第二章误差的基本性质与处理

11第二章误差的基本性质与处理章节内容§2.1随机误差§2.2系统误差§2.3粗大误差§2.4测量结果数据处理实例122§2.1随机误差§2.1.1随机误差产生的原因第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差随机误差测量装置环境方面人员方面构成零件配合不稳定、摩擦、变形等温度、湿度、气压、电磁场变化等读数、瞄准不稳定等33第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差§2.1.2

正态分布随机误差具有不可预知性，但是有统计规律。大部分随机误差有如下四个特性：对称性：绝对值相等的正、负误差出现的次数相等；单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多；有界性：在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定的界限；抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零。44第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差多数随机误差服从正态分布设被测量值的真值为，一系列测得值为，则测量列的随机误差可表示为：

正态分布的分布密度(概率密度)与分布函数为

式中：σ—标准差（或均方根误差）它的数学期望

它的方差为

5平均误差θ(测量列全部随机误差绝对值的算术平均值)为5第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差或然误差ρσ：对应曲线拐点θ：对应单边重心ρ：对应面积一半或在一组测定中，误差绝对值大于ρ的测定值与误差绝对值小于ρ的测定值各占总测定值的一半。以解得

正态分布曲线f(δ)66第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差§2.1.3算术平均值对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差，因此其获得的测量值不完全相同，此时应以算术平均值作为最后的测量结果。

算术平均值的意义设为n次测量所得的值，则算术平均值为:随机误差具有抵偿性，该项趋于0。77第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差结论当测量次数无限增大时，算术平均值接近于真值。排除或减少了随机误差的影响。但由于实际上都是有限次测量，因此，我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。一般情况下，被测量的真值为未知，不可用，这时可用算术平均值代替真值进行计算此时的随机误差称为残余误差，简称残差。88第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差任选一个接近所有测得值的数

作为参考值，计算每个测得值与的差值：上式更容易计算算术平均值。计算算术平均值更简便的方法99第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差算术平均值的计算校核规则1：残差代数和校核

为非凑整的准确数时

为凑整的非准确数时规则２：残差代数和绝对值校核n为偶数时A为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。n为奇数时1010第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差例题2.1测量某直径11次，得到结果如下表所示，求算术平均值并进行校核。序号

(mm)

(mm)12345678910112000.072000.052000.092000.062000.082000.072000.062000.052000.082000.062000.07+0.003-0.017+0.023-0.007+0.013+0.003-0.007-0.017+0.013-0.007+0.003

解：计算算术平均值比被除数多保留一位有效数字，保留8位。舍入后，保留7为与被除数一致1111第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差校核规则1：有舍入误差规则2：n为奇数

计算正确

计算正确A是算术平均值最末一个数字的一个单位A=0.001σ值愈小，高而陡，误差分布范围小，测量精度高；σ值愈大，低而平坦，误差分布范围大，测量精度低。1212第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差§2.1.4测量的标准差标准差σ反映了测量值或随机误差的散布程度，因此σ值可作为随机误差的评定尺度。注意：在一定条件下，任一单次测得值的随机误差δ，一般都不等于σ，但却认为这一系列测量列中所有测得值都属于同样一个标准差σ的概率分布。1313第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差σ的计算

δi未知时，用残余误差按下式计算求得标准差的估计值等精度(测量仪器、人员、环境、方法不变)测量时，单次测量的标准差按下式计算贝塞尔（Bessel）公式（证明参考教材）1.测量列中单次测量标准差σ1414第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差σ的其他计算方法别捷尔斯法(Peters公式)1515第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差极差法若等精度多次测量测得值服从正态分布，则极差ωnσ的计算n234567891011121314151617181920dn1.131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.413.473.533.593.643.693.74极差法系数表1616第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差最大误差法当各个独立测量值服从正态分布时已知真值时：未知真值时：n1234567891011121314151.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.520.510.500.500.49n1617181920212223242526272829300.480.480.470.470.460.460.450.450.450.440.440.440.440.430.43n2345678910152025301.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.480.460.441717第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差标准差算法举例例题2.2用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下(单位为mm):75.01,75.04,75.07,75.00,75.03,75.09,75.06,75.02,75.05,75.08求其标准偏差。解：相关数据计算如表序号1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.08－0.035－0.005＋0.025－0.045－0.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225

