第三章几何非线性

第三章

几何非线性

大应变，大位移与大旋转特性September30,19983-1StructuralNonlinearities-Revision5.5(001156)什么是几何非线性？变形体几何形态的改变将明显影响物体的载荷－位移（如刚度）特性。几何非线性并不只是指大位移，而且还包括几何状态改变所引起的任何结构响应的变化。它包括大应变、大位移和大旋转。October17,20002几何非线性–5.7版本几何非线性特性如果一个单元的形状发生改变（面积、厚度等），它本身的单元矩阵会发生改变。如果一个单元的取向改变，它的单元刚度向整体刚度的转换矩阵将发生变化。XYXYOctober17,20003几何非线性–5.7版本几何非线性特性（续)如果单元应变产生了明显的面内应力(膜应力)，垂直于面的刚度会明显受影响。XYP随着垂直位移的增加(Y)，大的膜应力(SX)导致刚化响应。UYPOctober17,20004几何非线性–5.7版本几何非线性例子这是一个大应变分析的例子，一个轴对称的橡胶密封件受压缩。分析包括接触，当密封件折叠时会发生自身接触。October17,20005几何非线性–5.7版本几何非线性例子(续)此例显示了绕轴线捆扎一根钢条。将金属弯曲成不同的形状是生产中常见的操作。在此例中，应变达到25%，顶端旋转接近270度！初始形状 变形形状October17,20006几何非线性–5.7版本几何非线性问题的复杂性追随力非线性应力应变度量一致的非线性刚度矩阵材料非线性不可压缩性网格扭曲October17,20007几何非线性–5.7版本注意当结构经历大位移与旋转时，载荷发生了什么变化。在许多情况下，载荷将在变形过程中保持一致的方向。在另一些情况下，承受大旋转时，力将“追随”单元改变方向。这两种情况ANSYS都可模拟，取决于施加载荷的类型。追随力与载荷方向October17,20008几何非线性–5.7版本载荷方向加速度与集中力：保持它们的初始方向，忽略单元取向。表面压力载荷：随单元旋转，因此总是垂直于变形单元的表面（这些是真正的追随力）。更新压力表面以计算大应变效应。因此，对于施加的常压力，总压力载荷将随表面积的改变而改变。October17,20009几何非线性–5.7版本载荷方向(续)载荷位移前的方向位移后的方向加速度节点力单元压力October17,200010几何非线性–5.7版本什么是大应变？大应变分析设定应变不再是无限小的，而是有限的或相当大的。当应变超过一定百分比及不能忽视几何形状的改变时，可认为是大应变。大应变理论考虑了形状的改变（例如厚度，面积等等）及任何大旋转。October17,200011几何非线性–5.7版本定义应变的要求应变是我们描述物体变形的手段。尽管在一定程度上应变的数学定义可以任意，但它仍必须满足一些要求。October17,200012几何非线性–5.7版本定义应变的要求(续)无变形时应变为零，有变形时不为零。通过材料的应力应变关系联系应力和应变。如果材料旋转大，但发生的是刚体位移，则应变为零。October17,200013几何非线性–5.7版本应力与应变定义相对应对应于度量物体变形的应变，应力度量了物体单位面积上的力。尽管使用的应变可以是任意形式的，但使用的应力应与已定义的应变相关。October17,200014几何非线性–5.7版本应力应变的共轭性在非线性大应变分析中使用的应力必须与应变共轭。共轭性是指应力应变相乘时，得到的是一个标量（应变能），其值与选择的应力应变无关。October17,200015几何非线性–5.7版本一维问题中的应力应变定义

