2017-2018版高中数学第一章导数及其应用1.4.2微积分基本定理（一）学案2-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE12学必求其心得，业必贵于专精PAGE1.4。2微积分基本定理(一）明目标、知重点1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义。2。会利用微积分基本定理求函数的积分．1．微积分基本定理如果F′（x)＝f(x),且f(x）在［a，b］上可积，则ʃeq\o\al(b，a）f(x）dx＝F(b）－F（a），其中F（x)叫做f(x)的一个原函数．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则（1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则ʃeq\o\al(b，a)f(x)dx＝S上．（2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2）,则ʃeq\o\al（b，a）f（x)dx＝－S下．（3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3),则ʃeq\o\al(b,a）f（x）dx＝S上－S下，若S上＝S下，则ʃeq\o\al(b，a)f（x)dx＝0。［情境导学]从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单,但直接用定积分的定义计算ʃeq\o\al（1，0）x3dx的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分?另外，我们已经学习了两个重要的概念—-导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系？我们能否利用这种联系求定积分？探究点一微积分基本定理思考1如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t）有连续的导数,由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t）．设这个物体在时间段［a，b]内的位移为s,你能分别用y（t），v(t)表示s吗?答由物体的运动规律是y＝y（t)知：s＝y(b）－y（a）,通过求定积分的几何意义，可得s＝ʃeq\o\al（b，a)v(t)dt＝ʃeq\o\al（b，a)y′(t)dt，所以ʃeq\o\al(b,a）v(t)dt＝ʃeq\o\al(b,a)y′（t）dt＝y(b)－y(a)．其中v(t)＝y′（t)．小结(1）如果f（x)在区间[a，b]上可积，且F′(x)＝f（x)，则ʃeq\o\al(b，a)f（x）dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理．（2)运用微积分基本定理求定积分ʃeq\o\al(b,a)f(x）dx很方便，其关键是准确写出满足F′（x)＝f（x)的F(x)．思考2对一个连续函数f（x）来说,是否存在唯一的F（x）,使F′（x)＝f(x）？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答不唯一，根据导数的性质，若F′（x)＝f(x）,则对任意实数c,[F（x)＋c］′＝F′（x)＋c′＝f（x)．不影响，因为ʃeq\o\al(b，a）f（x）dx＝［F（b）＋c］－［F（a)＋c］＝F(b）－F（a）．例1计算下列定积分：（1)ʃeq\o\al(2，1）eq\f(1,x)dx；（2)ʃeq\o\al(3,1)（2x－eq\f(1,x2))dx；（3)ʃeq\o\al（0,－π)(cosx－ex）dx.解(1）因为（lnx）′＝eq\f(1，x），所以ʃeq\o\al（2，1）eq\f(1,x)dx＝lnx|eq\o\al(2，1)＝ln2－ln1＝ln2。（2)因为(x2）′＝2x，(eq\f(1,x）)′＝－eq\f(1,x2），所以ʃeq\o\al(3,1)（2x－eq\f（1，x2)）dx＝ʃeq\o\al(3，1）2xdx－ʃeq\o\al(3，1)eq\f（1,x2）dx＝x2|eq\o\al(3,1）＋eq\f（1,x)|eq\o\al（3，1)＝(9－1）＋（eq\f（1,3)－1）＝eq\f（22,3）。（3)ʃeq\o\al（0,－π)(cosx－ex)dx＝ʃeq\o\al（0,－π）cosxdx－ʃeq\o\al(0，－π）exdx＝sinx|eq\o\al（0,－π)－ex|eq\o\al(0，－π)＝eq\f（1，eπ)－1.反思与感悟求简单的定积分关键注意两点：（1）掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数,当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2）精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．跟踪训练1计算下列定积分：（1)eq\i\in(1,2,）(x－1)5dx;（3）eq\i\in（1，2，)eq\f(1,xx＋1)dx。解(1)因为eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(1,6)x－16）)′＝(x－1）5，所以eq\i\in(1,2，）(x－1)5dx＝eq\b\lc\\rc\｜(\a\vs4\al\co1(\f（1，6)x－16））eq\o\al(2，1）＝eq\f（1，6）×（2－1)6－eq\f(1,6）×(1－1）6＝eq\f（1,6）。