1818第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差Bessel公式将相关数据代入：n=10Peters公式将相关数据代入：n=101919第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差极差法已知：n=10，查表：dn=3.08最大误差法因未知其真值和约定真值，所以采用n=10，查表得代入得已知真值时未知真值时2020第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差贝塞尔公式：最常用，适用于测量次数较多的情况，计算精度较高，但较麻烦。对重要的测量或多种结果矛盾时，以贝塞尔公式为准。四种计算方法的优缺点别捷尔斯公式：计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公式的1.07倍。极差法：简单、迅速，当n<10时可用来计算σ，此时计算精度高于贝氏公式。最大误差法：更为简捷，n很小时，有一定精度。尤其适用于一次实验。2121第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差2.测量列算术平均值的标准差在多次测量的测量列中，是以算术平均值作为测量结果，因此必须研究算术平均值不可靠性的评定标准。算术平均值取方差等精度测量σ相等，σ2方差相等2222第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差n愈大，越小，说明的精度越高；为提高测量精度，可以增大n；n的选取要适当，一般n在10以内；大于10时，下降缓慢，同时难以保证测量条件的恒定，从而引入新的误差。n与标准差σ的关系曲线若测量误差落在范围内的概率为P，超出该范围的概率为1-P，则为置信概率P的极限误差。2323第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差§2.1.4测量的极限误差(容许误差)极限误差指在一定的观测条件下，测量误差不应超出的范围的极限值。单次测量的极限误差以正态分布为例，随机误差落在(-δ,+δ)之间的概率：2424第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差将上式进行变量置换，设经变换，上式成为：超出的概率为确定极限误差的步骤：置信概率t值可以根据指定的置信概率p(2Φ(t)),可查正态分布积分表获得。因此极限误差由置信概率Ｐ

tP/2=查表得tt:置信系数偶函数，对称区间积分2525第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差下表是典型的几个t值及对应的随机误差不超出相应区间的概率p=2Φ(t)和超出相应区间的概率α=1-2Φ(t)由于在一般测量中，测量次数很少超过几十次，因此可以认为绝对值大于3σ的误差是不可能出现的，通常把这个误差称为单次测量的极限误差，即（p=99.73％）不超出的概率超出的概率测量次数n超出的测量次数0.6712340.67σ1σ2σ3σ4σ0.49720.68260.95440.99730.99990.50280.31740.04560.00270.000123223701562611111t其它t值也可。2626第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差算术平均值的极限误差算术平均值误差：当多个测量列的算术平均值误差为正态分布时；t为置信系数，为算术平均值的标准差。当测量列的测量次数较少时，应按“学生氏”分布(“student”distribution)或称t分布来计算：为置信系数

由给定的置信概率p算出

和自由度来查t分布表确定。

真值2727第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差

为超出极限误差的概率（称显著度或显著水平），通常取=0.01或0.02,0.05。置信概率需要指出的是：对于同一测量列，按正态分布和t分布分别计算时，即使置信概率的取值相同，但由于置信系数不同，因此求得的算术平均值极限误差也不同。2828第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差例题2.3对某量进行6次测量，测得数据如下：802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46。求算术平均值及其极限误差。解：算术平均值标准差则查t分布表得。因测量次数较少，应按t分布计算算术平均值的极限误差。已知，取，算术平均值标准差极限误差2929第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差取，置信概率，φ(t)=p/2=0.495,由正态分布积分表查得φ(t)=0.495时，t=2.60，则算术平均值的极限误差为：按正态分布计算由此可见，当测量次数较少时，按两种分布计算的结果有明显的差别。3030第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差§2.1.5