我们将通过一个简单的一维例题检查不同的应力应变定义。FOctober17,200016几何非线性–5.7版本工程应变工程应变是小（无穷小）应变度量，使用初始的几何构形计算。工程应变取决于初始长度，如，初始长度是事先已知的，所以工程应变是线性的。工程应变的应用局限于材料小旋转，中等大小的刚体旋转将导致非零应变。October17,200017几何非线性–5.7版本工程应变的共轭应力为工程应力，工程应力的计算是当前的力除以初始面积。工程应力October17,200018几何非线性–5.7版本一维问题中，对数应变由下面公式计算：对数应变是非线性应变，因为它是未知的最终长度的非线性函数。它同样可称为log应变。三维等效对数应变是Hencky应变。在大应变问题中，对数应变并不能自动适应任意大的旋转。对数应变October17,200019几何非线性–5.7版本真实应力或Cauchy应力与对数应变共轭的一维应力是真实应力,真实应力的计算是当前的力除以当前（或变形的）面积：真实应力通常也称为Cauchy应力。October17,200020几何非线性–5.7版本Green-Lagrange应变一维的Green-Lagrange应变由下面的公式计算：此应变是非线性的，因为它取决于未知的更新长度的平方。此种应变优于对数应变或Hencky应变之处在于，它可自动适应大应变问题中的任意大旋转。October17,200021几何非线性–5.7版本第二Piola-Kirchhoff应力Green-Lagrange应变的共轭应力是第二Piola-Kirchhoff应力。它的一维计算公式为：需要注意的是此种应力几乎无实际意义。为了输出，ANSYS总是将其转化为Cauchy应力或真应力输出。October17,200022几何非线性–5.7版本AA0P将非线性应变定义扩展至一般的三维情况在二维或三维问题中，当物体承受大应变变形时，不只长度发生改变，而且厚度、面积与体积都发生改变。October17,200023几何非线性–5.7版本运动与变形当物体承受一些外载时，它将移动和变形。如果我们观察物体上一个点的运动，它的初始位置是，最终位置是，它运动的量为XYOctober17,200024几何非线性–5.7版本变形梯度变形梯度是物体变形多少的一个度量，它的定义是：变形梯度包含的信息有：体积的改变旋转由于应变造成的形状改变October17,200025几何非线性–5.7版本变形梯度注意定义时，变形梯度消除了平动；这是应变定义的必要条件。在定义应变时，同样希望排除旋转部分（因为它对应变无贡献），并孤立出形状改变部分。可使用极分解理论完成这项工作。October17,200026几何非线性–5.7版本极分解变形梯度可使用极分解理论分解成一个旋转部分和一个应变部分：=旋转矩阵包含的信息为材料点作为刚体旋转的大小与方向=拉伸矩阵包含的信息为物体在材料点处的应变October17,200027几何非线性–5.7版本在已知拉伸矩阵的情况下，可导出一维对数应变与一维Green-Lagrange应变的三维一般形式。在定义应变时使用October17,200028几何非线性–5.7版本Hencky应变对数（Hencky）应变可由下式计算：这里是以矩阵形式表示的应变张量。在这种情况下，是一维对数应变或真实应变的三维等效量。October17,200029几何非线性–5.7版本Green-Lagrange应变在三维问题中，Green-Lagrange应变可直接由拉伸矩阵计算出，如下式所示：这种应变在计算时直接忽略了旋转矩阵。可以变形梯度的形式写出，如下式所示：前两项是线性小应变项，最后一项是应变的非线性项。October17,200030几何非线性–5.7版本ANSYS使用何种非线性应变？在ANSYS程序中，使用什么样的应变（如Hencky应变或Green-Lagrange应变）主要取决于材料定律：对于大应变塑性分析，ANSYS使用对数（Hencky）应变；应力应变数据以真应力－对数应变形式给出。对于大应变超弹性与粘－弹性分析，ANSYS使用Hencky应变或Green-Lagrange应变，这取决于使用的单元类型。October17,200031几何非线性–5.7版本将非线性应力的定义扩展至三维问题正如在一维问题中一样，对应于二维、三维问题中定义的非线性应变，都可定义与其共轭的应力。October17,200032几何非线性–5.7版本Cauchy或真应力张量（以矩阵形式写出）给出了在变形后构形每单位变形面积上的当前力。如果我们让在三维问题中，Cauchy应力张量通过下式联系与Cauchy应力是一个有实际意义的量。=变形体中定义单元面积的矢量=对应的作用于面积上的单元力Cauchy应力October17,200033几何非线性–5.7版本第二Piola-Kirchhoff应力让代表从位移中导出的力让第二Piola-Kirchhoff应力张量使用下式联系与是对称的应力张量，它经常用于有限应变弹性公式，它是Green-Lagrange应变的共轭应力张量。是一个无实际意义的应力张量（假想应力张量）。=在未变形物体中定义单元面积的矢量，这里October17,200034几何非线性–5.7版本与之间的关系

