第3章平面力系10.16

课件制作：黄孟生平面力系第3章定义：作用线位于同一平面内、任意分布的力系称为平面任意力系或平面一般力系，简称平面力系。MAMBFAy图示为厂房建筑中常用的刚架结构中的一个刚架受力简化图。q1屋面荷载和横梁自重q2风压力q3由风压力引起的负压力F1、F2分别为吊车梁作用于牛腿A1、B1上的力ABq1F2F1A1B1q2q3FAxFByFBx▽FW重力水压力地基反力平面平行力系一、平面力系的简化(力的平移定理）

将各力向任一点（即简化中心）平移，得到一个平面汇交力系和一个平面力偶系，F1F2FiFnOA1A2AiAnF2'M2Fi'MiFn'MnFRMoMO=∑Mi主矢量主矩FR=∑Fi§3-1平面力系的简化=ΣMO(Fi)F1'M1O进而合成得到一个力和一个力偶。MO=M1+M2+…+Mi+…+Mn主矢量主矩=∑FiFR=F1'+F2'

+…Fi'

+…+

Fn'=F1+F2+…Fi+…+

Fn=∑MiOF1'F2'Fi'Fn'M1M2MiMnFRMoMi=MO

(Fi)因为所以MO=∑MO

(Fi)

平面力系向平面内一点（简化中心）简化的结果一般是一个力和一个力偶，这个力作用于简化中心，等于原力系各力的矢量和；这个力偶在原力系所在的平面内，其矩等于原力系对简化中心的矩的代数和。O'思考1：简化中心取在O'点时，简化的一般结果有无变化？

主矢量是一常矢量，与简化中心的位置无关；主矩一般随简化中心的位置不同而不同。思考2：平面汇交力系向某一点简化的一般结果？MO=∑Mi主矢量主矩FR=∑FiOF1F2FiFnFRO'FRMo′OF1'F2'Fi'Fn'M1M2MiMnFRMo二、简化结果的讨论1.FR=0，MO

≠0合力偶Mo与简化中心位置无关，为什么？2.FR≠0，MO

=0合力FR作用线过简化中心3.FR≠0，MO

≠0使

Mo=MO

(F'R)

Mo=FRdx=MoFRyxyOO'F'RdxxyOFRMoF'RO'dx可以进一步简化为合力F'RMO=MO

(F'R)合力矩定理：设平面力系简化为一个合力，则合力对于该力系平面内任一点的矩就等于各分力对同一点的矩的代数和。4.FR=0，MO

=0该力系平衡MO=∑MO

(Fi)FRxyOMoF'RO'dx三、简化结果的解析计算FR=√FRx2+FRy2FRx=

∑FixFRy=∑Fiycos(FR，x)=FRxFRMO=∑MO

(Fi)主矢：主矩：思考：平面平行力系的简化MoFRFR=

∑FiMO=∑MO

(Fi)F'RF1xyOF2F3xx=MoFR进一步简化为合力xyOFRMocos(FR，y)=FRyFR四.沿直线分布平行力的简化ABqlxyq(x)ldxxFxCF=ql例题1已知:F1=500N,F2=100N,F3=200N.求合力大小方向作用点的位置。60°F1F2F3ABCDE0.52m1.5m1m1.5m解：以E为简化中心αGFRyxMEFRβα例题2已知:H=46m,h=6m,ρ水g

=9.8kN/m3,ρ′沙g

＝8kN/m3,FW1=4500kN,FW2=14000kN.求合力大小方向作用点的位置。解：F1=ρ水gH2/2＝10368kNF2=ρ′沙gh2/2＝144kNFRx=10510kNFRy=－18500kNFR=21300kNcosa=0.4934,a=60.4°MO=－276300kN.mx=14.9m▽▽hFW1FW22m9mHF’RAMOFRaFRxFRyF1F2xyo§3-2

平面力系的平衡FR=0

MO

=0∑Fix=0∑MO

(Fi)=0∑

Fiy=0FR=FRxi+FRyj=∑

Fixi+∑

Fiyj二力矩形式三力矩形式∑MB

=0∑

MA=0∑Fix=0A、B两点的连线不垂直x轴xyAFRBBB∑

MB=0∑

MC=0∑

MA=0A、B、C三点不共线灵活运用平衡方程，不要拘泥于形式；通常尽量一个方程求解一个未知量。xyAFRBC例3：求A、B处约束反力F1F2MbbaAB解：解除约束，用约束力代替:

FAx,FAy,FB.FBFAxFAy校核：由得由得由得xy例4：求A、B处约束反力ABCFPFQ30oll/2FAxFAyFB解：解除约束，用约束力代替:FAx,FAy,FB.由由由xy例5：求A端约束力。FAxMA解除约束，用约束力代替:FAx,FAy,MA.由FQ解：FQ=ql/2αABFPlqxFAy解得例6图示塔式起重机。已知机架重量FW=500kN，重心C至右轨B的距离e=1.5m；起吊重量FP=250kN，其作用线至右轨B的最远距离l=10m；两轨A、B间距b=3m。为使起重机在空载和满载时都不致倾倒，试确定平衡锤的重量FQ（其重心至左轨A的距离a=6m)FPleFWFQabABC解：满载空载所以leFWFPFQabFAFBABC例7：FAx已知q=0.5kN/m，FG=10kN，FP=5kN，m=8kN·m。求A、D处约束力。FPACDB2m1m30oqFG1m1m1mmE解：解除约束，用约束力代替:FAx,FAy,FCD,FT=FP.由由由FCDFTFAy1.平面汇交力系的平衡方程∑Fix=0∑Fiy=02.平面力偶系的平衡方程3.平面力系的平衡方程∑MB

