第三章数控插补原理

第三章数控插补原理机械工程学院第一节概述数控机床最突出的优点是：可以根据编程，加工出较为复杂的曲线，比如圆、抛物线等。为什么数控机床能加工出这些曲线？怎样把单个的坐标运动组合成理想曲线呢？这就是插补所解决的问题！插补是一种运算程序，经过运算，判断出每一步应进哪一个坐标，进多少，本章将介绍插补的原理、方法、种类、实质等问题。机械工程学院一、插补的基本概念插补（Interpolation）：数控系统依照一定的方法确定刀具实时运动轨迹的过程。插补是协调各坐标的移动使其合成的轨迹近似于理想轨迹的方法，它是协调各坐标运动的方法。插补也是指在一条已知起点和终点的曲线上进行数据点的密化。插补有二层意思：

一是用小线段逼近产生基本线型（如直线、圆弧等）；二是用基本线型拟和其它轮廓曲线。机械工程学院插补算法：对应于每种插补方法(原理)的各种实现算法。插补功能是轮廓控制系统的本质特征。插补器：数控系统中完成插补工作的装置。软件插补器：程序，结构简单，灵活，速度慢。硬件插补器：数字电路，结构复杂，速度快。机械工程学院*插补的实质*插补要解决的问题让单独的坐标分别运动合成理想的轨迹；几个坐标同时进，还是每次进一个；判断进给那一个坐标使下一步误差更小；进多少；如果同时进给，各个坐标进给的比例是多少；选用什么样的实际轨迹合成后与理想轨迹误差最小。机械工程学院曲线方程Y=F（X）本身就代表坐标量之间的制约，函数关系表示X与Y一一对应，对于曲线上的某一点的邻域，其坐标增量关系也是确定的，即给X1一个增量△X存在一个△Y使Y1+△Y=F（X1+△X）这是△X与△Y之间有一种制约，那就是由△X找到一个△Y使F（X1+△X）等于或接近于Y1+△Y，插补就是这种寻找△X与△Y之间制约的方法。数学是通过函数关系算出来的。插补不一定是计算算出来，由于增量有一定的限制，比如规定了一个最小进给单位，比这更小的量进给起来就困难，所以插补有它独特的处理方法机械工程学院二、插补方法的分类（一）基准脉冲插补（脉冲增量插补）1．数字脉冲乘法器插补法2．逐点比较法3．数字积分法4．矢量判别法5．比较积分法6．最小差分法7．目标点跟踪法8．单步追踪法9．直接函数法10．加密判别和双判别插补法机械工程学院二、插补方法的分类（二）数据采样插补1．直线函数法2．扩展数字积分法3．二阶递归扩展数字积分插补法4．双数字积分插补法5．角度逼近圆弧插补法6．“改进吐斯丁”（ImprovedTustinMethod-------ITM）法机械工程学院三、评价插补算法的指标稳定性指标插补运算是一种迭代运算，存在着算法稳定性问题。插补算法稳定的充必条件：在插补运算过程中，对计算误差和舍入误差没有累积效应。插补算法稳定是确保轮廓精度要求的前提机械工程学院三、评价插补算法的指标插补精度：插补轮廓与给定轮廓的符合程度，它可用插补误差来评价。插补误差分类：逼近误差（指用直线逼近曲线时产生的误差）；计算误差（指因计算字长限制产生的误差）；圆整误差其中，逼近误差和计算误差与插补算法密切相关。采用逼近误差和计算误差较小的插补算法；采用优化的小数圆整法，如：逢奇（偶）四舍五入法、小数累进法等。一般要求上述三误差的综合效应小于系统的最小运动指令或脉冲当量。机械工程学院三、评价插补算法的指标合成速度的均匀性：插补运算输出的各轴进给率，经运动合成的实际速度（Fr）与给定的进给速度（F）的符合程度。速度不均匀性系数：合成速度均匀性系数应满足：