(2)因为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,4)sin4x））′＝sin3xcosx,所以＝eq\b\lc\\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，4)sin4x))）)＝eq\f(1，4)sin4eq\f（π，2)－eq\f(1，4)sin40＝eq\f(1,4）.(3）令f（x）＝eq\f(1，xx＋1)＝eq\f（1，x)－eq\f（1,x＋1）,取F（x）＝lnx－ln(x＋1)＝lneq\f（x,x＋1）,则F′(x）＝eq\f(1，x)－eq\f(1,x＋1）。所以eq\i\in(1，2,)eq\f(1,xx＋1）dx＝eq\i\in（1,2，)(eq\f（1,x）－eq\f(1,x＋1））dx＝eq\b\lc\\rc\|（\a\vs4\al\co1（ln\f（x，x＋1)））eq\o\al（2，1）＝lneq\f(4,3）。探究点二分段函数的定积分例2已知函数f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（sinx,0≤x≤\f（π，2），，1,\f(π,2)≤x≤2，,x－1，2≤x≤4.)）先画出函数图象,再求这个函数在[0,4］上的定积分．解图象如图．＝1＋（2－eq\f(π，2））＋(4－0)＝7－eq\f(π，2).反思与感悟求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．跟踪训练2设f（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x2,x≤0,,cosx－1,x>0，)）求ʃeq\o\al（1，－1）f（x)dx.解ʃeq\o\al（1，－1）f（x）dx＝ʃeq\o\al(0,－1）x2dx＋ʃeq\o\al（1，0)（cosx－1）dx＝eq\f（1,3）x3|eq\o\al（0,－1）＋（sinx－x)|eq\o\al（1,0)＝sin1－eq\f（2,3）.探究点三定积分的应用例3计算下列定积分：ʃeq\o\al(π，0)sinxdx，ʃeq\o\al（2π，π)sinxdx,ʃeq\o\al（2π,0）sinxdx.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．解因为（－cosx)′＝sinx,所以ʃeq\o\al(π,0)sinxdx＝（－cosx)|eq\o\al(π,0)＝（－cosπ)－(－cos0)＝2；ʃeq\o\al（2π，π)sinxdx＝(－cosx）｜eq\o\al（2π，π）＝（－cos2π）－(－cosπ）＝－2；ʃeq\o\al(2π，0）sinxdx＝(－cosx)｜eq\o\al(2π,0）＝(－cos2π）－(－cos0)＝0。可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是0:定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：（1）位于x轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3）定积分的值就是位于x轴上方曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．反思与感悟求平面图形面积的步骤：(1)画函数的图象，联立方程组求出曲线的交点坐标．（2)将曲边形的面积转化为曲边梯形的面积．（3）确定被积函数和积分区间，计算定积分，求出面积．跟踪训练3求曲线y＝sinx与直线x＝－eq\f（π，2)，x＝eq\f（5，4）π，y＝0所围图形的面积（如图所示)．解所求面积为S＝ʃeq\f(5,4)π－eq\f(π，2）｜sinx｜dx＝－ʃ0－eq\f（π，2)sinxdx＋ʃeq\o\al（π，0）sinxdx－ʃeq\f(5，4)ππsinxdx＝1＋2＋（1－eq\f(\r(2),2))＝4－eq\f（\r（2)，2)。1．定积分ʃeq\o\al（1，0)（2x＋ex)dx的值为（）A．e＋2 B．e＋1C．e D．e－1答案C解析ʃeq\o\al（1，0)(2x＋ex）dx＝(x2＋ex）|eq\o\al（1，0）＝e.故选C。2．若ʃeq\o\al（a，1）（2x＋eq\f（1，x)）dx＝3＋ln2，则a的值是(）A．5B．4C．3D．2答案D解析ʃeq\o\al(a，1）(2x＋eq\f（1，x）)dx＝ʃeq\o\al(a，1）2xdx＋ʃeq\o\al（a,1)eq\f（1，x)dx＝x2｜eq\o\al（a,1）＋lnx｜eq\o\al（a，1)＝a2－1＋lna＝3＋ln2,解得a＝2。3．ʃeq\o\al（2,0)(x2－eq\f(2,3）x）dx＝________。答案eq\f（4,3)解析ʃeq\o\al(2，0）(x2－eq\f(2,3）x）dx＝ʃeq\o\al（2，0)x2dx－ʃeq\o\al（2，0）eq\f（2,3)xdx＝eq\f（x3，3）|eq\o\al(2,0)－eq\f(x2,3)｜eq\o\al（2，0)＝eq\f(8,3）－eq\f(4，3）＝eq\f(4,3）.4．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(4x－2π，0≤x≤\f(π,2)，，cosx,\f（π，2)〈x≤π)),计算ʃeq\o\al(π,0）f(x）dx。解取F1（x)＝2x2－2πx，则F1′(x）＝4x－2π;取F2(x)＝sinx,则F2′（x）＝cosx.所以即ʃeq\o\al（π，0)f（x)dx＝－eq\f（1,2）π2－1.［呈重点、现规律]1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分