第五章弯曲应力

第五章弯曲应力

§5-1梁弯曲正应力§5-2惯性矩计算§5-3梁弯曲剪应力§5-4梁弯曲时的强度计算§5-5塑性弯曲的概念§5-6提高梁抗弯能力的措施§5-1梁弯曲正应力

一、梁弯曲时横截面上的应力分布

一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时有弯矩和剪力两个内力。弯矩由分布于横截面上的法向内力元σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组成，故横截面上同时存在正应力和剪应力。σdAτdAQM当梁较长时，正应力是决定梁是否破坏的主要因素，剪应力则是次要因素。二、弯曲分类

PPaaBACDBACD+−BACD+PPPa梁AC、BD段的横截面上既有剪力又有弯矩，称为剪切弯曲。CD段梁的横截面上只有弯矩而无剪力，称为纯弯曲。此处仅研究纯弯曲时梁横截面上正应力与弯矩的关系。三、纯弯曲实验

1.准备

ABCDEFGH在梁侧面画上AB、CD、EF、GH四条直线，且AB∥CD、EF∥GH。在梁两端对梁施加纯弯矩M。ABCDEFGHMMABCDEFGH2.现象

变形后AB、CD仍为直线，但二者不再平行；直线EF、GH变成曲线且EF变短，GH变长；曲线EF、GH间的距离几乎没有变化；横截面上部分沿厚度方向变宽，下部分变窄。3.假定

梁的任意一个横截面，如果在变形之前是平面，在变形后仍为平面——平截面假定。梁上部分纤维受压而下部分纤维受拉，中间一层纤维既不受拉也不受压，这一层叫中性层或中性面。中性层与横截面的交线叫中性轴。梁弯曲变形时横截面绕中性轴转动。梁的纵向纤维之间无挤压力作用，故梁的纵向纤维只受拉伸或压缩作用。梁中的纵向应变和横截面上的正应力沿横截面厚度方向不变，而只与高度方向的位置有关，故梁内处在同一高度的一层纤维的正应力相等。中性层厚度高度长度纵向对称轴横截面中性轴梁的材料服从虎克定律，在受拉和压时，弹性模量是一样的。梁的横截面尺寸能保证梁在受弯曲时不致翘曲。梁的长度比横截面度量尺寸大得多(长梁)，平截面假定仅适应于长梁，若梁长度与横截面度量尺寸的比值小于5，由弹性力学知，平截面假定就不适用。4.限制条件

先考虑等截面梁，梁的横截面至少有一个对称轴，即梁至少有一个对称面，并且所有外力都在这个平面内。这样保证了对称平面内的纤维变形后仍在这个平面内。因此，中性轴必与纵向对称轴垂直。平截面假定一般不适用于曲梁。纵向纤维之间无挤压力假定一般不适用于剪切弯曲。四、梁弯曲正应力

同圆轴扭转的应力公式推导过程一样，从变形几何关系、物理关系和静力学关系三方面考虑。1.变形几何关系

MMO1O2O1O2yyρdφabdxa'b'设为中性层，ρ为其曲率半径。变形后变形前纵向线应变为弯曲时，梁横截面上各点的纵向线应变ε与该点至中性轴的距离y成正比。在同一横截面上ρ为常数。ρ2.物理关系(应力应变关系)

横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离y成正比，在距中性轴等距离的各点上正应力相等。此时由于中性轴具体位置还未确定，故到中性轴的距离y还无法度量。同时，曲率半径也未知，无法求出。3.静力关系

取纯弯曲梁的一个横截面，建立坐标系O-xyz，y轴为纵向对称轴，z轴为中性轴，其具体位置待定。σdAyOxyzMM内力元σdA的合力即轴力

为零因故由中值定理知—横截面图形对z轴静矩。故—横截面图形形心坐标。即横截面形心在z轴上，故中性轴必通过横截面形心。内力元σdA对z轴之矩总和构成横截面上的弯矩M令—横截面对z轴的惯性矩，代表横截面一个几何性质。则—抗弯刚度，愈大，梁愈不易变形。将上式代入应力应变关系式得：σ

—横截面上任意一点的正应力；M—横截面上的弯矩；Iz—横截面对中性轴z的惯性矩。

y—横截面上任意一点到中性轴的距离；令——抗弯截面模量则zOxyMMσmaxσmax4.结论

横截面上的正应力σ与该截面上的弯矩M成正比，与横截面的惯性矩Iz成反比，正应力的数值沿横截面高度成线性分布。在中性轴上正应力为零，离中性轴愈远正应力愈大，在横截面上下边缘取得σmax