λmax≤1%机械工程学院第二节逐点比较法早期数控机床广泛采用的方法，又称代数法、醉步伐，适用于开环系统。插补原理及特点

原理：每次仅向一个坐标轴输出一个进给脉冲，而每走一步都要通过偏差函数计算，判断偏差点的瞬时坐标同规定加工轨迹之间的偏差，然后决定下一步的进给方向。每个插补循环由偏差判别、进给、偏差函数计算和终点判别四个步骤组成。逐点比较法可以实现直线插补、圆弧插补及其它曲安插补。特点：运算直观，插补误差不大于一个脉冲当量，脉冲输出均匀，调节方便。机械工程学院逐点比较法的四个节拍：1、偏差判别：判别偏差函数的正负，确定工作点相对于规划曲线的位置；2、坐标进给：根据偏差情况，控制x或y坐标进给一步，使工作点向规划轨迹靠拢；3、偏差计算：进给一步后，计算工作点与规定曲线新的偏差，作为下一步偏差判别的依据；4、终点判断：判断终点是否到达。机械工程学院一、逐点比较法直线插补1．原理1）偏差函数构造

对于第一象限直线OA上任一点(X,Y):Y/X=Ye/Xe[规划曲线：y=f（x），偏差函数：F=y-f（x）]若刀具加工点为Pi（Xi，Yi），则该点的偏差函数Fi可表示为若Fi=0，表示加工点位于直线上；若Fi>0，表示加工点位于直线上方；若Fi<0，表示加工点位于直线下方。（2）偏差函数字的递推计算采用偏差函数的递推式（迭代式）既由前一点计算后一点YXF<0F>0Pi(Xi,Yi)Ae(Xe,Ye)O机械工程学院Fi=YiXe-XiYe若Fi>=0，规定向+X方向走一步Xi+1=Xi

+1Fi+1=XeYi

–Ye(Xi

+1)=Fi

-Ye若Fi<0，规定+Y方向走一步，则有Yi+1=Yi

+1Fi+1=Xe(Yi

+1)-YeXi

=Fi

+Xe（3）终点判别直线插补的终点判别可采用三种方法。1）判断插补或进给的总步数：；2）分别判断各坐标轴的进给步数；3）仅判断进给步数较多的坐标轴的进给步数。机械工程学院2、举例对于第一象限直线OA，终点坐标Xe=6,Ye=4，插补从直线起点O开始，故F0=0。终点判别是判断进给总步数N=6+4=10，将其存入终点判别计数器中，每进给一步减1，若N=0，则停止插补。OA98754321610YX步数偏差判别坐标进给偏差计算终点判断0

F0=0∑=101F=0+XF1=F0-ye=0-4=-4∑=10-1=92F<0+YF2=F1+xe=-4+6=2∑=9-1=83F>0+XF3=F2-ye=2-4=-2∑=8-1=74F<0+YF4=F3+xe=-2+6=4∑=7-1=65F>0+XF5=F4-ye=4-4=0∑=6-1=56F=0+XF6=F5-ye=0-4=-4∑=5-1=47F<0+YF7=F6+xe=-4+6=2∑=4-1=38F>0+XF8=F7-ye=2-4=-2∑=3-1=29F<0+YF9=F8+xe=-2+6=4∑=2-1=110F>0+XF10=F9-ye=4-4=0∑=1-1=0机械工程学院3、其他象限坐标值带符号直线插补公式象限坐标进给偏差计算F≥0F＜0F≥0F＜0Ⅰ+X+YFi+1=Fi-YeFi+1=Fi+XeⅡ-X+YFi+1=Fi-YeFi+1=Fi-XeⅢ-X-YFi+1=Fi+YeFi+1=Fi-XeⅣ+X-YFi+1=Fi+YeFi+1=Fi+Xe绝对值坐标值直线插补公式象限坐标进给偏差计算F≥0F＜0F≥0F＜0Ⅰ+X+YFi+1=Fi-YeFi+1=Fi+XeⅡ-X+YⅢ-X-YⅣ+X-Y机械工程学院二、逐点比较法圆弧插补1、原理（1）偏差函数任意加工点Pi（Xi，Yi），偏差函数Fi可表示为若Fi=0，表示加工点位于圆上；若Fi>0，表示加工点位于圆外；若Fi<0，表示加工点位于圆内XYPi（Xi，Yi）ABF>0F<0机械工程学院2）偏差函数的递推计算

