2017-2018版高中数学第一章立体几何初步7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积学案2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE13学必求其心得，业必贵于专精PAGE7。2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积学习目标1。掌握柱体、锥体、台体的体积的计算公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.掌握求几何体体积的基本技巧．知识点一柱、锥、台体的体积公式几何体体积公式柱体圆柱、棱柱V柱体＝________S-柱体底面积，h—柱体的高锥体圆锥、棱锥V锥体＝________S—锥体底面积,h-锥体的高台体圆台、棱台V台体＝________________S上、S下—台体的上、下底面面积，h—高知识点二柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V＝ShV＝eq\f(1,3）（S′＋eq\r(S′S）＋S）hV＝eq\f（1，3）Sh.类型一多面体的体积例1如图①是一个水平放置的正三棱柱ABC－A1B1C1，D是棱BC的中点．正三棱柱的主视图如图②,求正三棱柱ABC－A1B1C1的体积．反思与感悟求几何体体积的四种常用方法(1)公式法：规则几何体直接代入公式求解．（2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等．（4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．跟踪训练1一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A。eq\f(1，8）B。eq\f(1,7）C。eq\f(1，6)D.eq\f（1,5)类型二旋转体的体积例2(1）一个几何体的三视图如图所示(单位：m）,则该几何体的体积为________m3.（2）体积为52cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为()A．54cm3B．54πcm3C．58cm3D．58πcm3反思与感悟要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答．(1)求台体的体积，其关键在于求高,在圆台中,一般把高放在等腰梯形中求解．（2）“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键．跟踪训练2设圆台的高为3，如图,在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________．类型三几何体体积的求法eq\x(命题角度1等体积法）例3如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________．反思与感悟（1)三棱锥的每一个面都可当作底面来处理．(2）利用等体积法可求点到面的距离．跟踪训练3如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在三棱锥A1－ABD中,求A到平面A1BD的距离d。eq\x（命题角度2割补法)例4如图,在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB,EF＝2，EF与平面AC的距离为3，求该多面体的体积．反思与感悟通过“割补法”解决空间几何体的体积问题，需要思路灵活，有充分的空间想象力，什么时候“割"，什么时候“补”，“割”时割成几个图形，割成什么图形，“补”时补上什么图形，都需要灵活的选择．跟踪训练4如图所示，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．1.已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图）,则三棱锥B1—ABC的体积为（)A。eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f（\r(3),6） D。eq\f(\r(3)，4）2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(）A．π B．2πC．4π D．8π3．棱台的上，下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是（)A．18＋6eq\r(2） B．6＋2eq\r(2)C．24 D．184．某几何体的三视图如图所示，其体积为________．5．如图是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降__________cm.1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V柱体＝Sheq\o（→，\s\up7(S′＝S)）V台体＝eq\f（1,3)h（S＋eq\r（SS′)＋S′）eq\o（→,\s\up7(S′＝0）)V锥体＝eq\f（1,3)Sh.2．在三棱锥A－BCD中，若求点A到平面BCD的距离h，可以先求VA－BCD，h＝eq\f（3V，S△BCD).这种方法就是用等体积法求点到平面的距离,其中V一般用换顶点法求解，即VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC,求解的原则是V易求，且△BCD的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．答案精析知识梳理知识点一Sheq\f（1，3）Sheq\f（1,3）(S上＋S下＋eq\r（S上·S下)）h题型探究例1解由主视图可知，在正三棱柱中，AD＝eq\r(3），AA1＝3，从而在等边三角形ABC中，BC＝eq\f（AD,sin60°）＝eq\f(\r（3）,\f（\r(3),2））＝2，所以正三棱柱的体积V＝Sh＝eq\f（1，2）×BC×AD×AA1＝eq\f（1,2)×2×eq\r（3）×3＝3eq\r（3）.跟踪训练1D[如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－AB1D1。设正方体的棱长为a，则VA1－AB1D1＝eq\f(1，3）×eq\f（1，2）a3＝eq\f（1,6)a3，故剩余几何体的体积为a3－eq\f(1,6）a3＝eq\f（5,6）a3，所以比值为eq\f(1，5），故选D。]例2（1）eq\f(8π,3)解析由所给三视图可知,该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成,底面半径为1m,圆锥的高为1m,圆柱的高为2m,因此该几何体的体积V＝2×eq\f（1，3)×π×12×1＋π×12×2＝eq\f(8π，3)(m3）．（2）A[由底面面积之比为1∶9知，体积之比为1∶27。截得的小圆锥与圆台体积比为1∶26，∴小圆锥的体积为2cm3，故原来圆锥的体积为54cm3，故选A.]跟踪训练221π例3eq\f（1，6)解析V三棱锥A－DED1＝V三棱锥E－DD1A＝eq\f（1,3）×eq\f（1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)。跟踪训练3解在三棱锥A1－ABD中，AA1是三棱锥A1－ABD的高，AB＝AD＝AA1＝1，A1B＝BD＝A1D＝eq\r(2).∵eq\f(1,3)×eq\f（1,2)×12×1＝eq\f（1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2）×eq\f（\r（3）,2）×eq\r(2)×d，∴d＝eq\f(\r（3），3)。例4解如图,连接EB,EC，AC。四棱锥E－ABCD的体积VE－ABCD＝eq\f(1，3）×42×3＝16.因为AB＝2EF，EF∥AB，所以S△EAB＝2SBEF.所以VF－EBC＝VC－EFB＝eq\f(1，2)VC－ABE＝eq\f(1,2）VE－ABC＝eq\f(1,2）×eq\f(1,2)VE－ABCD＝4。所以该多面体的体积V＝VE－ABCD＋VF－EBC＝16＋4＝20.跟踪训练4解用一个完全相同的