第三章动量与角动量01

第三章动量与角动量

§1动量定理与动量守恒定律一.冲量二.动量定理三.质点系四.质点系动量定理五.动量守恒定律

§2质心与质心运动定理一.质心二.质心运动方程

作业：3.1，3.3，3.6，3.9，3.13牛顿运动定律告诉：力作用在质点上，质点获得加速度，质点的运动状态发生变化，这个变化是力作用的效果牛顿第二定律给出了力和它的作用效果之间的定量关系，这一关系是瞬时关系，即某一时刻物体获得的加速度与该时刻所受外力的关系实际上力作用是一个过程，衡量力作用过程可以利用一段时间，也可以利用力作用下质点移动的位移。效果？设作用于物体一变力§2冲量动量定理

一.冲量

定义力与作用时间的乘积冲量记作中学：注意：力是一个恒力元冲量如果一般情况下冲量的计算公式物理意义：表示力在时间内累积量冲量是一个过程量关于“平均力”与“冲力”力的平均值：尤其当：Δt

非常短时，对应于有限大的冲量，会得到非常大的力——冲力说明：二.动量定理表明：质点在一段时间内受到的力的冲量，等于这段时间内动量的增量讨论

力对时间的累积效果是使质点的动量获得增量

由方程左边可知，使质点获得同样的动量增量取决于两个因素——力和力作用的时间。

动量定理牛顿第二定律的一种积分形式

在方程中，力为质点所受的合外力。

由方程右边可知，力在一段时间内的冲量。只与质点的始末运动状态有关，与作用过程无关。

上述方程为矢量方程，应用时可直接用矢量作图法分析。还可以写成坐标系的投影式求解。直角坐标系下，动量定理投影式判断题：

冲量的方向就是合外力的方向。（）

冲量的方向就是动量的方向。

冲量的方向就是动量增量的方向。（）（）√××例1.一长为l的细绳一端系一质量为m

的小球，另一端固定在o点，现小球以角速度ω

在水平面内作圆周运动，绳与竖直方向夹角为θ。o计算：从P点开始转一周的P解：oP由动量定理例2.一质量为m质点开始处于静止状态，试计算在力作用下，t秒后的速度解：由动量定理解：考虑任一元过程dt内，落于皮带的沙子在水平方向上所受的力。dm在水平方向上的动量增量为：加料斗靠皮带输送沙子，平均每秒钟有质量为m0的沙子被运走，已知皮带的传动速率为v。求：沙子在水平方向对皮带的作用力？例3.——由动量定理，此即dm在水平方向上所受的冲量大小：又：上面研究了牛顿运动定律的微分形式和时间积分形式，研究对象为一个质点，下面将目标对向质点系统——简称质点系三.质点系定义:

由有相互作用的若干质点组成的系统内力:系统内质点之间的相互作用力外力:系统以外的其它物体对系统内任一质点的作用力内力记作由于内力总是成对出现的，并且互为作用力和反作用力，由牛顿第三定律有外力记作表示第i个质点所受外力的合力称作质点系所受合外力类似质点，也需要定义动量、动能等物理量来描述质点系运动状态，质点系的动量力对质点系的冲量力对质点系的时间累积——质点系所受力的冲量关系？四.质点系动量定理考虑两个质点1和2组成的系统质量分别为m1，

m2

和分别是质点1和2之间的相互作用力和分别是质点1和2所受的合外力●●质点1和2分别运用动量定理质点1：质点2：等式相加，左边是？●●力对系统的冲量表明：力对质点系的冲量等于各个质点所受外力的合力的冲量，即质点系所受合外力的冲量而所有内力的冲量的矢量合等于零上式可推广到多个质点质点1：质点2：等式右边相加是？系统动量的增量合外力对系统的冲量等于系统动量的增量，系统的动量变化与内力无关推广到多个质点——质点系动量定理五.动量守恒定律由质点系动量定理可以得到一条重要的守恒定律质点系动量定理当或动量守恒定律意味：当系统所受合外力等于零时，系统的动量为常矢量，即保持不变。讨论

动量守恒的条件不是当或oP说明

动量守恒的条件不是当或如果但系统动量近似守恒

如果系统在某方向不受外力或合外力在此方向上的分量为零，则系统动量在该方向上的分量守恒，即为常数。当当或

系统动量守恒是指系统总的动量守恒，具体某一质点的动量不一定是常量。

比牛顿定律更普遍、更基本的定律；同样只适用于惯性系系统的内力对系统的总动量没有影响内力对系统中的某一个质点的动量有影响解：对于质点的弹性碰撞，应满足：例1m2m1m1m2动量守恒：动能守恒：由第二式：两个小球的质量分别为m1和m2，开始m2静止，此后

m1以速度与m2发生弹性碰撞。试讨论：碰后两物体运动方向间的夹角与质量的关系m2m1m1m2由第一式：得：由：得：故一般可分为3种情况：（1）——锐角（2）——直角（3）——钝角m2m1m1m2例2.一个质量为M，半径为R的四分之一圆弧光滑槽，停在光滑的水平面上，另一质量为m的滑块，自圆弧顶端A由静止下滑，求：当滑块滑到底B