=0∑MA=0∑Fix=0∑MA=0∑MB=0∑MC=0∑Fix=0∑MO

(Fi)=0∑Fiy=0∑Mi=0§3-3静定与超静定、物体系统的平衡一、静定与超静定对于n个物体组成的物体系统（平面力系），最多可列3n个独立的平衡方程。约束力个数＝3n时，为静定的,约束力个数＞3n时，为超静定的（静不定）。未知数完全可由平衡方程求得超静定结构比静定结构安全，因为当静定结构中任何一个约束破坏时，就丧失了承载能力，而超静定结构中的多余约束破坏时，依然具有一定的承载能力。而且超静定结构的内力分布一般比静定结构要均匀，结构的刚度和稳定性也都有提高。物体系统：多个物体用一定的方式连接起来组成的系统。外约束：其它物体对该物体系统约束。内约束：物体系统内各物体间的相互约束。对ABC而言，A、B为外约束，C为内约束；但对AC而言，A、C均为外约束。F1aaaF22a/3a/2ACB二、物体系统的平衡例8：求图示联合梁A、B和D处的约束反力.解：联合梁由两部分组成：主要部分（主梁）：ADC;次要部分（次梁）：BC.F1F260°ABCDFAxFAyFDFBF1F260°ABCD2m2m2m1.5m1.5mFBF260°FCyBCFCxF1F’CxACDFAxFAyFDF’CyCB部分：ADC部分：xy再由F1F260°ABCDFAxFAyFDFB由得：F1F260°ABCD2m2m2m1.5m1.5m也可以：F1F260°ABCD2m2m2m1.5m1.5mFP如果在铰处有集中力作用：可以把集中力任意分配在主梁和次梁上；如果在铰处有力偶作用：一定要分清力偶作用在铰的左边还是右边。F1F260°ABCD2m2m2m1.5m1.5mM作用在次梁上的力偶，通过铰链要传到主梁上；作用在主梁的力偶对次梁没影响。例9：ClABqh求A、B处的约束反力.FBxFByFAxFAy解：FAy=FBy=ql/2FAx=FBx取AC部分ΣMCi=0FAxh-FAyl/2+ql/2×l/4=0CAqFCxFCyFAxFAyFAx=FBx=ql2/8hxy例10：讨论如果A、B位于不同高程，如何求解？FBxFAxFAy一般要联立求解ClABF1HF2lhabFByCBHF2lbFBxFBy整体右半部分整体xy由受弯杆与桁杆（连杆——二力杆）混合组成的结构——组合结构。求解组合结构中桁杆的内力静定组合结构的内力计算例11：求BC杆的内力.FCBABCFPFQ30oll/2FAxFAy30oACFPFQl/2xy已知：M=60kN.m，q=24kN/m.求BD杆内力。例12：ABCDEM4m4m3mqFDEFAxFAyABCDMqFED=－84kNxyFDAFDCDFDBFDEBCFCDMFBxFByFCD=－25kNFDEFAxFAyABCDMqxy已知FP=5kN.求A、C

、D、G处的约束力。例13：FDFcx2、取AGB1、整体平衡AHCG45OE1m1m1mDB45OFpFAxAG45OBFpFAyFGHFcyxy§3-4

平面静定桁架的内力分析桁架的定义：由一些细长直杆按适当方式分别在两端连接而成的几何不变的结构。（杆系结构）几何不变与几何可变：节点：各杆件之间相接合的点。木桁架钢桁架钢筋混凝土桁架按材料分：平面桁架：所有杆件的轴线在同一平面内。按空间形式分：空间桁架静定桁架按内力计算分：超静定桁架木桁架的榫接节点钢桁架的节点：焊接铆接钢筋混凝土桁架的节点：刚性连接桁架的工程应用：两个假设：1.不计连接处的摩擦，桁架中各直杆两端都用光滑铰链连接，铰的中心就是节点的位置。各杆轴线都通过节点。2.所有外力（包括荷载和支座反力）都集中作用在节点上。如果外力不是作用在节点上，作等效地分配到节点上处理。假设偏安全桁架中各杆内力——轴力AB二力杆件（连杆或桁杆）轴向力：拉力或压力CEFCIEDABGHFFF/2F/2aaaa30°30°30°30°一、节点法平面汇交力系∑Fix=0∑Fiy=0IFFCIEDABGHFFF/2F/2aaaa30°30°30°30°FAFH例14

用节点法求各杆内力零杆——内力为零的杆件零杆判断：①②1.如有三根杆件在某一节点相交，其中两根在同一直线上，且该节点不受外力作用，则第三根杆（不必与另两根杆垂直）必为零杆；2.如只有两根不共线的杆件相交于一节点，节点上无外力，则该两杆必均为零杆。③FCIEDABGHFFF/2F/2aaaa30°30°30°30°FHFAFCIEDABGHFFF/2F/2aaaa30°30°30°30°FHFAGFGHFGDFGIxyxyxyxyHFHIFHG