不等精度测量不等精度测量列指用不同测量条件，不同仪器，不同测量方法，不同测量次数，不同的测量者等进行测量。回顾等精度测量及其测量精度的评定：平均值：表示测量结果；单次测量标准差：表示测量精度；平均值标准差：算术平均值可靠性评价指标；极限误差：在指定置信概率下，测量结果不应超出的范围。3131第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差如何处理m组不等精度数据？思路是：用“权”将不等精度测量化为等精度测量。对于m组不等精度测量第i组测量的均值及其标准差3232第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差权的概念权：描述不等精度测量列中各个值的可信赖程度。Pi越大，说明该测量值越可信赖。等精度测量：P1=P2=…=Pn不等精度测量：P1≠P2≠…≠Pn权的确定：按如下原则①测量条件的优劣；②测最仪器和测量方法所能达到的精度高低；③重复测量次数的多少；④测量者水平高低等来确定权的大小。323333第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差在测量条件和测量者水平皆相同，则测量次数愈多，其可靠程度也愈大；因此确定权的大小简单方法：Pi=ni3434第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差假定一个被测量有m组不等精度的测最结果。m组测量单次测量精度相同，其标准差σ相同(仅有每组测量次数不同)，则各组算术平均值的标准差为每组测量的权值比为σ相同权系数之比等于各组平均值方差的倒数比3535第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差测量结果估计(加权算术平均值)m组不等精度测量的每组平均值测量的平均值3636第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得到工作基准米尺的平均长度为999.9425mm(三次测量的)，999.9416mm(两次测量的)，999.9419mm(五次测量的)，求最后测量结果。例题2.4解：最后结果用平均值表示。按测量次数来确定权：，选则有3737第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差单位权化等精度单次测量标准差σ，m组不等精度测量某组算术平均值的标准差为pi=ni等精度单次测量的权为1，称为单位权。单位权化：使权数不同的不等精度测量列转化成具有单位权的等精度测量列。这样可以用等精度测量的公式处理不等精度测量结果。3838第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差单位权化方法如：第i组不等精度测量算术平均值为，权为乘以自身权的平方根得到新值z。取方差任何一个量值乘以自身权数的平方根，得到新量值的权数为1。Z值的权为1，即任何量值乘以自身权值的平方根，就被单位权化了。3939第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差加权算术平均值的标准差等精度测量的标准差σ，m组不等精度测量某组算术平均标准差全部测得值的算术平均值的标准差为将1式σ代入2式4040第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差当各组测量结果的标准差σ为未知时，则不能直接用上式，而必须由各测量结果的残余误差来计算加权算术平均值的标准差。将各组单位权化，则有：单位权化后各组新值已为等精度测量列的测量结果。相应的残差也成为等精度测量列的残余误差，则可用等精度测量时的Bessel公式推导得到：已知各组测量结果的残余误差为：

第i组测量平均值测量平均值4141第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差单位权化后用等精度测量时的Bessel公式推导得到：m原为不等精度测量的组数，单位权化后为等精度测量，所以此时，相当于等精度测量的次数。代入所有测得值平均值的标准差为：4242第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差例题2.5

求例题2.4的加权算术平均值的标准差。(工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得到工作基准米尺的平均长度为999.9425mm(三次测量的)，999.9416mm(两次测量的)，999.9419mm(五次测量的)，求最后测量结果。（答案：

)

