第五章频域分析法

第五章频域分析法(本章五次课)第一节频率特性第二节典型环节的频率特性第三节控制系统的开环频率特性第四节频率特性（Nyquist）的稳定判据第五节控制系统动态性能指标的计算

第六节开环频率特性曲线与闭环时域指标的关系单元总结用图形的方法进行系统性能分析（直观）；用开环频率特性研究闭环系统性能（建模简单）；有明确的物理意义（便于理解)；对高阶系统稳定性分析及性能指标估算的过程简单(便于工程应用)。练习1练习2练习4练习3第一节频率特性一、频率特性的一般概念二、频率特性的解析表示和频率特性曲线的绘制三、频率特性的几点说明一、频率特性的一般概念1、频率特性的定义若输入为:则系统的稳态输出为:幅频特性：相频特性：频率特性：2、频率特性的求取G(s)r(t)c(t)频率特性中，自变量频率取值范围零至无穷。频率特性的求取基于传递函数求频率特性二、频率特性的解析表示和曲线的绘制1、频率特性解析表示幅相频率特性幅频特性和相频特性实频特性和虚频特性2、频率特性曲线Nyquist曲线（全频程矢量矢段行走的轨迹）Bode曲线（全频程幅频特性和相频特性曲线）举例三、有关频率特性的几点说明1、频率特性G(jω)是以ω为自变量的向量；2、频率特性曲线是指自变量ω在全频段矢量矢端行走的轨迹；3、开环频率特性曲线是判断闭环系统稳定性及评定系统动态性能指标的依据；4、开环传递函数的形式是典型环节的乘积形式。寻找绘制开环频率特性曲线的规律，关键在于掌握典型环节频率特性曲线的绘制规律。第二节典型环节的频率特性一、比例环节二、积分和微分环节三、一阶惯性和一阶微分环节四、二阶振荡和二阶微分环节五、纯迟延环节六、不稳定环节(零点或极点在右半平面)注意：Nyquist曲线所在象限；

Bode曲线相频和幅频渐近线的绘制及对应关系；

不稳定环节特征（两种曲线联系分析）。曲线特征汇总比例、积分、微分环节的Nyquist曲线和Bode曲线环节名称比例环节

积分环节理想微分环节传递函数k1/ss幅相频率特性

k1/jωjω

幅频特性A(ω)k1/ω

ω相频特性φ(ω)0°-90°90°对数幅频特性L(ω)20lgk-20lgω20lgωNyquist曲线Bode曲线一阶微分、一阶惯性环节的Nyquist曲线和Bode曲线关注转折频率处的幅值修正！！！二阶微分、二阶振荡环节的Nyquist曲线和Bode曲线注意：曲线特征转折频率处的修正规则两个特征点数据纯迟延环节的Nyquist曲线和Bode曲线不稳定环节的Nyquist曲线和Bode曲线分析以下两个对应环节Nyquist曲线的区别？关注图形所在象限的确定规则！！！典型环节Bode曲线渐近线的特征环节名称特征参数幅频特性曲线相频特性曲线低频中频高频低频中频高频比例K20lgK水平线0°水平线积分过（ω=1,L=0）点，斜率为-20dB/+倍频程-90°水平线微分过（ω=1,L=0）点，斜率为20dB/+倍频程90°水平线一阶微分T0分贝水平线1/T,L=0+200°水平线ω=1/T,45°90°一阶惯性T0分贝水平线1/T,L=0-200°水平线ω=1/T,-45°-90°二阶微分T,ζ0分贝水平线1/T,L=0+400°水平线ω=1/T,90°180°二阶惯性T,ζ0分贝水平线1/T,L=0-400°水平线ω=1/T,-90°-180°纯迟延0分贝水平线0°水平线过（ω=1/τ,1弧度）点注意：转折频率处的修正值第三节控制系统的开环频率特性一、开环幅相频率特性（Nyquist）曲线的绘制二、最小相位系统开环对数频率特性（Bode）曲线的绘制三、基于对数频率特性曲线求最小相位系统的传递函数思考：非最小相位系统BODE曲线的绘制1、幅频？2、相频？关注：Bode曲线与Nyquist曲线之间的相互转换关系——起点、终点及所在象限。一、开环幅相频率特性曲线的绘制1、最小相位系统绘制规则2、应用举例3、特殊点计算4、非最小相位系统绘制举例1、最小相位系统的Nyquist绘制规则曲线的起端形式由开环传递函数的积分环节的个数确定（型别）无积分环节v=0时，起于实轴k处；有积分环节v=1、v=2、v=3时，起于-90°、-180°、-270°的∞远处。曲线的终端形式由分子多项式和分母多项式的阶次差确定。开环零极点数相同时，曲线终止于实轴；开环极点多于开环零点时，曲线延（n-m）＊（-90°）方向终止于原点。开环幅相频率特性曲线所在象限由各环节形式综合确定。s1/sωω2、最小相位系统Nyquist曲线绘制举例关注：1）起点、终点、图形所在象限；2）相位随ω呈滞后还是超前特性、幅值随ω增加还是减小。3、特殊点计算与实轴的交点坐标的计算