1）逆圆插补若F≥0，规定向-X方向走一步若Fi<0，规定向+Y方向走一步

2）顺圆插补

若Fi≥0，规定向-Y方向走一步

若Fi<0，规定向+y方向走一步（3）终点判别

1）判断插补或进给的总步数；

2）分别判断各坐标轴的进给步数；机械工程学院2、举例对于第一象限圆弧AB，起点A（4，0），终点B（0，4ABYX44步数偏差判别坐标进给

偏差计算坐标计算终点判别起点

F0=0x0=4,y0=0Σ=4+4=81F0=0-xF1=F0-2x0+1=0-2*4+1=-7x1=4-1=3y1=0Σ=8-1=72F1<0+yF2=F1+2y1+1=-7+2*0+1=-6x2=3y2=y1+1=1Σ=7-1=63F2<0+yF3=F2+2y2+1=-3x3=4,y3=2Σ=54F3<0+yF4=F3+2y3+1=2x4=3,y4=3Σ=45F4>0-xF5=F4-2x4+1=-3x5=4,y5=0Σ=36F5<0+yF6=F5+2y5+1=4x6=4,y6=0Σ=27F6>0-xF7=F6-2x6+1=1x7=4,y7=0Σ=18F7<0-xF8=F7-2x7+1=0x8=4,y8=0Σ=0机械工程学院3、其他象限绝对值坐标值圆弧插补公式偏差≥0偏差＜0线型进给偏差计算坐标计算线型进给偏差计算坐标计算CW1CC2-YFi+1=Fi-2Yi+1Xi+1=XiYi+1=Yi-1CW1CC4+XFi+1=Fi+2Xi+1Xi+1=Xi+1Yi+1=YiCW3CC4+YCW3CC2-XCW4CC1-XFi+1=Fi-2Xi+1Xi+1=Xi-1Yi+1=YiCW2CC1+YFi+1=Fi+2Yi+1Xi+1=XiYi+1=Yi+1CW2CC3+XCW4CC3-Y机械工程学院4、过象限问题处理1）分段各象限分别插补2）检零切换（过象限必然有一个坐标值为0）CW2CW1CW4CW3Y=0X=0Y=0X=0CC4CC1CC2CC3X=0Y=0X=0Y=0模拟插补机械工程学院第三节数字积分法

用数字积分的方法计算刀具沿各坐标轴的位移，数字积分法又称数字微分分析（DDA）法.1.DDA直线插补

（1）原理：积分的过程可以用微小量的累加近似：

由右图所示则X、Y方向的位移

（积分形式）XYA(Xe,Ye)VyXYA(Xe,Ye)VxVyVO

△Y

△XL机械工程学院

（累加形式）

其中，m为累加次数（容量）取为整数，m=0〜2N-1，共2N次(N为累加器位数)。令△t=1,mK=1，则K=1/m=1/2N。则（2）结论：直线插补从始点走向终点的过程，可以看作是各坐标轴每经过一个单位时间间隔，分别以增量kxe（xe/

2N

）及k

ye（ye/

2N

）同时累加的过程。累加的结果为：机械工程学院选择k时应使每次增量和均小于1，以使在各坐标轴每次分配进给脉冲时不超过一个脉冲(即每次增量只移动一个脉冲当量)，即

xe及ye的最大允许值，受到寄存器容量的限制。设寄存器的字长为N，则xe及ye的最大允许值为。为满足式上式的条件即要求,通常取,则这样既决定了系数，又保证了和均小于1的条件。故累加次数为：m=1/k=1/2N

机械工程学院

DDA直线插补：以Xe/2N、ye/2N（二进制小数，形式上即Xe、ye）作为被积函数，同时进行积分（累加），N为累加器的位数，当累加值大于2N-1时，便发生溢出，而余数仍存放在累加器中。积分值=溢出脉冲数代表的值+余数当两个积分累加器根据插补时钟脉冲同步累加时，用这些溢出脉冲数（最终X坐标Xe个脉冲、Y坐标ye个脉冲）分别控制相应坐标轴的运动，加工出要求的直线。（3）终点判别累加次数、即插补循环数是否等于2N可作为DDA法直线插补判别终点的依据。（4）组成：二坐标DDA直线插补器包括X积分器和Y积分器，每个积分器都由被积函数寄存器JVX（速度寄器）和累加器JRX（余数寄存器）组成。初始时，X被积函数寄存器存Xe，Y被积函数寄存器存ye。机械工程学院机械工程学院2.DDA法直线插补举例插补第一象限直线OE，起点为O（0，0），终点为E（5，3）。取被积函数寄存器分别为JVX、JVY，余数寄存器分别为JRX、JRY，终点计数器为JE，均为三位二进制寄存器。