解：由加权算术平均值，可得各组测量结果的残余误差为：已知

4343第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差§2.2系统误差§2.2.1系统误差的产生原因装置方面的因素环境方面的因素测量方法的因素测量人员的因素仪器设计原理缺陷、仪器制造和安装的不正确等。测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中的温度、湿度按一定规律变化的误差。采用近似的测量方法或计算公式引起的误差等。测量人员固有的测量习性引起的误差等。4444第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差§2.2.2系统误差的特征系统误差的特征：在同一条件下，多次测量同一测量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化，不具有抵偿性。系统误差分为不变系统误差和变化系统误差两大类。不变系统误差在整个测量过程中，误差的大小和符号始终不变的系统误差。如:千分尺或测长仪读数装置的调零误差；量块或其它标准件尺寸的偏差等。4545第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差变化系统误差线性变化系统误差在整个测量过程中，误差的大小和方向随测试的某一个或某几个因素按确定的函数规律而变化。如:量块中心长度随温度的变化周期变化系统误差如:指针在任一转角处引起的读数误差。eΔL0O90O180O360Oe90o0o180o270o仪表指针回转中心与刻度中心不一致4646第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差复杂规律变化的系统误差例如:微安表的指针偏转角与偏转力距间不严格保持线性关系，而表盘仍采用均匀刻度所产生的误差就属于复杂规律变化的系统误差。47§2.2.3系统误差的发现方法47第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差发现系统误差的方法组间组内实验对比法残余误差观察法残余误差校核法不同公式计算标准差法计算数据比较法秩和检验法t检验法4848第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差1、实验对比法改变产生系统误差的条件，进行不同条件的测量，以发现系统误差，适用于发现不变的系统误差。2、残余误差观察法残余误差观察法是根据测量列的各个残余误差大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形来判断有无系统误差。适于发现有规律变化的系统误差。残余误差大体上是正、负相间，且无显著变化规律，则无系统误差测量列组内的系统误差发现方法4949第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差残余误差数值有规律地递增或递减，且在测量开始与结束时误差符号相反，存在线性系统误差残余误差兼有如图的变化规律，则应怀疑同时存在线性系统误差和周期性系统误差残余误差符号有规律地逐渐由负变正、再由正变负，且循环交替重复变化，则存在周期性系统误差5050第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差

3、残余误差校核法(有两种方法)①马列科夫准则－用于发现线性系统

误差测量列测量列系统误差均值测量列不含系统误差均值测量列均值系统误差不含系统误差测量列不含系统误差部分的残差(含有随机误差)残余误差为测量列系统误差测量列系统误差均值5151第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差方法：若Δ显著不为O，则有理由认为测量列存在线性系统误差。优点：能有效地发现线性系统误差。注意：有时按残余误差校核法求得差值Δ=0，仍有可能存在系统误差。忽略随机误差将残余误差分成两部分（n为奇数时K=(n+1)/2）测量列随机误差残差测量列系统误差测量列系统误差均值51系统误差测量列系统误差均值52②阿卑－赫梅特准则－用于发现周期性系统误差52第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差则认为该测量列中含有周期性系统误差。若将残余误差按测量顺序排列5353第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差4、不同公式计算标准差比较法贝塞尔公式：别捷尔斯公式：令若则怀疑测量列中存在系统误差。注意：判断时，违反“准则”时可直接判定，而在遵守“准则”时，不能得出“不含系统误差”的结论，因为每个准则均有局限性，不具有“通用性”。54测量列组间的系统误差发现方法54第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差则任意两组结果与间不存在系统误差的标志是：若对同一量进行独立测量，得到m组结果，已知它们的算术平均值和标准差为：任意两组结果之差为：其标准差为：1、计算数据比较法5555第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差2、秩和检验法—用于检验两组数据

间的系统误差对独立测得两组的数据：将它们混合以后，按从小到大的顺序重新排列，观察测量次数较少那一组数据在新排列中的次序编号(即秩)。将所有测得值的次序相加，即为秩和T。T=1+4+5=10例如：有二组测量值xi：14.7,14.8,15.2,15.6;yi：14.6,15.0,15.1；混合按大小重新排序i1234567xi14.714.815.215.6yi14.615.015.1因为n2<n1，所以计算n2(即yi)的秩分别为1，4，5；5656第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差当两组的测量次数：

可根据n1(测量次数较少的组)和n2(测量次数较多的组)，查秩和检验表得T-和T+。若则无根据怀疑两组间存在系统误差。5757第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差当秩和T

近似服从如下正态分布根据求得的数学期望值a和标准差

，如下式计算t：时正态分布数学期望a正态分布的标准差σ此时T-和T+可由正态分布算出。选取(置信概率P，Φ(t)=P/2)

，由正态积分分布表查得t(此处计为ta)。则无根据怀疑两组间存在系统误差。若5758对某量测得两组数据如下，判断两组间有无系统误差xi：14.7,14.8,15.2,15.6;yi：14.6,15.0,15.158第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差解：将两组数据混合排列成下表i1234567xi14.714.815.215.6yi14.615.015.1

