高中数学北师大版第一章三角函数2角的概念的推广

必修4-第1章-第2节-角的概念的推广课-练习基础练习一、选择题1．与600°终边相同的角可表示为(k∈Z)()A．k·360°＋220° B．k·360°＋240°C．k·360°＋60° D．k·360°＋260°[答案]B[解析]与600°终边相同的角α＝k·360°＋600°＝k·360°＋360°＋240°＝(k＋1)·360°＋240°，k∈Z.∴选B．2．已知α为第三象限角，则eq\f(α,2)所在的象限是()A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第一或第三象限 D．第二或第四象限[答案]D[解析]由k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，得eq\f(k,2)·360°＋90°<eq\f(α,2)<eq\f(k,2)·360°＋135°，k∈Z.当k为偶数时，eq\f(α,2)为第二象限角；当k为奇数时，eq\f(α,2)为第四象限角．3．已知S＝{α|α＝k·360°－175°，k∈Z}，则集合S中落在－360°～360°间的角是()A．185° B．－175°C．185°，－175° D．175°，－175°[答案]C[解析]k＝1,0时，α＝185°，－175°.4．下列说法中正确的是()A．第一象限角一定不是负角B．－831°是第四象限角C．钝角一定是第二象限角D．终边与始边均相同的角一定相等[答案]C[解析]－330°＝－360°＋30°，所以－330°是第一象限角，所以A错误；－831°＝(－3)×360°＋249°，所以－831°是第三象限角，所以B错误；0°角、360°角终边与始边均相同，但它们不相等，所以D错误．5．终边在坐标轴上的角的集合是()A．{φ|φ＝k·360°，k∈Z}B．{φ|φ＝k·180°，k∈Z}C．{φ|φ＝k·90°，k∈Z}D．{φ|φ＝k·180°＋90°，k∈Z}[答案]C[解析]终边落在x轴上的角的集合S1＝{x|x＝k·180°，k∈Z}，终边落在y轴上的角的集合S2＝{x|x＝k·180°＋90°，k∈Z}，于是，终边落在坐标轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{x|x＝k·180°，k∈Z}∪{x|x＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{x|x＝2k·90°，k∈Z}∪{x|x＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{x|x＝n·90°，n∈Z}．6．在四个角－20°，－400°，－2000°，600°中，第四象限的角的个数是()A．0个 B．1个C．2个 D．3个[答案]C[解析]－20°是第四象限的角；－400°＝－360°－40°与－40°角的终边相同，是第四象限的角；－2000°＝－6×360°＋160°与160°角的终边相同，是第二象限的角；600°＝360°＋240°与240°角的终边相同，是第三象限的角．二、填空题7．已知点P(0，－1)在角α的终边上，则所有角α组成的集合S＝_______________.[答案]{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}(或{α|α＝－90°＋k·360°，k∈Z})[解析]点P在y轴的负半轴上，又270°的终边是y轴的负半轴，则S＝{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}．8．若α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝______________.[答案]k·360°＋60°，k∈Z[解析]先求出β的一个角为α＋180°＝60°.再由终边相同角的概念知：β＝k·360°＋60°，k∈Z.三、解答题9．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．[解析]与530°终边相同的角为k×360°＋530°，k∈Z.(1)由－360°<k×360°＋530°<0°，k∈Z可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.(2)由0°<k×360°＋530°<360°且k∈Z可得k＝－1，故所求的最小正角为170°.(3)由－720°<k×360°＋530°<－360°且k∈Z得k＝－3，故所求的角为－550°.10．已知eq\f(α,3)＝k·360°＋60°(k∈Z)，求eq\f(α,2)，并指出eq\f(α,2)角的终边所在位置．[解析]∵eq\f(α,3)＝k·360°＋60°(k∈Z)，∴α＝3k·360°＋180°(k∈Z)．∴eq\f(α,2)＝3k·180°＋90°(k∈Z)．当k为偶数，即k＝2n(n∈Z)时，eq\f(α,2)＝1080°n＋90°(n∈Z)，这时eq\f(α,2)角的终边在y轴的正半轴上；当k为奇数，即k＝2n＋1(n∈Z)时，eq\f(α,2)＝1080°n＋540°＋90°(n∈Z)，这时eq\f(α,2)角的终边在y轴的负半轴上．能力提升一、选择题1．若φ是第二象限角，那么eq\f(φ,2)和90°－φ都不是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角[答案]B[解析]∵φ是第二象限角，∴k·360°＋90°<φ<k·360°＋180°，k∈Z，∴k·180°＋45°<eq\f(φ,2)<k·180°＋90°，k∈Z，即eq\f(φ,2)是第一或第三象限角，而－φ显然是第三象限角，∴90°－φ是第四象限角．2．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为()A．α＋β＝k·360°，k∈ZB．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD．α－β＝k·360°，k∈Z[答案]B[解析]特殊值法：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.直接法：∵角α与角β的终边关于y轴对称，∴β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.二、填空题3．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________.[答案]270°[解析]因为5α与α的始边、终边分别相同，所以5α＝α＋k·360°，k∈Z，所以α＝k·90°，k∈Z，又因为180°<α<360°，所以α＝270°.4.已知角α的终边在图中阴影表示的范围内(不包括边界)，那么角α的集合是________．[答案]{α|k·180°＋45°<α<k·180°＋135°，k∈Z}[解析]当角的终边在一，三象限角平分线上时α1＝k·360°＋45°，α2＝k·360°＋180°＋45°，而α1＝2k·180°＋45°，α2＝(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z，∴α1，α2表示为α＝n·180°＋45°，n∈Z，同理角的终边在二，四象限角平分线上时，β＝n·180°＋135°，n∈Z.∴角α的范围为{α|k·180°＋45°<α<k·180°＋135°，k∈Z}．三、解答题5．(1)写出与－1840°角终边相同的角的集合M；(2)把－1840°角写成k·360°＋α(0°≤α<360°)的形式，并指出其是第几象限角；(3)若角α∈M且α∈(－360°，0°)，求角α.[解析](1)由终边相同的角的概念得：M＝{β|β＝k·360°＋(－1840°)，k∈Z}＝{θ|θ＝k·360°＋320°，k∈Z}．或M＝{θ|θ＝k·360°－40°，k∈Z}．(2)∵－1840°＝－6×360°＋320°，而320°是第四象限角，∴－1840°是第四象限角．(3)M＝{θ|θ＝k·360°＋320°，k∈Z}，又α∈M且－360°<α<0°，∴取k＝－1得，α＝－40°.6．如图所示，写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°是否是该集合中的角．[解析]由图可知，满足条件的角α的集合为{α|120°＋k·360°≤α≤250°＋k·360°，k∈Z}，∵－950°＝－3×360°＋130°，∴－950°是该集合中的角．7．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，(1)有几种终边不相同的角？(2)有几个属于区间(－360°，360°)内的角？(3)写出其中是第三象限的角的一般