与虚轴交点坐标的计算举例应用举例4、非最小相位系统Nyquist曲线绘制举例关注不稳定环节的相位是能正确绘图的关键！二、最小相位系统

开环对数频率特性Bode曲线的绘制1、零型系统开环对数频率特性Bode曲线的绘制2、非零型系统开环对数频率特性Bode曲线的绘制绘图技巧：对数幅频特性曲线从低频到高频线线叠加；最小相位系统相频与幅频有明确的对应关系，可以由对数幅频特性曲线绘制对数相频特性曲线草图。1、零型系统开环对数频率特性Bode曲线的绘制低频幅频特性曲线为水平线，高度由20Lgk确定；转折频率处由环节形式确定折线斜率的变化规律；转折频率处的修正，由环节结构及特性参数决定。Bode曲线草图绘制举例坐标系的确定方法例题讲解12、非零型系统开环

对数频率特性Bode曲线的绘制低频幅频特性曲线为斜线，斜线过（ω=1，L=20Lgk）点，斜率由积分环节的个数（系统型别）确定-20v。有微分环节的斜线确定方法类推；转折频率处由环节形式确定折线斜率的变化规律；转折频率处的修正，由环节结构及特性参数决定。Bode曲线草图绘制举例例题讲解2三、基于对数频率特性曲线

求最小相位系统的传递函数1、积分环节或微分环节的个数由低频段渐近线的斜率确定。2、由低频段渐近线确定K值零型系统水平线高度为20LgK非零型系统斜线斜率（延长线）及与0分贝线的交点坐标ω确定K1型系统ω=k2型系统ω=基于直角三角形确定3、由各转折频率确定各环节对应的时间常数。4、由各转折频率处两边折线的斜率变化情况确定所对应的环节形式。5、二阶环节可基于特征数据确定阻尼系数ζ举例：0dBlgωL(ω)-40-20(1)ω1ω2

-20-40-20(2)kω1ω220(3)1/k-20ω2ω1第四节频率特性（Nyquist）的稳定判据一、稳定判据的理论依据二、稳定判据的推导三、稳定判据的推广四、稳定判据在非零型系统中的应用五、稳定判据在BODE曲线上的应用1、稳定判据的理论依据

映射定理：是两个多项式之比，有一定的零点和极点。则位于s平面一个封闭曲线，映射到F(s)平面时仍然是一条封闭曲线。并有以下特性存在：在s平面，矢量s顺时针绕封闭曲线一周，当零极点在封闭曲线内时，对应矢量的角增量为2π（顺时针），在外时角增量为0；而在F(s)平面，矢量顺时针绕原点的圈数为：

封闭曲线内零点的个数-封闭曲线内极点的个数。F(s)F(S)平面ss+p1-p1-p2s+p2s+z1S平面s+z2F(s)顺时针绕原点的圈数，取决于S平面封闭曲线内零、极点个数之差。而于封闭曲线外零极点无关。2、稳定判据的推导闭环极点开环极点判别系统稳定与否的条件：1）开环在右半平面的极点个数P；

2）GK(jω)正负全频曲线。NP∞S平面解题难点？3、稳定判据的推广稳定判据推广之一开环在右半平面的极点数P=2GK(jω)矢量当ω

由0—∞时，逆时针绕（-1，j0）点的圈数。稳定判据推广之二射线的定义和正负穿次（包括半穿）的定义；射线：起于（-1，j0）点沿实轴反方向；正穿（逆穿）：ω增大时曲线从上向下穿过射线；负穿（顺穿）：ω增大时曲线从下向上穿过射线。半穿的定义：曲线起于射线或终于射线。稳定判据：P=2(a-b)P为开环传递函数在右半平面的极点数，

a为矢量当ω

：0+—∞时的正（逆时针）穿次数，

b为矢量当ω

：0+—∞时的负（顺时针）穿次数。系统右半平面特征根的确定：N=P-2(a-b)系统纯虚根的确定：Nyquist曲线过（-1，j0）的次数。应用举例基于曲线的对称关系G(jω)平面-1，j04、稳定判据在非零型系统中的应用开式曲线转为闭式曲线——辅助线的绘制原点为圆心无穷大为半径；起于实轴顺时针绕角度为0.5πv，与曲线起点相连。判据与前面所述相同，但穿次包括辅助线辅助线绘制举例：1、2、3q=1ω=0-1q=2ω=0-1应用举例q=3；q=1。ω=0-1(1)(2)5、稳定判据在