有实际意义的Cauchy应力可通过下式与无实际意义的第二Piola-Kirchhoff假想应力建立直接的联系：October17,200035几何非线性–5.7版本在非线性分析中ANSYS使用何种应力？为了确保应力与应变共轭，在ANSYS非线性分析中使用的应力度量（如Cauchy或第二Piola-Kirchhoff应力

）取决于应变度量。当使用Hencky（对数）应变时使用Cauchy应力。当使用Green-Lagrange应变时使用第二Piola-Kirchhoff应力。October17,200036几何非线性–5.7版本输入时ANSYS需要何种应力应变？对于大应变塑性分析（NLGEOM,ON），ANSYS需要真实应力应变曲线，而对于小应变分析（NLGEOM,OFF），ANSYS需要工程应力应变数据。但是，对于小应变响应，工程应变与对数（真）应变几乎一样。真实应力与对数应变数据可用于一般塑性分析。对于超弹性分析ANSYS需要工程应力应变数据来计算Mooney-Rivlin常数。October17,200037几何非线性–5.7版本应力应变间的转化对于单轴应力应变数据，工程应力应变可通过下式转化为真实应力与对数应变注意上面的应力转化假设承受大应变的材料是不可压缩的或近似不可压缩的。这种假设对于大塑性应变或超弹性材料适用。October17,200038几何非线性–5.7版本ANSYS输出采用何种应力形式？不管数值计算中使用的哪种应力（Cauchy应力或第二Piola-Kirchhoff应力），ANSYS总以实际上可解释的Cauchy应力形式输出所有的应力结果。October17,200039几何非线性–5.7版本哪些单元支持大应变？BEAM188BEAM189HYPER56 HYPER58HYPER74 HYPER84 HYPER86 PLANE2 PLANE13 PLANE42 PLANE82PLANE182 SHELL43SHELL91SHELL93 SHELL181 SOLID45 SOLID92 SOLID95 SOLID185 VISCO106 VISCO107 VISCO108October17,200040几何非线性–5.7版本非线性全一致切向刚度矩阵众所周知在大多数非线性结构问题中，使用一致的非线性切向刚度矩阵可迅速增加Newton-Raphson法的收敛速度。通常在迭代求解过程中使用一致的或全切向刚度矩阵将得到平方的收敛速度。October17,200041几何非线性–5.7版本一致的非线性刚度矩阵是对离散的有限元方程求偏导得出的，它是单元内部力矢量与单元外部力矢量的函数。什么是一致的非线性刚度矩阵？October17,200042几何非线性–5.7版本离散的非线性静态有限元方程离散的非线性静态有限元方程单元级的公式如下所示：这里

=总体单元数量=单元坐标系中单元内部力矢量=将转换到整体坐标系的转化矩阵=总体坐标系中施加在单元上的载荷矢量October17,200043几何非线性–5.7版本单元内部力矢量单元内部力矢量可由下式给出：=单元应变－节点位移矩阵=单元应力矢量=单元体积这里使用上面定义的内部力形式，离散的非线性有限元（力平衡）方程可重写成下式：October17,200044几何非线性–5.7版本推导增量形式的非线性刚度矩阵对离散的有限元方程求偏导可得到一致的非线性刚度矩阵如下所示这里October17,200045几何非线性–5.7版本一致的非线性刚度矩阵=主切向矩阵=考虑了应力刚化作用的初始应力矩阵=在刚度关系中考虑了几何改变效应的初始位移－旋转矩阵

