=101.3kPa，求通过空气的质量流量解：喷管——等熵过程空气k=1.4R=287J/kg·KT——热力学温标（K）p——绝对压强解题思路：状态（过程）方程、连续性方程、能量方程绝热过程方程状态方程连续性方程能量方程解得例2：理想气体在两个状态下的参数分别为T1、p1和T2、p2（1）密度的相对变化率密度相对变化率（2）内能变化（3）焓的变化（4）熵的变化为了分析通道截面积的变化对一维定常等熵流动流速变化的影响，可以由连续性方程的微分形式与忽略重力作用的理想流体一维定常流动欧拉微分方程联立、推导出如下的微分方程式：1．流速度与密度的关系三、一元气流所独特具有的两个重要基本特性由两式可以看出：（1）不论Ma＜1或Ma＞1，只要du＞0，则dp＜0，反之，du＜0时，则dp＞0，即：加速气流，必然引起压强降低，密度下降，气体体积膨胀；减速气流，必然引起压强升高，密度上升，气体体积压缩；（2）Ma＜1时．密度的相对变化量小于速度的相对变化量，即：（3）Ma＞1时．密度的相对变化量大于速度的相对变化量，即：由连续性方程:2．气流速度与流道截面积的关系

由此可以看到：又：∴（1）当Ma＜1，即气流速度v＜c。，气流作亚音速流动时，dA与dv异号。若要：气流加速(dv＞0)，则dA＜0，即通道截面积须沿流动方向变小。若要：气流减速(dv＜0)，则dA＞0，即通道截面积须沿流动方向增大，这意味着：通道截面积在此时有极值。最小断面才可能达到音速（2）当Ma>1，即气流速度v＞c，气流作超音速流动时，dA与dv同号。若要：气流加速(dv＞0)，须有dA＞0，即通道截面积须沿流动方向增大。若要：气流减速(dv＜0)，则有dA＜0，即通道截面必须沿流动方向减小。（3）当Ma＝l，即气流速度v＝c，气流作音速流动，这时有：实验证明，该极值是极小值。通道中截面积最小的部分称为喉部。因此可以说，Ma＝1的临界状态只能出现在通道的截面最小处，即喉部。收缩管扩张管2.讨论dv与dp、dρ、dT异号流动参数Ma<1Ma>1渐缩管渐扩管渐缩管渐扩管流速v压强p密度ρ温度T增大减小减小减小减小增大增大增大减小增大增大增大增大减小减小减小一元等熵气流各参数沿程的变化趋势Ma>1dV<0dV>0Ma<1dV>0dV<0忽3．拉瓦尔喷管（1）拉瓦尔喷管的结构收缩段加速→喉部声速→扩张段超声速（2）拉瓦尔喷管的目的将气流由亚声速加速到超声速其收缩段如果按照下列维托辛斯基公式绘制，可以避免流场的不均匀性。拉伐尔喷管压强下降扩压管压强上升引射器（喷管+扩压管）例：滞止参数为p0=10.35×105Pa，T0=350K的空气进入收缩喷管，出口截面的直径d=12mm，当出口的外部环境压力Pa（背压）分别为7×105Pa和5×105Pa，计算喷管的质量流量解：空气k=1.4，R=287J/kg·K，Cp=7R/2=1004.5J/kg·K（1）临界参数p*（2）当pa=7×105Pa>P*喷管出口压强（3）当pa=5×105Pa<P*出口参数均按临界参数p*、T*、ρ*§8-3等熵和绝热气流的基本方程式和基本概念一、基本方程式当气体在绝热短管中作高速流动时，边界层的影响可以忽略不计，流动简化为等熵流能量方程。为推广的伯努利方程。又：

1．等熵气流的基本方程式1积分得：又：2.滞止参数（驻点参数）

2．等熵气流的基本方程式1（1）完全气体状态方程：Rg为气体常数，空气Rg=287J/kg·K（2）比热容：单位质量流体温度升高一度所需要的热量。当容积保持不变时称为比定容热容:当压强保持不变时称为比定压热容:比热比:空气γ=1.4（3）等熵和绝热气流的基本方程式方程式的物理意义通过最后一式可以看得很清楚。因为：单位质量气体所具有的动能：单位质量气体所具有的压能：单位质量气体所具有的内能焓h＝压能＋内能总能量守恒二、一元气流的基本状态及状态参数（1）滞止状态及滞止参数（驻点参数）速度为零时的状态为滞止状态。速度为零处的状态参数称为滞止参数。用下标0表示，如滞止状态参数：此时，内能和压力能的总和（焓）升到最大同理：

气体的温度升到最大值，因此T0称为总温气体的滞止温度满足：气体在大容器中流速为零的状态，可以认为是滞止状态1.一元气流的基本状态。（2）临界状态及临界参数当流速恰好等于当地声速的截面，称为临界断面拉瓦尔管M＝1的喉部为临界断面临界断面上的一切参数均称为临界参数，并用下标*表示在临界状态下：（3）极限速度状态此时气流的状态称为极限速度状态。都为0气体的全部能量都转变为动能的状态。此时，而最大速度仅是理论上速度的极限值．因为绝对压强为零的绝对真空与热力学温度为零度的状态实际上是达不到的，而且早在绝对温度降至零度之前，气体早已液化了。性质：（1）在等熵流动中，滞止参数值不变；（2）在等熵流动中，速度增大，参数值降低；（3）气流中最大音速是滞止音速；（4）在有摩擦的绝热过程中，机械能转化为内能，总能量不变——T0，c0，h0不变，

p0↓，ρ0↓，但p0/ρ0=RgT0不变。如有能量交换，吸收能量T0↑，放出能量T0↓2.基本状态参数之间的关系（1）流动参数与滞止参数的关系（2）极限速度与滞止参数的关系2.基本状态参数之间的关系（3）临界声速与与滞止参数的关系在临界断面上:因此：由此得：（4）临界参数与滞止参数的关系空气:

（5）流动参数与马赫数的关系因为：例：容器中的压缩气体经过一收缩喷嘴射出，出口绝对压力p=100kPa，t=-30℃，v=250m/s，求容器中压强和温度？解：喷口处已知:空气在一喷管内作定常等熵流动。设截面1的状态参数为：设截面2的状态参数为：求：截面1和2上的其他状态参数与流速？解：截面1的其他参数为：由M1＝0.4及M2＝0.9查等熵流动气动函数表可得：设:喷管前的滞止参数为:§8-4收缩喷