时，M

在水平方向上移动的距离。MABm解：选M和m这为一系统，受力分析如图RMABmR为系统内力为系统外力，方向均沿竖直方向水平方向系统不受外力，建立如图坐标系yxo由动量守恒定律MABmRyxo滑块自圆弧顶端A由静止下滑滑到C有

设M的速度为m的速度为两边同乘对时间

dtCMABmRyxo

分别是M和m相对桌面的位移在水平方向投影，负号表示二者方向相反

m相对M的位移在水平方向投影为MABmRyxo例4.火箭运动的基本原理ROCKETMxyzodm相对地面相对火箭t+dt

时刻系统总动量t+dt

时刻t时刻t

时刻系统总动量ROCKETMdm忽略重力和空气阻力，系统动量守恒ROCKETMdmROCKETMdm假设火箭喷出燃料气体的相对速度u

恒定，火箭点火时的质量为M0

，初速度为0，燃料喷完后火箭质量为M

f（火箭的有效载荷），火箭所能达到的末速度为v

f

上式积分ROCKETMdm这就是燃料喷射完以后火箭所能达到的速度其中比值称作质量比记作ROCKETMdm要使提高有两个途径：一是增大，二是提高质量比要提高需要提高质量比通过化学燃烧，所能达到的理论值，实际ROCKETMdm当显然对于单级火箭要达到这样的质量比是不可能的实际中采用的解决办法是采用多级火箭为各级火箭的质量比要使在讨论一个质点系的运动时，常常引入质量中心的概念，简称质心§2质心与质心运动定理(自学）一.质心设一个质点系由N个质点组成，则质点系质心的矢径以分别表示各质点的质量。以分别表示各质点对某一参考点的矢径

定义o●●●●●●●说明：

质心是相对质点系本身的一个特定位置，实际上可能在质心位置处无质量，当质点系运动时质心的位置也随之变动。质点系的总质量

质心的位置矢量与参照系的选择有关，但可以证明质心相对于质点系内各质点的相对位置是不会随参照系的选择而变化的，

在坐标系下质心的表示（直角坐标系）●●●●●●●oxyz

在坐标系下质心的表示（直角坐标系）●●●●●●●oxyz注意：要与重心区别开重心是一个物体各部分所受重力的合力作用点，可以证明尺寸不十分大的物体，它的质心和重心的位置重合

连续质量分布的物体的质心对质量连续分布的物体，可以认为是由许多质点（通常称作质元）组成的，

以表示其中任一质元的质量，以表示其矢径，则物体的质心的矢径可由积分法得到●dm有一任意三角形，每个顶点有一质量为m的质点，求质心的坐标。（x1，y1）x2

质心的计算例7.xyo解：建立如图坐标系质点的坐标分别为（x1，y1），（x2，0），（0，0）例8.求：长度为L，质量为m的均匀直棒的质心。解：建立ox坐标系在直棒上坐标为x处，取一长度为dx质元，xo例9.求：半径为R，质量为m

的均匀半圆环的质心。解：建立xoy坐标系xy在半圆环上取一线元oxyo●C二.质心运动方程表示：质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动速度的乘积将上式对时间求导数，可得质心的运动速度这一总动量对时间的变化率质心运动的加速度——质心运动方程质点系所受合外力等于质点系的质量乘以质点系质心的加速度？设想：

一个质点系的质心的运动，就如同这样一个质点的运动，该质点质量等于整个质点系的质量并且集中在质心，而此质点所受的力是质点系所受合外力注意：实际上可能在质心位置处既无质量，又未受力——质心运动方程质心运动方程表明了质心这一概念的重要性这一定理告诉，一个质点系内各个质点由于内力和外力的作用，它们的运动情况可能很复杂。但相对于此质点系有一个特殊的点，即质心，它的运动可能相当简单，只由质点系所受的合外力决定——质心运动方程例如：高台跳水运动员离开跳台后，他的身体可以做各种优美的翻滚伸缩动作，但他的质心却只能沿着一条抛物线运动——质心运动方程例10一段长度为l

的均匀绳子，总质量为m，其一端固定于o点，在光滑水平面内沿逆时针方向围绕o

点以角速度ω作整体转动，求：绳子内部距o

点为x处的张力T

。ω●解