第二章拉伸、压缩与剪切

Saturday,February4,2023材料力学第二章轴向拉伸和压缩第二章拉伸、压缩与剪切

§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力§2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力§2.4材料拉伸时的力学性能§2.5材料压缩时的力学性能§2.10拉伸、压缩超静定问题§2.11温度应力和装配应力§2.12应力集中的概念§2.13剪切和挤压的实用计算§2.7失效、安全因数和强度计算§2.8轴向拉伸或压缩时的变形§2.9轴向拉伸或压缩的应变能§2.6温度和时间对材料力学性能的影响§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例FF拉伸2.变形特点:杆件沿轴向伸长或缩短。轴向拉伸(axialtension)：轴向伸长，横向缩短。1.受力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。FF压缩轴向拉伸与压缩的受力与变形特点：轴向压缩(axialcompress)：轴向缩短，横向变粗。§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力FN

称为轴力(axialforce)

轴力的正负规定:

一、横截面上的内力FFmmFmmFmmFN{FN}拉伸时的轴力规定为正，压缩时的轴力规定为负。x如沿轴线的外力多于2个，则在各部分的横截面上，轴力不尽相同。这时往往用轴力图表示沿轴线变化的情况。截面法轴力图：轴力沿杆件轴线变化的图形。§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力例：已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN；试画出图示杆件的轴力图。11FN1F1解：1、计算各段的轴力。F1F3F2F4ABCDAB段BC段FN3F4FN2F1F2CD段2、绘制轴力图。–++3322§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力F1F3F2F4ABCD–++1反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；2确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。意义:轴力图的特点：突变值=集中载荷值

轴力图要求：1.对整齐2.正负号3.数值§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力30kN20kN30kNA例：杆受力如图所示。试画出杆的轴力图。BD段：DE

段：AB段：解：求各段内力。113322内力的大小与杆截面的大小无关，与材料无关。40kN20kN10kN–++§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力变形前1.实验观察变形：2.平面假设(planeassumption)：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，且垂直于轴线。abcd受载后F二、横截面上的应力F§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力由平面假设可推断：拉杆所有纵向纤维变形相同，则均匀材料、均匀变形，所以内力是均匀分布的，即横截面上各点处正应力相等。3.横截面上的应力轴向拉压时，正应力计算公式§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力4.正应力公式的应用条件：正应力符号规定:拉为正，压为负。a.外力作用线必须与杆件轴线重合。b.杆端加载方式的影响：只在杆件的横向尺寸范围内。c.杆件必须是等直杆。圣文南原理：离开载荷作用处一定范围，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。变截面处平面假设不适用，应力分布不均匀，存在应力集中。§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力例：图示结构,试求杆件AB、CB的应力。已知F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15mm×15mm的方截面杆。FABC解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点B为研究对象45°12BF45°FABCBF45°45°12§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力2、计算各杆件的应力。§2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力正应力σ：拉为正，压为负。切应力τ：绕脱离体顺时针转向时为正，反之为负。a的符号：由x轴逆时针转到外法线n时为正，反之为负。符号规定：§2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力§2.4材料拉伸时的力学性能力学性能：在外力作用下材料在变形和破坏等方面所表现出的特性。试样和实验条件常温、静载§2.4材料拉伸时的力学性能§2.4材料拉伸时的力学性能一、低碳钢拉伸时的力学性能§2.4材料拉伸时的力学性能明显的四个阶段1、弹性阶段ob比例极限弹性极限2、屈服阶段bc（失去抵抗变形的能力）屈服极限E

弹性模量,单位GPa

滑移线§2.4材料拉伸时的力学性能3、强化阶段ce（恢复抵抗变形的能力）强度极限4、局部变形阶段ef§2.4材料拉伸时的力学性能5.伸长率和断面收缩率伸长率:截面收缩率:为塑性材料,为脆性材料低碳钢:为塑性材料§2.4材料拉伸时的力学性能6.卸载定律及冷作硬化

即材料在卸载过程中应力和应变是线性关系，这就是卸载定律。

材料的比例极限得到了提高，但塑性变形和伸长率降低，这种现象称为为冷作硬化。冷作硬化现象经退火后又可消除。工程上经常利用冷作硬化来提高材料的弹性阶段。如建筑用的钢筋常用冷拔工艺以提高强度。§2.4材料拉伸时的力学性能二、其它塑性材料拉伸时的力学性能有些材料，如16Mn，和低碳钢一样，有明显的四个阶段。有些材料，如H62，没有屈服阶段，但其它三阶段却很明显。有些材料，如T10A，没有屈服阶段和局部变形阶段，只有另两个阶段。§2.4材料拉伸时的力学性能