已知:n1=4,n2=3,n2<n1≤10因为n2<n1，所以计算n2(即yi)的秩和：T=1+4+5=10,因

故无根据怀疑两组间存在系统误差。例题2.6

查秩和检验表得5959第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差两组数据：①50.82，50.83，50.87，50.89；②50.75，50.78，50.78，50.81，50.82，50.85；n1<n2,计算n1的秩和若两组数据中有相同的数值，则该数据的秩按所排列的两个次序的平均值计算。596060第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差例2.7：对某量进行二次测量，数据如下，试判断二组数据是否存在系统误差。解：将二组数据混合排序如下表n1=n2=15，因为xi数据的秩和较小，故依其数据计算秩和606161第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差因为n1=n2=15>10，所以T近似服从如下正态分布其中数学期望a和标准差为σ为：置信系数t为选取置信概率为99%(显著度α=0.01)，即取φ(t)=0.495，查表得t(此处即ta)ta=2.60故无根据怀疑两组数据存在系统误差。61623、t检验法62第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差当两组测量数据服从正态分布，或偏离正态不大，但样本数不是太少（最好不少于20）时，可用t检验法判断两组间是否存在系统误差。

设独立测得两组数据为：令变量取显著性水平α，由t分布表(附表)查出。若，则无根据怀疑两组间有系统误差。63

①基准件、标准件(如量块、刻尺等)是否准确可靠；②量具仪器是否处于正常工作状态，是否经过检定，并

有有效周期的检定证书；③仪器的调整、测件的安装定位和支承装夹是否正确合理；④所采用的测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差；⑤测量的环境条件是否符合规定要求；⑥注意避免测量人员带入主观误差：视差、视力疲劳；注意力不集中等。63第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差§2.2.4系统误差的减小和消除1、消误差源法用排除误差源的方法消除系统误差。64预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，取与误差大小相同而符号相反的值作为修正值，将测得值加上相应的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量结果。关键在确定修正值或修正函数的规律。64第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差2、加修正值法恒定系统误差：采用检定方法，对重复测量取其均值，与基准量之差即为其修正值。变化系统误差：按照某变化因素，依次取得已知基准量

的一系列测值，再计算其差值，按最小二乘法确定它随该因素变化的函数关系式，取其负值即为该可变系统误差的修正函数。6565第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差3、改进测量方法在没有条件或无法获得基准量的情况下，难以用检定法确定恒定系统误差并加以消除。这时必须设计适当的测量方法，使恒定系统误差在测量过程中予以消除，常用的方法有：反向补偿法：先在有恒定系统误差的状态下进行一次测量，再在该恒定系统误差影响相反的另一状态下测一次，取两次测量的平均值作为测量结果，这样，大小相同但符号相反的两恒定系统误差就在相加后再平均的计算中互相抵消了。①消除恒定系统误差的方法6666第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差如：在使用丝杠转动机构测微小位移时，为消除微丝杠与螺母间的配合间隙等因素引起的定回误差，往往采用往返两个方向的两次读数取均值作为测量结果，以补偿定回误差的影响。

若认为将产生系统误差。用标准砝码Q代替X,不能平衡，读出差值ΔQ，有6767第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差代替法：在测量装置上对被测量测量后，不改变测量条件，立即用一个标准量代替被测量，再次进行测量，从而求出被测量与标准量的差值，即被测量＝标准量＋差值例如在等臂天平上称重,被测量X。平衡时(l有误差，实为l1，l2)若将X与P交换位置，由于(存在恒定统误差的缘故)，天平将失去平衡。调整原砝码P(P’=P+ΔP)才使天平再次平衡(P’=l1X/l2)，于是有

6868第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差如等臂天平称重,先将被测量X放于天平一侧，砝码放于其另一侧，调至天平平衡，则有。交换法：根据误差产生原因，将某些条件交换，以消除系统误差。可消除天平两臂不等造成的系统误差。取69将测量对称安排，取各对称点两次读数的算术平均值作为测得值，即可消除线性系统误差。69第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差消除线性系统误差的方法—对称法70对周期性误差，可以相隔半个周期进行两次测量，取两次读数平均值，即可有效地消除周期性系统误差。周期性系统误差一般可表示为：

