第一章-矢量分析

1第一章矢量分析标量和矢量矢量的代数运算矢量的标积和矢积4标量场的方向导数与梯度5矢量场的通量与散度6

矢量场的环量与旋度7无散场和无旋场8格林定理9矢量场的惟一性定理10亥姆霍兹定理11正交曲面坐标系21.1标量与矢量1.标量：只有大小，没有方向的物理量。矢量表示为：所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。如:力F、速度V、电场E等如：温度T、长度L等其中：为矢量的模，表示该矢量的大小。为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。3根据矢量加法运算：在直角坐标系下的矢量表示:三个方向的单位矢量用表示。所以：其中：4矢量：模的计算：单位矢量：方向角与方向余弦：5例1：在直角坐标系中，

x方向的大小为6的矢量如何表示？图示法：力的图示法：61.2矢量的代数运算1.加法:

矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。a.满足交换律：b.满足结合律：72.减法：换成加法运算逆矢量：

和的模相等，方向相反，互为逆矢量。在直角坐标系中两矢量的减法运算：推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。81.3矢量的标积与矢积（1）标量与矢量的乘积：方向不变，大小为|k|倍方向相反，大小为|k|倍（2）矢量与矢量乘积分两种定义a.标量积（点积）：两矢量的点积含义：一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。9在直角坐标系中，三个坐标轴是相互正交的有两矢量点积：结论:两矢量点积等于对应分量的乘积之和。推论1：满足交换律推论2：满足分配律推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。10推论1：不服从交换律：推论2：服从分配律：推论3：不服从结合律：推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。b.矢量积（叉积）：含义：两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。11在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：两矢量的叉积又可表示为：xyzo12（3）三重积：三个矢量相乘有以下几种形式：矢量，标量与矢量相乘。标量，标量三重积。矢量，矢量三重积。a.标量三重积法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。定义：含义：

标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积。13注意：先后轮换次序。推论：三个非零矢量共面的条件。在直角坐标系中：b.矢量三重积：14例2：求：中的标量a、b、c。解：则：设15例3：

已知求：确定垂直于、所在平面的单位矢量。解：已知所得矢量垂直于、所在平面。161.4标量场的方向导数与梯度如果物理量是标量，称该场为标量场。例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：

确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：17

标量场的等值面以温度场为例：

可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不相交的。1.4标量场的方向导数与梯度18标量场的等值面:为了直观表示场在空间的变化，经常使用场的等值面来直观。所谓等值面是标量场为同一数值各点在空间形成的曲面。导体等电位面在实际应用中不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还需要知道场在不同方向上场变化的情况。应用方向性导数可以描述标量场在空间某个方向上变化的情况。1.4标量场的方向导数与梯度19标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。

标量场

在

P

点沿

l

方向上的方向导数定义为Pl20式中的grad是英文字gradient的缩写。某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，某点梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。在直角坐标系中，为标量场

的梯度可表示为若引入算符，在直角坐标系中该算符可表示为则梯度可以表示为21标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度的性质：梯度运算的基本公式：标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）22解：例=？23例计算和。

表示对

运算。表示对运算。这里zxyr

OP(x,y,z)r'

r–r'

P'(x',y',z')24解表示源点，P

表示场点。

zxyr

OP(x,y,z)r'

r–r'

P'(x',y',z')25矢量A沿某一有向曲面S的面积分称为矢量A通过该有向曲面S的通量，以标量表示，即

1.5矢量场的通量与散度通量可为正、负或零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。26闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外法线方向。当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通量一定为负。前述的源称为正源，而洞称为负源。S27已知真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电荷量q与真空介电常数0

之比，即，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。㊉㊀28但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。当闭合面

S向某点无限收缩时，矢量

A通过该闭合面S

的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场

A

在该点的散度，以

divA

表示，即式中，div

是英文字divergence的缩写；

V

为闭合面

S包围的体积。29直角坐标系下散度表达式的推导

由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为

不失一般性，令包围P点的微体积V为一直平行六面体，如图所示。则oxy在直角坐标系中计算zzDxDyDP30根据定义，则得到直角坐标系中的散度表达式为

同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P穿出该六面体的净通量为31上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。

直角坐标系中散度可表示为

因此散度可用算符表示为32散度定理或者写为从数学角度可以认为散度定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理解为散度定理建立了区域V中的场和包围区域V