对于没有明显屈服阶段的塑性材料，可以将产生0.2%塑性应变时的应力作为屈服指标，用s0.2来表示。各类碳素钢中，随含碳量的增加，屈服极限和强度极限相应提高，但延伸率降低。§2.4材料拉伸时的力学性能

对于铸铁，拉伸时的应力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和“颈缩”现象,试件突然拉断。断后伸长率约为0.5%。为典型的脆性材料。

σb—拉伸强度极限(约为140MPa)。它是衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。三、铸铁拉伸时的力学性能§2.5材料压缩时的力学性能试样：金属材料混凝土、石料等§2.5材料压缩时的力学性能一、低碳钢压缩时的力学性能2.由于越压越扁，试样抗压能力提高，因而得不到强度极限。3.由拉伸试验可测定压缩时的主要性能，所以一般不做压缩试验。1.压缩时，E

和与拉伸时大致相同。

§2.5材料压缩时的力学性能二、铸铁压缩时的力学性能

1.试样在较小的变形下突然破坏。

2.破坏断面的法线与轴线大致成的倾角。

3.抗压强度比抗拉强度高倍。脆性材料抗拉强度低，塑性性能差，但抗压能力强，且价格低廉，宜于作为抗压构件的材料。§2.7失效、安全因数和强度计算脆性材料制成的构件，在拉力作用下，当变形很小时就会突然断裂。塑性材料制成的构件，在拉断之前先已出现塑性变形，而不能正常工作。断裂和出现塑性变形统称为失效。(强度不够)

受压短杆被压溃、压扁同样也是失效。(强度不够)

构件变形过大不能正常工作也是失效。(刚度不够)

细长压杆被压弯也是失效。(稳定性不够)

脆性材料断裂时和塑性材料出现塑性变形时的应力称为极限应力，即为保证构件有足够的强度，在载荷作用下构件的实际应力(工作应力)，显然应低于极限应力。§2.7失效、安全因数和强度计算[]--许用应力，n--安全因数 构件轴向拉伸或压缩时的强度条件为2截面设计：1强度校核：3

确定许可载荷：

根据强度条件可进行三种强度计算：§2.7失效、安全因数和强度计算例：铸工车间吊运铁水包的吊杆的横截面为矩形，尺寸b=50mm，h=25mm，吊杆的许用应力为80MPa．铁水包自重为8kN，最多能容30kN重的铁水。试校核吊杆的强度．解:1计算吊杆的轴力2校核强度所以吊杆满足强度条件。FNF§2.7失效、安全因数和强度计算例：油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。已知油缸内径D=350mm，油压p=1MPa。若螺栓材料的许用应力

=40MPa，求螺栓的内径。§2.7失效、安全因数和强度计算每个螺栓承受轴力为总压力的1/6解：油缸盖受到的力根据强度条件即螺栓的轴力为得即螺栓的直径为§2.7失效、安全因数和强度计算解：1、计算轴力,(设斜杆为1杆,水平杆为2杆)用截面法取节点A为研究对象a.根据斜杆的强度，求许可载荷AFα例：AC为50×50×5的等边角钢，AB为10号槽钢,120MPa。求F。2、求许可载荷§2.7失效、安全因数和强度计算查表得杆AC面积为A1=2×4.803cm2b.根据水平杆的强度，求许可载荷查表得水平杆AB的面积为A2=2×12.748cm2综上所述，许可载荷为§2.8轴向拉伸或压缩时的变形FFlbl1b1轴线方向的伸长为轴线方向的线应变为横截面上的应力当应力不超过比例极限时所以，得EA称为杆件的抗拉(或抗压)刚度。§2.8轴向拉伸或压缩时的变形FFlbl1b1横向应变为试验结果表明：当应力不超过比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值是一个常数。称为横向变形因数或泊松比。由于和的符号是相反的，所以与E一样是材料固有的弹性常数。§2.8轴向拉伸或压缩时的变形解：画轴力图:40kN–+10kN20kN–已知：50kN20kN30kNABCDE1m2m3m1m杆长、受力、截面面积如图示。求杆的总变形。

x解:§2.8轴向拉伸或压缩时的变形例：水平刚杆由斜拉杆CD拉住，求作用点B的位移。取水平刚杆为研究对象。画变形图。§2.8轴向拉伸或压缩时的变形例：如图所示一简易托架。BC杆为圆截面钢杆，其直径d=18.5mm，BD杆为8号槽钢．若两杆的[σ]=160MPa，E=200GPa，设F=60kN。试校核该托架的强度，并求B点的位移。解：1.计算杆的内力BFN1FFN2§2.8轴向拉伸或压缩时的变形BFN1FFN22.校核两杆的强度BC杆在工程中是允许的，强度符合要求。然而:BD杆，由型钢表查得横截面面积为托架的强度是足够的。§2.8轴向拉伸或压缩时的变形3.计算B点的位移B点的垂直位移为B点的水平位移为B点的总位移为345345§2.9轴向拉伸或压缩的应变能固体受外力作用而变形。在变形过程中，外力所作的功将转变为储存于固体内的能量。当外力逐渐减小时，变形逐渐恢复，固体又将释放出储存的能量而作功。一、应变能(StrainEnergy)