70第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差消除周期性系统误差的方法—半周期法设时，误差为：当时，即相差半周期的误差为取两次读数平均值则有由此可知半周期法能消除周期性系统误差。7171第二章误差的基本性质与处理§2.2系统误差4、消除复杂规律变化系统误差的方法通过构造合适的数学模型，进行实验回归统计，对复杂规律变化的系统误差进行补偿和修正。7272第二章误差的基本性质与处理§2.3粗大误差§2.3粗大误差§2.3.1粗大误差的产生原因测量人员的主观原因客观外界条件的原因测量者工作责任感不强、工作过于疲劳、缺乏经验操作不当，或在测量时不小心、不耐心、不仔细等，造成错误的读数或记录。测量条件意外地改变（如机械冲击、外界振动、电磁干扰等）。73基本思想：给定一个显著性水平，按一定分布确定一个临界值，凡超过这个界限的误差，就认为它不属于偶然误差的范围，是粗大误差，应予以剔除。73第二章误差的基本性质与处理§2.3粗大误差§2.3.2

粗大误差判别准则1、准则：最常用、最简单，要求n充分大。对某个可疑数据，若其残差满足：则可认为该数据含有粗大误差，应予以剔除。7474第二章误差的基本性质与处理§2.3粗大误差测量次数较少时，最好不要选用准则。下表是准则的“弃真”概率。从表中看出，该准则犯“弃真”错误的概率随n的增大而减小，最后稳定于0.3%。n11 1661121333a0.0190.0110.0050.0040.003

准则“弃真”概率a747575第二章误差的基本性质与处理§2.3粗大误差对某量进行15次等精度测量，测得值如下。设这些测得值已消除了系统误差，试判别该测量列中是否含有粗大误差的测得值。序号12345678910111213141520.4220.4320.4020.4320.4220.4320.3920.3020.4020.4320.4220.4120.3920.3920.40+0.016+0.026-0.004+0.026+0.016+0.026-0.014-0.104-0.004+0.026+0.016+0.006-0.014-0.014-0.0040.0002560.0006760.0000160.0006760.0002560.0006760.0001960.0108160.0000160.0006760.0002560.0000360.0001960.0001960.000016+0.009+0.019-0.011+0.019+0.009+0.019-0.021——-0.011+0.019+0.009-0.001-0.021-0.021-0.0110.0000810.0003610.0001210.0003610.0000810.0003610.000441——0.0001210.0003610.0000810.0000010.0004410.0004410.000121数据表例题2.8

根据3σ准则，第八测得值的残余误差为：即它含有粗大误差,故将此测得值剔除。去掉一个粗大误差后的残差7676第二章误差的基本性质与处理§2.3粗大误差再根据剩下的14个测得值重新计算，得：剩下的14个测得值的残余误差均满足,故可以认为这些测得值不再含有粗大误差。设对某量作多次等精度测量，得，若认为测量值为可疑数据，将其剔除后计算平均值为：7777第二章误差的基本性质与处理§2.3粗大误差方法是：首先剔除一个可疑的测得值，然后按t分布检验被剔除的值是否是含有粗大误差。2、罗曼诺夫斯基准则并求得测量列的标准差(计算时不包括

)：又称t检验准则。当测量次数较少时，按t分布来判别粗大误差较为合理。7878第二章误差的基本性质与处理§2.3粗大误差根据测量次数n和选取的显著度，即可由表查得t分布的检验系数。