累加次数

X积分器

Y积分器

终点计数器JE

备注

JVX(Xe)JRX溢出

Jvy(Ye)JRy溢出0101000011000000初始状态1101101011011001第一次迭代21010101011110010X溢出31011110110011011Y溢出41011001011100100X溢出51010011011111101X溢出61011100110101110Y溢出71010111011101111X溢出810100010110001000X,Y溢出A(5,3)XY机械工程学院3.DDA法圆弧插补DDA法圆弧插补的积分表达式 由

令 则圆弧插补时，是对切削点的即时坐标Xi与Yi的数值分别进行累加

VVyVxPABRXYO机械工程学院

(2)其特点是：1)各累加器的初始值为零，各寄存器为起点坐标值；2)X被寄函数积存器存Yi,Y被寄函数积存器存Xi，为动点坐标；3)Xi、

Yi在积分过程中，产生进给脉冲△X、△Y时，要对相应坐标进行加1或减1的修改；4)DDA圆弧插补的终点判别要有二个计数器，哪个坐标终点到了，哪个坐标停止积分迭代；5)与DDA直线插补一样，JVX、JVY中的值影响插补速度。机械工程学院机械工程学院4.DDA圆弧插补举例

YX次序X积分器X终Y积分器Y终注(Yi)(Xi)000000001011010000101初始100000001011011010101200000100001011010101100修正Yi300100101011011110100400101001001011011001011修正Yi501001110001011010011010修正Yi601111101011011100010701110001011001011000111001修正Yi修正Xi810011001001001110001910010101010111000110111000修正Yi修正Xi101011110011011111010011001011010修正Xi121010011001010001修正Xi131011100001001141010111000001000结束机械工程学院5．改进插补质量的措施

使用法插补时，其插补进给速度不仅与迭代频率（即脉冲源频率）成正比，而且还与余数寄存器的容量成反比，与直线段的长度（或圆弧半径）成正比。它们之间有下述关系成立：式中——插补进给速度；——系统脉冲当量；——直线段的长度；——寄存器的容量；——迭代频率。圆弧插补时，式中应改为圆弧半径。机械工程学院

显然，即使给定同样大小的速度指令，直线段的长度不同，其进给速度亦不同（假设和为固定），因此难以实现编程进给速度，必须设法加以改善。常用的改善方法是左移规格化和进给速率编程（FRN）。1、进给速度的均匀化措施——左移规格化：当被积函数比较小时，把被积函数寄存器中的前0移去，左移规格化可提高溢出速度，而且使溢出脉冲变得比较均匀。直线：同时左移，最高位出现1时停止圆弧：同时左移，次高位出现1时停止2、进给速率编程（FRN）——利用G93，设置进给速率数FRN，即FRN=v/L=fδ/2n或FRN=v/R=fδ/2n则v=FRN*L，或v=FRN*R，通过FRN调整插补时钟频率f，使其与给定的进给速度相协调，消除线长L与圆弧半径R对进给速度的影响。机械工程学院第四节数据采样插补

一、概述

1.数据采样插补的基本原理

粗插补：采用时间分割思想，根据进给速度F和插补周期T，将廓型曲线分割成一段段的轮廓步长L,L=FT，然后计算出每个插补周期的坐标增量。精插补：根据位置反馈采样周期的大小，由伺服系统完成。

2.插补周期和检测采样周期

插补周期大于插补运算时间与完成其它实时任务时间之和，现代数控系统一般为2~4ms，有的已达到零点几毫秒。插补周期应是位置反馈检测采样周期的整数倍。3.插补精度分析

直线插补时，轮廓步长与被加工直线重合，没有插