如果载荷为静载荷。根据功能原理，储存的应变能等于外力所作的功。在外力作用下，变形固体因变形而储存的能量称为应变能。符号为

。

W

——为外力作的功。§2.9轴向拉伸或压缩的应变能二、轴向拉伸或压缩的应变能

F⊿llFOFdFF1当应力小于比例极限时外力作的功杆内储存的应变能§2.9轴向拉伸或压缩的应变能三、储存于单位体积内的应变能（应变能密度）

O§2.9轴向拉伸或压缩的应变能例：设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为76.36mm²的钢索绕过无摩擦的滑轮。设F=20kN,试求刚索的应力和C点的垂直位移。设刚索的E=177GPa。ABDFFNFAyFAxCFNABCDF400400800刚索60°60°解：1.求钢索内力,以ABD为对象2.钢索的应力为:§2.9轴向拉伸或压缩的应变能ABCDF400400800刚索60°60°3.C点位移为:§2.9轴向拉伸或压缩的应变能例：如图所示一简易托架。BC杆为圆截面钢杆，其直径d=18.5mm，BD杆为8号槽钢．若E=200GPa，设F=60kN。求B点的铅垂位移。解：1.计算杆的内力BFN1FFN2查表得：§2.9轴向拉伸或压缩的应变能2.求B点的铅垂位移§2.10拉伸、压缩超静定问题2.超静定问题：由静力学平衡方程不能确定出全部未知力（外力、内力、应力）的问题。超静定问题及其解法1.静定问题：由静力学平衡方程能确定出全部未知力（外力、内力、应力）的问题。3.超静定次数n：n=未知力数目－独立平衡方程数目4.超静定问题的解题方法步骤：

(1)平衡方程；

(2)几何方程——变形协调方程；

(3)物理方程——胡克定律；

(4)补充方程：由几何方程和物理方程得出；

(5)联立平衡方程和补充方程求解。§2.10拉伸、压缩超静定问题l132§2.10拉伸、压缩超静定问题例：设杆1、2、3用铰链连接如图。杆1、2的抗拉刚度为E1A1，杆3的抗拉刚度为E3A3，外力沿铅垂方向，求各杆的内力。解：1.平衡方程2.变形协调方程3.物理方程§2.10拉伸、压缩超静定问题4.补充方程：由几何方程和物理方程得。5.解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:F132laa§2.10拉伸、压缩超静定问题例：图示结构，杆1、2、3抗拉刚度为EA，长为l，AB为刚性梁。求在力F的作用下，杆1、2、3的轴力。解：1.平衡方程2.变形协调方程3.物理方程FFN1FN2FN3A§2.10拉伸、压缩超静定问题4.补充方程：由几何方程和物理方程得。5.联立平衡方程和补充方程，解得:§2.10拉伸、压缩超静定问题aaaFl12BAFFAyFAxFN1FN2AB例：图示结构，梁AB为刚体，杆1、2的截面面积相等，材料相同。求杆1、2的内力。解：1.平衡方程2.变形协调方程3.物理方程§2.10拉伸、压缩超静定问题4.补充方程：由几何方程和物理方程得。5.联立平衡方程和补充方程，解得:§2.11温度应力和装配应力一、温度应力FRAFRBlABABFRAFRB温度上升由平衡方程得到

