2017-2018版高中数学第一章导数及其应用1.4.1曲边梯形面积与定积分（一）学案2-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE14学必求其心得，业必贵于专精PAGE1．4。1曲边梯形面积与定积分（一）明目标、知重点1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积及变力所做的功．1．曲边梯形的面积（1）曲边梯形:曲线与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示）．（2)求曲边梯形面积的方法把区间［a,b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示）．(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．2．曲边三角形或曲边梯形的面积：S＝eq\o(lim,\s\do4(n→＋∞))eq\i\su(i＝0,n－1，f）(xi)Δx，克服弹簧的拉力的变力所做的功:W＝eq\o（lim,\s\do4（n→＋∞）)eq\i\su（i＝0,n－1,f）（xi)Δx。［情境导学］任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形,是由直线x＝a，x＝b（a≠b)，y＝0和曲线y＝f（x）所围成的，称之为曲边梯形,如何计算这个曲边梯形的面积呢？探究点一求曲边梯形的面积思考1如何计算下列两图形的面积？答①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．思考2如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别?答已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的,可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．思考3能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)答(如图)可以通过把区间［0,1］分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似值进行求和,就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好．求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成．思考4在“近似代替”中,如果认为函数f（x)＝x2在区间［eq\f（i－1,n），eq\f(i,n)］（i＝1，2，…，n)上的值近似地等于右端点eq\f（i,n）处的函数值f(eq\f（i，n)），用这种方法能求出S的值吗?若能求出，这个值也是eq\f（1，3)吗？取任意ξi∈［eq\f(i－1,n),eq\f(i,n)]处的函数值f(ξi)作为近似值，情况又怎样?其原理是什么？答都能求出S＝eq\f(1，3).我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”，在极限状态下,小曲边梯形可以看做小矩形．例1求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的图形的面积．解(1)分割将区间[0，1］等分为n个小区间：[0，eq\f（1，n)]，［eq\f（1，n），eq\f(2，n）]，[eq\f（2,n），eq\f(3,n)],…，［eq\f(i－1，n）,eq\f（i,n）］,…，［eq\f（n－1，n),1],每个小区间的长度为Δx＝eq\f（i,n)－eq\f（i－1，n）＝eq\f（1,n)。过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2,…，ΔSn。（2）近似代替在区间［eq\f(i－1,n),eq\f(i，n)]（i＝1,2,…，n）上,以eq\f（i－1，n）的函数值eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(i－1,n))）2作为高，小区间的长度Δx＝eq\f（1，n）作为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积，即ΔSi≈（eq\f(i－1,n))2·eq\f(1,n）.（3）求和曲边梯形的面积近似值为S＝eq\i\su（i＝1,n,Δ）Si≈eq\i\su(i＝1,n,）(eq\f（i－1，n)）2·eq\f（1，n)＝0·eq\f（1，n）＋（eq\f（1,n））2·eq\f（1，n)＋(eq\f(2，n））2·eq\f（1,n）＋…＋（eq\f(n－1，n)）2·eq\f(1，n)＝eq\f(1，n3）［12＋22＋…＋(n－1)2］＝eq\f（1,3）（1－eq\f(1，n)）(1－eq\f（1,2n)）．（4)取极限曲边梯形的面积为S＝eq\o（lim，\s\do4(n→∞)）eq\f（1,3)(1－eq\f（1，n))(1－eq\f（1,2n))＝eq\f（1,3).反思与感悟求曲边梯形的思想及步骤：（1）思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限；(3)关键:近似代替;（4)结果:分割越细，面积越精确．跟踪训练1求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．解∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0）与直线x＝0,y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝x2x≥0,y＝4))，得交点为（2，4)，如图所示，先求由直线x＝0，x＝2,y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．（1)分割将区间［0，2］n等分，则Δx＝eq\f(2,n)，取ξi＝eq\f（2i－1，n）.（2）近似代替求和Sn＝eq\i\su（i＝1，n，［)eq\f（2i－1，n)]2·eq\f（2,n）＝eq\f(8,n3）［12＋22＋32＋…＋（n－1）2］＝eq\f(8,3）(1－eq\f（1，n)）（1－eq\f(1,2n)）．