BODE曲线上的应用最小相位系统稳定性判别(幅频曲线与0分贝线仅有一个交点):对数相频特性曲线与-180°水平线交点引垂线与幅频特性曲线相交，若交点在0分贝下方系统稳定。反之不稳定。对数幅频特性曲线与0分贝交点引垂线与相频特性曲线相交，若交点在-180°水平线上方系统稳定，反之不稳定。复杂最小相位系统和非最小相位系统稳定性判别？绘制辅助线；计算穿次；稳定判据同前。解题关键——了解两种曲线上特征点的对应关系。（2）ω1ωc（1）ωcω1第五节控制系统性能指标的计算动态指标定义及计算剪切频率ωc相角裕量γ幅值裕量kgBODE曲线上的指标计算作图法折线计算法三角形对数幅频特性分段计算式控制系统的综合评价指标静态——低频段动态——中频段抗高频干扰能力——高频段ωcω1(-1，j0)第六节开环频率特性曲线

与闭环时域指标的关系定性分析：相角裕量越大超调量越小，稳定程度越好；

剪切频率越大调节速度越快。单元总结

主要内容

习题类型

单元练习主要内容频率特性的定义及其基本概念两种曲线的绘制典型环节频率特性曲线的绘制及其特征；不稳定环节频率特性曲线的绘制及其特征；开环频率特性曲线的绘制及特殊点参数的计算方法；最小相位系统开环对数幅频和相频曲线的绘制；最小相位系统频率特性曲线与传递函数的对应关系。Nyquist稳定判据的应用动态性能指标（r、ωc

、kg）的计算习题类型依据开环传递函数，绘制Nyquist曲线草图，判系统的稳定性；依据开环传递函数，绘制最小相位系统的Bode曲线草图，判系统的稳定性,计算性能指标；由对数幅频特性曲线求最小相位系统的传递函数；由开环Bode曲线定性分析系统综合性能；三种分析方法的综合应用。单元练习1、已知单位负反馈系统的开环传递函数为：1）概略绘制根轨迹；2）当k为何值时系统稳定；（参考答案：0<k<30）3）k=10概略绘制系统Bode图；4）在图中标出r、Kg。2、系统开环传递函数为其中：或1）绘制开环Bode曲线和Nyquist曲线；2）分析两种情况下系统的稳定性.3、某最小相位系统的如图所示。1）求传递函数2）求剪切频率和相角裕量4、已知单位反馈系统的闭环传递函数为1）求开环传递函数；2）绘制极坐标曲线；3)用N氏判据分析稳定性。参考答案：稳定。零型系统稳定性分析应用举例（-1，j0）(1)(2)（-1，j0）（-1，j0）（-1，j0）(1)(2)非零型系统稳定性分析应用举例（-1，j0）（-1，j0）（1）（2）（-1，j0）(1)T1>T2(2)T1<T2（-1，j0）已知系统开环传递函数，分析稳定性，若稳定计算性能指标。1、计算剪切频率2、计算相角裕量3、计算幅值裕量结论：系统稳定。ωc≈10;γ≈84.3°;kg≈20dB。BODE曲线上的指标计算1BODE曲线上的指标计算2已知系统开环传递函数，分析稳定性，若稳定计算性能指标。1、计算剪切频率2、计算相角裕量3、计算幅值裕量结论：系统稳定。ωc≈10;γ≈78.6°;kg≈∞dB。控制系统的综合评价指标1、对中频段曲线形式的要求2、对低频段曲线形式的要求3、对高频段曲线形式的要求练习一1、已知单位反馈系统的开环传递函数为：1）求输入为的稳态输出cs(t)；2）求上述输入下的稳态误差es(t)。2、在同一坐标系绘制一阶惯性环节的bode曲线的渐近线，标出各环节的转折频率。3、在同一坐标系绘制一阶微分环节的bode曲线的渐近线，标出各环节的转折频率。练习二1、已知系统开环传递函数如下所示，绘制Nyquist曲线草图。2、写出开环传递函数与实轴交点处的频率ω1及幅值A(ω1)的计算式。参考答案：参考答案：1）