变形协调方程杆自由膨胀伸长为材料的线胀系数然后，再在右端作用FRB，杆缩短为实际上，由于两端固定，杆件长度不能变化，必须有§2.11温度应力和装配应力由此求出应力是碳钢的所以可见当较大时，的数值便非常可观。§2.11温度应力和装配应力lOBA12例：刚性无重杆AB，用两根抗拉刚度一样的弹性杆悬吊着。当两杆温度升高时，求两杆内产生的轴力。FN2FOyFOxFN1BOAaa解：1.平衡方程2.变形协调方程3.物理方程§2.11温度应力和装配应力4.补充方程：由几何方程和物理方程得。5.联立平衡方程和补充方程，解得:FN1为负，说明1杆是受压力，轴力与所设的方向相反。§2.11温度应力和装配应力二、装配应力1.静定结构无装配应力2.静不定结构存在装配应力。ABC12§2.11温度应力和装配应力解：三杆装配后，杆1、2受压，杆3受拉。取A点为研究对象，平衡方程变形协调方程aal例：杆3设计长度为l，加工误差为，抗拉刚度为E3A3。杆1和杆2的抗拉刚度为E1A1。求三根杆的内力。§2.11温度应力和装配应力补充方程解平衡方程和补充方程，得:物理方程§2.12应力集中的概念mmFFFFmm横截面上应力是均匀分布的F这种因杆件外形突然变化，而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。FK---理论应力集中因数。由于实际需要，有些零件必须开口。§2.12应力集中的概念截面尺寸变化越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度越严重。实验结果表明：应力集中对塑性材料的影响不大；应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意。Ｆ各种材料对应力集中的敏感程度不相同。§2.13剪切和挤压的实用计算实例§2.13剪切和挤压的实用计算§2.13剪切和挤压的实用计算螺栓连接铆钉连接销轴连接平键连接§2.13剪切和挤压的实用计算一、剪切的实用计算FFFFFFs得切应力计算公式：切应力强度条件：常由实验方法确定剪切受力特点：作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线很近。变形特点：位于两力之间的截面发生相对错动。剪切面上的剪力Fs=F假设切应力在剪切面上是均匀分布的。§2.13剪切和挤压的实用计算例：电瓶车挂钩由插销连接。插销为20钢，=30MPa,直径d=20mm。挂钩及被连接的板件的厚度=8mm，牵引力F=15kN。试校核插销的剪切强度。解：插销受力分析插销横截面上的切应力为故插销满足剪切强度要求。§2.13剪切和挤压的实用计算例：钢板厚度=10mm，其剪切极限应力为=300MPa。若用冲床将钢板冲出直径d=25mm的孔，问需要多大的冲剪力F？解：剪切面的面积冲孔所需要的冲剪力为§2.13剪切和挤压的实用计算二、挤压的实用计算FFFF挤压强度条件：常由实验方法确定*注意挤压面面积的计算假设应力在挤压面上是均匀分布的，得实用挤压应力公式§2.13剪切和挤压的实用计算例：轴的直径d=70mm，键的尺寸力偶矩Me=2kN·m，，试校核键的强度。解：1.校核键的剪切强度，截面上的剪力Fs为由平衡方程，得可见平键满足剪切强度条件。§2.13剪切和挤压的实用计算2.校核键的挤压强度由平衡方程，得或由此求得故平键也满足挤压强度要求。§2.13剪切和挤压的实用计算解：1.受力分析如图例:一铆接头如图所示，受力P=110kN，已知钢板厚度为t=1cm，宽度

b=8.5cm

，许用应力为[]=160MPa；铆钉的直径d=1.6cm，许用剪应力为[]=140MPa

，许用挤压应力为[bs]=320MPa，试校核铆接头的强度。（假定每个铆钉受力相等。）

§2.13剪切和挤压的实用计算2.剪应力和挤压应力的强度条件§2.13剪切和挤压的实用计算3.钢板的2--2和3--3面为危险面

综上所述，接头安全。解：铆钉单独取出，如左图所示，分三段，上下相同：§2.13剪切和挤压的实用计算例:两块钢板由上、下两块覆板通过铆钉相连。铆钉的许用切应力=100MPa，许用挤压应力=320MPa。校核铆钉的强度。δ=10mm,t=16mm,d=10mm,F=10kNFFδδtFF/2F/2§2.13剪切和挤压的实用计算考虑下段：考虑中段：FF/2F/2F/2FsFFsFs铆钉安全。例:

某钢桁架的一个节点如图a所示。斜杆A由两根63mm×6mm的等边角钢组成，受轴向力F=140kN作用。该斜杆用直径为d=16mm螺栓连接在厚度为10mm的结点板上，螺栓按单行排列。已知角钢、结点板和螺栓材料均为Q235钢，许用应力为[s]=170MPa,[t

]=130MPa,[sbs]=300

MPa。试选择所需的螺栓个数并校核角钢的拉伸强度。F例题1.按剪切强度条件选择螺栓个数解：由于此连接中各螺栓的材料和直径相同，且斜杆上的轴向力其作用线通过该组螺栓的截面形心，故认为每个螺栓所传递的力相等，为F/n，此处n为螺栓个数。此连接中的螺栓受双剪（图b），每个剪切面上的剪力为FF/2nF/2n(b)例题从而求得所需的螺栓个数：n=3取螺栓的剪切强度条件为例题2.校核挤压强度由于结点板的厚度（10mm）小于两根角钢肢厚度之和（2×6mm）,所以应校核螺栓与结点板之间的挤压强度。每个螺栓所传递的力为F/n，亦即每个螺栓与结点板之间的挤压压力为：FF/2nF/2n(b)例题而挤压应力为其值小于许用挤压应力[sbs]=300