n0.05k0.01

n0.05k0.01

n0.05k0.0144.9711.46132.293.23222.142.9153.566.53142.263.17232.132.9063.045.04152.243.12242.122.8872.784.36162.223.08252.112.8682.623.96172.203.04262.102.8592.513.71182.183.01272.102.84102.433.54192.173.00282.092.83112.373.41202.162.95292.092.82122.333.31212.152.93302.082.81若则认为测量值含有粗大误差，剔除是正确的，否则认为不含有粗大误差，应予保留。787979第二章误差的基本性质与处理§2.3粗大误差例题2.9试判断例题2.8中是否含有粗大误差。解：首先怀疑第八组测得值含有粗大误差，将其剔除。然后根据剩下的14个测量值计算平均值和标准差，得：选取显著度，已知n=15，查表得：因：故第八组测量值含有粗大误差，应予剔除。然后对剩下的14个测得值进行判别，可知这些测得值不再含有粗大误差。8080第二章误差的基本性质与处理§2.3粗大误差3、格拉布斯准则设对某量作多次等精度独立测量，得，当服从正态分布时，计算得为了检验中是否含有粗大误差，将按大小顺序排列成顺序统计量，8181第二章误差的基本性质与处理§2.3粗大误差

格拉布斯导出了及的分布，取定显著度(一般为0.05或0.01)，可查格拉布斯准则表，得到临界值。若认为可疑，则有若认为可疑，则有即判别该测得值含有粗大误差，应予剔除。81当8282第二章误差的基本性质与处理§2.3粗大误差0.050.010.050.013456789101112131415161.151.461.671.821.942.032.112.182.232.282.332.372.412.441.161.491.751.942.102.222.322.412.482.552.612.662.702.75171819202122232425303540501002.482.502.532.562.582.602.622.642.662.742.812.872.963.172.782.822.852.882.912.942.962.993.013.103.183.243.343.59828383第二章误差的基本性质与处理§2.3粗大误差用例2.8测得值，试判别该测量列中的测得值是否含有粗大误差。例题2.10

解：由例2.8，已经算出：

按测得值的大小，顺序排列得今有两测得值，可怀疑，但由于故应先怀疑是否含有粗大误差，计算8484第二章误差的基本性质与处理§2.3粗大误差剩下的14个数据，再重复上述步骤，判别是否含有粗大误差。故可判别不包含粗大误差，而各皆小于1.18，故可认为其余测得值也不含粗大误差。计算：查表：第八个含有粗大误差，应予剔除。查表得8585第二章误差的基本性质与处理§2.3粗大误差设正态测量总体的一个样本，将按大小顺序排列成顺序统计量，4.狄克松准则即

构造检验高端异常值和低端异常值的统计量，分别为和，分以下几种情形：高端异常统计量低端异常统计量8686第二章误差的基本性质与处理§2.3粗大误差以上的简记为和。选定显著性水平，查表得临界值。当测量的统计值或大于临界值时，则认为或含有粗大误差。

868787第二章误差的基本性质与处理§2.3粗大误差统计量n统计量n0.010.050.010.053456789101112130.9880.8890.7800.6980.6370.6830.6350.5970.6790.6420.6150.3410.7650.6420.5600.5070.5540.5120.4770.5760.5460.5211415161718192021222324250.6410.6160.5950.5770.5610.5470.5350.5240.5140.5050.4970.4890.5460.5250.5070.4900.4750.4620.4500.4400.4300.4210.4130.4068888第二章误差的基本性质与处理§2.3粗大误差同例2.8测量数据,判别测量列中的测得值是否含有粗大误差。排序如表所示。例题2.10顺序号顺序号20.3020.3920.3920.3920.4020.4020.4020.411234567820.4220.4220.4220.4320.4320.4320.439101112131415首先判断最大值，因n=15，计算统计量查表得：故不含有粗大误差。

8989第二章误差的基本性质与处理§2.3粗大误差再判别最小值，计算统计量故含有粗大误差，应予剔除。剩下14个数据，再重复上述步骤（，），判断不含有粗大误差。899090第二章误差的基本性质与处理§2.3粗大误差四种粗大误差的判别准则的应用实践经验大样本情况（n>50）用3σ准则最简单方便，虽然这种判别准则的可靠性不高，但它使用简便，不需要查表，故在要求不高时经常使用；30<n≤50时，用格拉布斯准则效果较好；3≤n<30时，用格拉布斯准则适于剔除一个异常值；用狄克逊准则适于剔除一个以上异常值。当测量次数比较小时，也可根据情况采用罗曼诺夫斯基准则。