=在刚度关系中考虑了载荷取向改变（跟随力）效应的初始载荷矩阵October17,200046几何非线性–5.7版本下列梁单元与壳单元具有包含初始载荷矩阵（压力载荷刚度）的全一致的切向刚度矩阵：梁单元:有限应变梁；Beam188,Beam189壳单元:有限应变壳；Shell181一致的非线性刚度矩阵October17,200047几何非线性–5.7版本压力载荷刚度对于其他三维实体单元或壳单元，要包含压力载荷刚度计算需使用SURF154*。*对于二维分析，可在模型边部使用Beam188单元或Beam189单元计算压力载荷刚度。Surfaceeffectelement;SURF154

对于压力载荷刚度可使用一个不对称刚度选项。只有在收敛速度慢时才使用。October17,200048几何非线性–5.7版本材料非线性在分析大应变范围的结构行为时，需要处理非线性材料特性，如非线性弹性（超弹性）与塑性。塑性与超弹性都将在其各自的章节中讨论。October17,200049几何非线性–5.7版本不可压缩性如前所述，在分析大应变范围的结构行为时需要处理非线性材料特性，如非线性弹性（超弹性）与塑性。类橡胶的超弹性材料与象塑性实体一样流动的材料经常显示出一种称之为不可压缩性的实际现象（既产生应变但不发生体积改变）。October17,200050几何非线性–5.7版本非线性材料特性中不可压缩性的原因在橡胶与类橡胶材料中，泊松比接近0.5的自然材料呈现不可压缩性。在发生塑性变形的实体中，流动定律通常不允许体积的改变。因此，如果塑性应变很大，在大应变范围内材料响应近似不可压缩。October17,200051几何非线性–5.7版本不可压缩与网格自锁不论产生不可压缩条件的原因是什么，此效应意味着在大应变分析中使用的标准的全积分有限元可能会遇到与网格自锁相关的数值困难。October17,200052几何非线性–5.7版本消除网格自锁为了处理大应变分析中与不可压缩效应相关的网格自锁问题，可选用不同的单元公式：不协调模式选择的消减积分一致的消减积分混和的U-P公式我们将在单元选择一章中讨论网格自锁与不同的单元技巧。October17,200053几何非线性–5.7版本网格扭曲大应变－大旋转分析的每一步都会使用计算出的位移更新节点坐标。“新”的网格将作为下一步的起始点。如果网格严重扭曲，这一步的求解精度将成为问题。这类似于使用扭曲的网格完成一次线性分析。扭曲的网格将迅速降低分析精度。有时单元会发生“凹陷”。October17,200054几何非线性–5.7版本减小网格扭曲效应考虑后继的网格扭曲，适当划分网格。避免过度约束边界上的变形。避免使用带中间节点的单元，因为此种单元更易受网格扭曲的影响。October17,200055几何非线性–5.7版本在大应变分析中预测网格扭曲在拉伸试件的颈缩区，预测到其后可能发生的网格扭曲后划分的初始网格。October17,200056几何非线性–5.7版本

在大应变分析中预测网格扭曲未变形网格变形网格产生大的内角。角部单元包含更好的三角形形状。October17,200057几何非线性–5.7版本避免过分约束边界处的变形FF约束边界处的所有自有度，由于Poisson