。σmaxσmaxMM§5-2惯性矩计算

一、简单截面的惯性矩

矩形截面

ydyyOzbh圆形与圆环形截面

因y、z轴均通过圆截面直径，对圆环形截面故DOyzρ(z,y)Dd二、组合截面的惯性矩平行移轴公式

组合横截面对某一轴的惯性矩可视为其各个组成部分即单一图形对同一轴的惯性矩之代数和。平行移轴公式

设任意形状的横截面，其面积为A，y轴、z轴通过形心(称为形心轴)，对z轴的惯性矩为Iz。现有z1轴与z轴平行，y1轴与y轴平行，形心C在坐标系O-y1

z1中的坐标为(b，a)。横截面对任一轴的惯性矩等于它对平行于该轴的形心轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。同理知

：dA(z,y)C(b,a)Oy1z1yz例题

【例5-1】求T字形截面的惯性矩。尺寸单位为cm。【解】1)求T字形截面中性轴z轴即形心坐标yC。将截面分成I、II两部分。在坐标系O-yz´中，形心坐标为2)求各组合部分对中性轴z之惯性矩：23621IIICICIICzI(yIC=-5)z(yC=-3)zII(yIIC=-1)z´yO6【例5-2】求图示阴影部分对中性轴z轴的惯性矩。【解】因故lDyzOdI2zI1z显然，阴影部分对中性轴y轴的惯性矩为：一、矩形截面梁

ybhτmaxOyzτQQ—横截面上剪力；Iz—整个横截面对中性轴z轴的惯性矩；b—横截面在所求剪应力处的宽度；Sz(y)—横截面上剪应力τ所在横线至截面边缘部分的面积对中性轴z的静矩。故剪应力沿截面高度成抛物线分布；在上、下边缘，剪应力为零；在中性轴上，剪应力达最大值，它为平均剪应力的1.5倍。*§5-3梁弯曲剪应力

二、工字形截面梁

工字形截面梁由上、下翼缘和垂直腹板组成。由于腹板为狭长矩形，故假定其上各点处的剪应力平行于腹板侧边并沿腹板厚度均匀分布。腹板上y处剪应力为Sz(y)—横截面上剪应力τ所在横线至截面边缘部分的面积对中性轴z的静矩。Iz—整个工字形截面对中性轴z轴的惯性矩；腹板上剪应力为：hHbdzyOτmax

腹板上的剪应力沿腹板高度按抛物线变化。yτmin

τmin

当y=0时，当y=h/2时，当d≤b时，τmax≈τmin

，可视为均匀分布。翼缘上剪应力基本上沿水平方向，其值很小可不考虑。由对各种不同形状的截面上的剪应力的讨论知，最大剪应力一般位于最大剪力截面的中性轴上，其计算公式可统一为：Szmax—中性轴一边的横截面面积对中性轴的静矩；Iz—整个横截面对中性轴的惯性矩；b—横截面在所求剪应力处的宽度；Qmax—全梁的最大剪力。*三、圆形、薄壁圆环形截面梁

1.圆形截面

对于圆形截面梁，选一直线mn与中性轴平行，根据剪应力互等定理，m点及n点的剪应力τ均与边界相切。除直线mn与y轴相交处的剪应力平行于剪力Q外，该线上其它各点的剪应力的方向均与y轴相倾斜。自m点和n点作圆周的切线交y轴于C点。

OzyCτxyτxzτ假定mn线上各点剪应力的方向也都沿着自该点到C点所作的连线方向。将各点剪应力τ分解成平行于Q的τxy和垂直于Q的τxz

，且设离中性轴等距离各点处剪应力在Q方向的分量τxy均相等，于是可用矩形截面梁剪应力计算公式来计算τxy

，因对于τxy来说，符合矩形截面梁剪应力的两个假定。mn因故当y=0时，圆形横截面上的最大剪应力发生在中性轴上，且为平均剪应力的4/3倍。对于横截面对称于y轴的其它形状如椭圆、等腰梯形等，同样可用对圆形截面所作的假设来计算。该近似结果与精确解相比在最大值处误差约为4℅。bξm'n'OyzRφαmnydηητmax

2.圆环形截面

对于薄壁圆环形截面，若壁厚t远小于圆环的平均半径R，则可认为横截面上的剪应力沿厚度t均匀分布，方向与圆周相切，在中性轴上各点的剪应力就平行于Q且沿厚度均匀分布。圆环形截面梁上最大剪应力为平均剪应力的2倍。tROyzτmax最大剪应力为：τmax§5-4梁弯曲时的强度计算

一般等截面直梁，在剪切弯曲时，弯矩最大的横截面的上下边缘处存在最大正应力，在剪力最大的横截面的中性轴处存在最大剪应力。因此，在梁的强度计算时，必须同时满足正应力和剪应力两个强度条件。一、正应力强度计算