9191第二章误差的基本性质与处理§2.3粗大误差在较为精密的实验场合，可以选用二、三种准则同时判断，当一致认为某值应剔除或保留时，则可以放心地加以剔除或保留。当几种方法的判断结果有矛盾时，则应慎重考虑，一般以不剔除为妥。因为留下某个怀疑的数据后算出的σ只是偏大一点，这样较为安全。919292第二章误差的基本性质与处理§2.4测量结果数据处理实例§2.4

测量结果数据处理实例§2.4.1

等精度直接测量列数据处理实例例题2.11：等精度测轴径9次，求测量结果。序号12345678924.77424.77824.77124.78024.77224.77724.77324.77524.774-0.001+0.003-0.004+0.005-0.003+0.002-0.0020-0.0010.0000010.0000090.0000160.0000250.0000090.0000040.00000400.0000019393第二章误差的基本性质与处理§2.4测量结果数据处理实例1、求算术平均值依题意，假定无固定的系统误差。判断有无变化的系统误差，若有，则需修正；4、判断有无固定的系统误差；2、求残余误差3、校核算术平均值A为末位数的一个单位计算正确9494第二章误差的基本性质与处理§2.4测量结果数据处理实例残余误差观察法：误差符号大体相同，无明显变化规律。无变化的系统误差5、求测量列单次测量的标准差BesselPeters若按不同公式计算标准偏差比较法，也可以发现不存在系统误差。949595第二章误差的基本性质与处理§2.4测量结果数据处理实例6、判断有无粗大误差，剔除异常值因n(n=9)较少，按格罗布斯准则判别。查表无粗大误差9696第二章误差的基本性质与处理§2.4测量结果数据处理实例9、按随机误差处理数据，给出测量结果。7、求算术平均值的标准差8、求算术平均值的极限偏差因n较少，按t分布计算极限误差。9797第二章误差的基本性质与处理§2.4测量结果数据处理实例§2.4.1不等精度直接测量列数据处理实例1、求加权算术平均值

对某一个角度进行六组不等精度测量，各组测量结果如下：测6次得测30次得测24次得测12次得测12次得测36次得求最后的测量结果。(假设各组测量结果不存在系统误差和粗大误差)

例题2.12

根据测量次数确定各组的权

9898第二章误差的基本性质与处理§2.4测量结果数据处理实例取α0=75°18′06″计算均值２、求残余误差并进行校核

9999第二章误差的基本性质与处理§2.4测量结果数据处理实例校核（加权残余误差代数和等于0）计算正确3、求加权算术平均值的标准差

100100第二章误差的基本性质与处理§2.4测量结果数据处理实例4、求加权算术平均值的极限误差

5、求最后的测量结果

101*101本章结束102102本章作业1、在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据（单位为mm）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。2、甲、乙两测试者用正弦尺对一锥体的锥角α个各重复测量5次，测得值如下：α甲：7°2’20”，7°3’0”，7°2’35”，7°2’20”，7°2’15”，α乙：7°2’25”，7°2’25”，7°2’20”，7°2’50”，7°2’45”；试求其测量结果。102103103本章作业3、对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH）：50.82，50.83，50.87，50.89；50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。4、对某量进行15次测量，测得数据为28.53，28.52，28.50，29.52，28.53，28.53，28.50，28.49，28.49，28.51，28.53，28.52，28.49，28.40，28.50，若这些测得值已消除系统误差，试用3σ、格罗布斯准则和狄克松准则分别判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值。1035、

测量圆盘的直径

，按公式计算圆盘面积，由于选取

的有效数字位数不同，将对面积S计算带来系统误差，为保证S的计算精度与直径测量精度相同，试确定

的有效数字位数？104n234567891011121314151617181920dn1.131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.413.473.533.593.643.693.74极差法系数dn表n=10dn=3.08105n1234567891011121314151.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.520.510.500.500.49n1617181920212223242526272829300.480.480.470.470.460.460.450.450.450.440.440.440.440.430.43