（3）取极限S＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞）)Sn＝eq\o（lim,\s\do4(n→∞))eq\f(8,3）(1－eq\f（1,n)）(1－eq\f（1，2n）)＝eq\f（8，3）。∴所求平面图形的面积为S阴影＝2×4－eq\f（8,3)＝eq\f（16，3)。∴2S阴影＝eq\f(32，3)，即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的图形面积为eq\f(32，3)。探究点二求变力做功思考求变速运动的路程问题解法和曲边梯形的面积有什么联系?答求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想,将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题,求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．例2如图，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置em处,求克服弹力所做的功．解在弹性限度内,拉伸(压缩）弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩）的长度成正比,即F（x)＝kx(N），其中k为比例系数．将[0，e］n等分，记Δx＝eq\f（e,n)，分点依次为x0＝0，x1＝eq\f（e,n)，x2＝eq\f（2e,n)，…,xn－1＝eq\f(n－1e,n），xn＝e.当n很大时，在分段[xi，xi＋1］所用的力约为kxi，所做的功ΔWi≈kxiΔx＝kxieq\f（e,n）。则从0到e所做的总功W近似地等于eq\i\su（i＝0,n－1，Δ）Wi＝eq\i\su（i＝0,n－1,k）xi·Δx＝eq\i\su(i＝0,n－1,k）·eq\f(ie,n)·eq\f（e，n)＝eq\f(ke2，n2)[0＋1＋2＋…＋（n－1）］＝eq\f（ke2,n2）·eq\f（nn－1,2)＝eq\f（ke2,2）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f（1,n）））.∴弹簧从平衡位置拉长到e处所做的功为：W＝eq\o（lim，\s\do4(n→＋∞））eq\i\su（i＝0，n－1，Δ）Wi＝eq\f(ke2,2）.答克服弹力所做的功为eq\f（ke2,2）J。反思与感悟以“不变代变”的方法，把变力做功问题转化为求常力做功问题．跟踪训练2有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t）＝3t2＋2(单位:km/h），那么该汽车在0≤t≤2(单位：h）这段时间内行驶的路程S（单位：km)是多少?解(1）分割在时间区间［0，2］上等间隔地插入n－1个分点,将它分成n个小区间,记第i个小区间为[eq\f（2i－1,n)，eq\f（2i,n）］(i＝1，2，…，n),其长度为Δt＝eq\f(2i,n)－eq\f(2i－1，n）＝eq\f（2，n)。每个时间段上行驶的路程记为ΔSi(i＝1,2，…，n),则显然有S＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)Si。（2)近似代替取ξi＝eq\f(2i，n）（i＝1,2，…,n）．于是ΔSi≈ΔS′i＝v(eq\f(2i，n）)·Δt＝[3(eq\f(2i,n））2＋2]·eq\f(2,n）＝eq\f(24i2，n3）＋eq\f(4，n)（i＝1,2，…，n)．（3)求和Sn＝eq\i\su(i＝1,n,Δ）S′i＝eq\i\su(i＝1，n，)(eq\f(24i2,n3）＋eq\f（4，n）)＝eq\f(24，n3)(12＋22＋…＋n2）＋4＝eq\f（24,n3)·eq\f（nn＋12n＋1，6）＋4＝8（1＋eq\f(1,n))（1＋eq\f（1，2n)）＋4。从而得到S的近似值S≈Sn.(4）取极限S＝eq\o（lim,\s\do4(n→＋∞)）Sn＝eq\o(lim,\s\do4（n→＋∞）)[8（1＋eq\f(1，n)）（1＋eq\f(1，2n））＋4］＝8＋4＝12.所以这段时间内行驶的路程为12km.1．把区间［1,3］n等分，所得n个小区间的长度均为（）A.eq\f(1，n)B.eq\f(2，n)C.eq\f(3,n)D。eq\f(1，2n）答案B解析区间[1,3］的长度为2，故n等分后,每个小区间的长度均为eq\f（2，n).2．函数f(x）＝x2在区间eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f（i－1，n)，\f(i,n))）上（)A．f(x）的值变化很小B．f(x)的值变化很大C．f（x）的值不变化D．当n很大时，f(x)的值变化很小答案D解析当n很大，即Δx很小时，在区间[eq\f(i－1，n)，eq\f(i，n）]上,可以认为f（x）＝x2的值变化很小，近似地等于一个常数．3．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值等于（)A．只能是左端点的函数值f（xi)B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi）（ξi∈[xi,xi＋1])D．以上答案均正确答案C4．求由曲线y＝eq\f（1，2）x2与直线x＝1,x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时,把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．答案1。02解析将区间5等分所得的小区间为[1，eq\f(6，5）］，[eq\f（6，5），eq\f(7，5)］，［eq\f（7,5），eq\f(8,5)］,［eq\f(8，5)，eq\f（9,5)］,［eq\f（9，5)，2],于是所求平面图形的面积近似等于eq\f(1，10)(1＋eq\f（36,25)＋eq\f(49，25）＋eq\f(64，25)＋eq\f（81,25)）＝eq\f（1，10)×eq\f(255,25)＝1.02.［呈重点、现规律］求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：(1)分割：n等分区间[a，b]；（2)近似代替：取点ξi∈