1.强度条件

—梁的最大弯矩；—梁横截面的抗弯截面模量；[σ]—材料的许用正应力，对薄壁型钢一般可用轴向拉伸时的许用应力；对于实心钢梁，可略高一些。2.强度条件的用途

强度校核设计截面求许可载荷3.强度条件的细化

若且横截面也对称于中性轴，即，则强度条件为：若而横截面对称于中性轴，即，则强度条件为：若而横截面不对称于中性轴，，则强度条件为：若而横截面也不对称于中性轴，即，则强度条件为：

若确定最大弯矩，则取两个弯矩中的最小值作为结果。二、剪应力强度计算

1.强度条件:

Qmax—梁横截面上的最大剪应力；Szmax—中性轴一侧的截面面积对中性轴的静矩；[τ]—材料的许用剪应力。b—横截面在所求剪应力处的宽度Iz—整个横截面对中性轴的惯性矩；2.应用场合

在强度计算中，必须同时满足正应力和剪应力两个强度条件。通常是先按正应力强度条件选择横截面的尺寸和形状，必要时再按剪应力强度条件进行校核。一般对以下几种情况进行剪应力强度校核。若梁较短或载荷很靠近支座，这时梁上的最大弯矩Mmax可能很小，而剪应力却相对较大，如果此时按Mmax来设计截面尺寸就不一定满足剪应力强度条件；对于一些组合梁，若其腹板宽度b相对于截面高度很小时，横截面上可能产生较大剪应力；对于木梁等，顺纤维方向抗剪能力较差，由剪应力互等定理知在中性层上也有τmax作用，因此也可能沿中性层发生剪切破坏，故此时需校核剪切强度；对于象工字形截面短梁，特别当Mmax和Qmax在同一截面上时，其主应力很可能超过最大正应力，此时可选择适当的强度理论校核梁的主应力。对于用钢材作成的梁，在计算时，以最大剪应力理论(第3强度理论)和能量理论(第4强度理论)提出的强度条件来校核。即梁中任意一点的应力(σ，τ)满足：三、例题

【例5-3】矿车车轴如图示。P=10kN，a=0.6m，许用应力[σ]=100MPa，圆轴的直径d=76mm。PPaalAB1)求支座A、B的反力；2)画弯矩图；3)校核车轴的强度。RARB【解】1)求支座反力2)画弯矩图3)校核强度−6kN∙m【例5-4】一T字形截面铸铁梁如图示。已知F1＝8kN，F2＝20kN，a=0.6m；截面惯性矩Iz=5.33×106(mm4)；材料抗拉强度σbt=240MPa,抗压强度σbc=600MPa。不考虑剪应力，取安全系数n=4，校核梁的强度。ABCDaaaF1F2RARB1001002020y1=80y2=40z【解】1)求支座反力2)画弯矩图DACB+−4.8kN∙m3.6kN∙m3)确定许用应力4)校核危险截面A、C的强度A截面上边缘最大拉应力A截面下边缘最大压应力C截面上边缘最大压应力C截面下边缘最大拉应力整个梁满足强度要求。A截面压拉C截面拉压*§5-5塑性弯曲的概念

MMσσsMMσsMsMs弹性状态弹塑性状态此时的弯矩Ms称为极限弯矩。塑性状态式中—中性轴一侧截面面积对中性轴的静矩。令—塑性抗弯截面系数许用弯矩按许用弯矩确定的强度条件为：对矩形截面：对圆形截面：故*§5-6提高梁抗弯能力的措施

弯曲正应力是控制梁的主要因素，故弯曲正应力强度条件：是设计梁的主要依据。要提高梁的承载能力，需从两方面考虑：合理安排梁的受力情况，以降低Mmax；合理选择截面形状，以提高Wz。适当调整支座位置P3a3a+3Pa/2调整前调整后P2a2aaa−PaPa+P4a一、合理安排梁的受力情况1.适当调整载荷或支座位置可减小梁的最大弯矩。适当调整载荷位置Pl/2l/2+Pl/4+5Pl/36Pl/65l/6调整前调整后2.若能适当分散集中载荷，也能减小梁的最大弯矩。Pl/2l/2+Pl/4q=P/ll+Pl/8+Pl/8集中载荷均布载荷增加附梁l/2l/4l/4Pl/2二、合理选择截面

梁的合理截面是：用最小的截面面积A，使其有更大的抗弯截面模量Wz。可用比值Wz/A来衡量截面的经济程度，该比值越大，所采用的截面越经济合理。而在选择矩形截面梁时，竖放又比横放经济合理。在相同抗弯截面模量Wz时，工字形截面梁较矩形截面梁和圆形截面梁更经济合理。在选择合理截面时，还应