的边界S上的场之间的关系。因此，如果已知区域V中的场，根据散度定理即可求出边界S上的场，反之亦然。33散度定理的证明证明：将闭面S所包围的区域V

划分成N个体积元，如图所示。取体积元用Vi表示，相应的闭合表面则为Si。于是有或写成除含部分外表面S的那些面元之外，其它处于V内的每一内部面元都是邻体积元的公共面元。图中所示的1、2号体积元的公共面元上，其外法向单位矢量en1和en2是反向的，它使得该公共面元上F的元通量在求和时将互相抵消。当取N→、→0时，总通量仅为所有外表面面元上元通量之和，即外表面S上的闭合面通量，可知上式的极限

SV12(a)(b)12en2en134拉普拉斯算子散度运算规则35例求空间任一点位置矢量r的散度。求得已知解rOxzyxzy36

证明证：37求38标量场的梯度矢量场的散度矢量场的旋度？算子39矢量场

F

沿一条有向曲线

l的线积分称为矢量场

F

沿该曲线的环量，以

表示，即1.6矢量场的环量、旋度与旋度定理可见，若在闭合有向曲线l

上，矢量场F

的方向处处与线元dl

的方向保持一致，则环量>0；若处处相反，则<0

。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。l4041已知真空中磁通密度

B沿任一闭合有向曲线

l

的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度

I

与真空磁导率

0

的乘积。即

式中，电流

I的正方向与

dl

的方向构成

右旋关系。环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。⊙I1I242旋度是一个矢量。以符号curlA表示矢量A的旋度，其方向是使矢量A具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即式中curl是旋度的英文字；

为最大环量强度的方向上的单位矢量，S

为闭合曲线

l

包围的面积。矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。

43而

推导

的示意图如图所示。oyDz

DyCMzx1234计算的示意图

直角坐标系中、、的表达式44于是

同理可得故得45直角坐标系中，旋度可用矩阵表示为

或者无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近的变化特性。因此，梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前述的梯度、散度或旋度。

46旋度与散度的区别（一）一个矢量场的旋度是一个矢量函数；一个矢量场的散度是一个标量函数。（二）旋度表示场中各点的场与漩涡源的关系;散度表示场中各点的场与通量源的关系。（三）旋度描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律;散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律.47旋度定理（斯托克斯定理）

从数学角度可以认为旋度定理建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为旋度定理建立了区域S中的场和包围区域S

的边界l上的场之间的关系。因此，如果已知区域

S中的场，根据旋度定理即可求出边界

l

上的场，反之亦然。或者48例试证任何矢量场F均满足下列等式式中，S为包围体积V

的闭合表面。此式又称为矢量旋度定理，或矢量斯托克斯定理。SVF49证明：用高斯散度定理证明。用任意常矢C点乘其两边，

左端：右端：

可知

基于常矢C的任意性，则：

证毕50散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的矢量场称为无旋场。

1.7无散场和无旋场可以证明结论：任一矢量场A的旋度的散度一定等于零。因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。51试证明enenS1S2l1l2V证明：在任意闭面S及其包围的区域V内，设矢量有连续的一阶偏导数，则

用一平面将图示闭面S剖分为S1、S2两个开面，将界定它们的围线分开画成了l1和l2，二者的循行方向应分别与en符合右手定则。由斯托克斯定理故而

由于V的任意性，必有

52结论：任一标量场

的梯度的旋度一定等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场。又可证明531.8格林定理

SVφ，ψ两任意标量场,在所区域V内有连续的二阶偏导数，在V的闭合边界S上应有连续的一阶偏导数。令矢量场

由高斯定理因为于是得格林第一公式式中：54将上式中

和

的位置交换，得式中：是

在S上的外法向导数。

将两式相减，得格林第二公式

55设任意两个矢量场P与Q

，若在区域V中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场P及Q满足下列等式：式中S

为包围V

的闭合曲面；面元dS的方向为S

的外法线方向。上式称为矢量第一格林定理。

56基于上式还可获得下式：此式称为矢量第二格林定理。57格林定理建立了区域V中的场与边界S上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。58考虑如下问题：（1）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在别的特性？（2）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它矢量场的激励源？（3）如