效应将产出非常大的应变。October17,200058几何非线性–5.7版本避免使用带中间节点的单元在建立大应变、大位移模型时避免使用带中间节点的单元。带中间节点的（既高阶）单元在更新几何形状时，单元的中间节点可能穿过单元移动，导致产生负的旋转。October17,200059几何非线性–5.7版本大弯曲作为大应变公式的一个子集，ANSYS支持一些没有大应变特性的单元的大挠度，大旋转，小应变特性。October17,200060几何非线性–5.7版本大挠度理论在ANSYS中，大挠度理论（相对于大应变理论）假设变形与旋转大，但机械应变（产生应力）小。每个单元除刚体运动外不改变形状。大挠度理论是大应变理论的子集，它适用于ANSYS的许多旧的梁单元、壳单元和其他非线性单元。October17,200061几何非线性–5.7版本大挠度过程大挠度理论的过程基于协转方法；既一个开始时平行于单元坐标系的坐标系“贴”在单元上。此坐标系随单元一起旋转。用这种方法，精确计算了材料（或单元）的旋转。在旋转的坐标系中计算应变使用普通的小应变（工程应变）假设。October17,200062几何非线性–5.7版本大挠度位移，应力与应变的方向计算出的位移按初始方向输出，因为在大挠度分析中没有更新节点坐标系取向。大挠度（小应变）分析中的应力应变是旋转坐标系中的工程值；既单元坐标系随单元旋转。October17,200063几何非线性–5.7版本何时激活大弯曲效应？当单元旋转“大”到明显影响求解精度时，需激活大挠度效应。遗憾的是，没有明确的规定“大”到底有多大。“小”与“大”之间根据问题的不同相差非常大。October17,200064几何非线性–5.7版本求解选项对支持大应变和/或大变形的单元激活此功能

Solution>AnalysisOption...NLGEOM,ON激活了支持大应变功能单元的此选项。如果使用的单元只支持大挠度，NLGEOM将激活大挠度求解。参照ANSYS

单元手册。October17,200065几何非线性–5.7版本求解选项(续)激活求解控制时，打开非线性几何（NLGEOM

）将在非线性刚度矩阵中缺省包含应力刚化项（在非线性刚度矩阵[Knl]中包含[K]

）。作为一个选项，你可对于一些旧单元选择在形成非线性刚度矩阵时不包含[K]。Solution>AnalysisOptions...

很少关闭包含导致全一致[Knl]的应力刚化项。此命令对单元106,107,108,181,182,185,188,and189无作用!October17,200066几何非线性–5.7版本求解选项推荐使用求解控制（缺省）。推荐的Newton-Raphson选项是不带自适应下降的全Newton-Raphson选项（求解控制的缺省设置）。推荐使用自动时间步（求解控制的缺省设置）。确定对自动时间步设置足够小的最小时间步。线性搜索选项（LNSRCH）对收敛振荡问题有所帮助。October17,200067几何非线性–5.7版本注意事项在大应变分析中预测网格扭曲，划分适当的网格。参考预测网格扭曲的指南。使用适当的单元类型和积分准则以解决网格自锁问题。（在单元选择一章中有相关的更详细信息。）如果使用的单元不直接支持压力载荷刚度，可使用表面单元（SURF154）。如果收敛速度慢，激活不对称选项KEYOPT(5)=1。October17,200068几何非线性–5.7版本注意事项时间步大小应控制在每个子步中的最大旋转度数小于5或10度。对大旋转分析不要使用预测。梁单元和壳单元使用足够的网格密度；没有一个单元可承受超过30度的弯曲度。如果自动时间步重复进行二分，这可能是由于结构不稳定。绘制载荷位移响应曲线。October17,200069几何非线性–5.7版本练习做： 为熟悉大应变求解，分析一个轴对称的礅粗问题。此问题具有几何非线性（大变形和大应变），材料非线性（塑性）和状态非线性（接触）特性。在变形的工件中累积等效塑性应变。9.0mmTargetReaction=800October17,200070几何非线性–5.7版本练习步骤:1. 恢复数据库upset.db。在此数据库中包含分析使用的有限元网格和固定的边界条件。2. 进入求解器并在pilot