第3章 动量角动量

一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为则该质点作（）（A）匀速直线运动（B）变速直线运动（C）抛物线运动（D）一般曲线运动B一个质量为m的质点，仅受到力的作用，式中k为常量,为从某一定点到质点的矢径。该质点在处被释放，由静止开始运动，则当它到达无穷远时的速率为

。解：一冰块由静止开始沿与水平方向成倾角的光滑斜屋顶下滑10m后达到屋缘。若屋缘高出地面10m，则冰块从脱离屋缘到落地过程中越过的水平距离为

。（忽略空气阻力，g值取）解：将冰块的运动分为两个过程来分析：第一个过程，即冰块从静止沿光滑斜面运动到屋缘处。mgNxyX方向：运动到屋檐处时的速度大小为：第二个过程为抛体运动，建立坐标系如图所示。我们往往只关心过程中力的效果——力对时间和空间的积累效应。力在时间上的积累效应：平动冲量动量的改变转动冲量矩角动量的改变力在空间上的积累效应功改变能量

牛顿定律是瞬时的规律。但在有些问题中，如：碰撞（宏观）、（微观）…散射第三章

动量与角动量

本章主要内容§3-1

冲量与动量定理

§3-6质点的角动量和角动量定理

§3-2动量守恒定律§3-7角动量守恒定律§3-3火箭飞行原理

§3-8质点系的角动量定理§3-4质心

§3-9质心参考系中的角动量§3-5质心运动定理§3-1冲量与动量定理

冲量力对时间的积累定义：力与作用时间的乘积，常用表示单位：牛顿·秒

冲量的计算

恒力的冲量

变力的冲量积分，得：

冲量的分量形式说明：冲量是矢量，是过程量。

动量定义：质点的质量与速度的乘积，即：

动量的分量形式：

动量是矢量动量是描述物体机械运动状态的物理量——状态量。

动量定理从牛顿第二定律出发，并根据动量的定义可得：——

力的作用可以使动量变化上式可改写为：——

力对时间的积累等于动量增量微分形式考虑一段过程，力作用一段时间，两端积分：积分形式动量定理的分量形式：注意：动量定理只适用于惯性系。

冲力物体受到冲击，动量会明显改变。冲击过程持续一般时间很短，因此冲击中物体受力——冲力具有作用时间短、量值大的特点，通常是变力。Fx(t)t平均冲力：冲量可表为F为恒力时，可以得出I＝FtF为变力时，为求平均值提供了一个有效方法:例：质量分别为和，速度分别为和的两个质点A和B，受到相同的冲量作用，则[](A)A的动量增量的绝对值比B小(B)A的动量增量的绝对值比B大(C)A、B的动量增量相等(D)A、B的速量增量相等C例、质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速率飞来，被板推挡后，又以20m/s的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为45o和30o，求：（1）乒乓球得到的冲量；（2）若撞击时间为0.01s，求板施于球的平均冲力的大小和方向。45o30o

nv2v145o30o

nv2v1Oxy解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。设挡板对球的冲力为则有：取坐标系，将上式投影，有：为I与x方向的夹角。

[例]

一柔软绳长l

，线密度r，一端着地开始自由下落，下落的任意时刻，给地面的压力为多少？ox证明：取如图坐标，设t时刻已有(l-y)长的柔绳落至桌面，随后的dt时间内将有质量为

dy的柔绳以

dy/dt的速率碰到桌面而停止，它的动量变化为：根据动量定理的微分形式，有：桌面对柔绳的冲力为：柔绳对桌面的冲力F＝－F’即：而已落到桌面上的柔绳的重量为所以给地面的压力为：例：如图所示，圆锥摆的摆球质量为，速率为，圆半径为。当摆球在轨道上运动半周时，求摆球所受重力冲量的大小，拉力冲量的大小和合外力的冲量大小。解：根据冲量定义可得摆球所受重力的冲量大小为：根据动量定理可得合外力冲量为：选摆球初速度的方向为正，初动量为，在轨道上运动半周后，此时摆球速度的方向恰好与正方向相反，即摆球的末动量为即合外力冲量的大小为，负号表示与所选正方向相反。小球所受拉力冲量的大小为：例：力作用在质量m=2kg的物体上,使之从静止开始运动,则物体在3秒末的速度为

。解：由动量定理分量式，有[例]一辆运煤车以的速率v从煤斗下面通过，煤从煤斗中以恒定的速率b

=

dm/dt装煤漏入车厢，如图所示。设煤车与地面的摩擦系数为，t

时刻车箱和所载煤的质量为M如果保持车的速率不变，应以多大的牵引力拉车厢？解：以M和dt时间里落到车厢的煤粒dm为质点系。水平方向运用动量定理：铅直方向:略去二阶无穷小量：解得克服车厢和其中的煤的重量引起的摩擦力克服落下煤粒对车厢冲力引起的摩擦力将下落煤获得水平动量所需牵引力解的意义：§3-2动量守恒定律

两个质点的系统

质点系的动量定理

（外力、内力）n个质点的系统由于内力总是成对出现的，所以矢量和为零。质点系动量定理微分形式最后简写右边令：（积分形式）如果质点系所受和外力为零考虑质点系的动量定理：守恒动量守恒定律：当一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系的总动量保持不变。

动量守恒是指质点系总动量不变。质点系中各质

点的动量是可以变化的，质点通过内力的作用交换

动量。说明：则有，常矢量

动量守恒条件：合外力为零。与内力无关。当质点系内部的作用远远大于外力时，可以忽略外力的作用，近似地认为系统动量守恒。例如：碰撞、爆炸等问题。

动量守恒定律的分量形式：若某个方向上合外力为零，则该方向上动量守恒，尽管总动量可能并不守恒。

动量定理和动量守恒定律只在惯性系中成立。动量守恒定律是牛顿定律的必然推论，但它是自然界的普遍规律，不依赖于牛顿定律而成立，宏观和微观领域均适用。解题步骤：1．选好系统，分析要研究的物理过程；2．进行受力分析，判断守恒条件；3．确定系统的初动量与末动量；4．建立坐标系，列方程求解；5．必要时进行讨论。例题：水平光滑铁轨上有一车，长度为l，质量为m2，车的一端有一人，质量为m1，人和车原来都静止不动。当人从车的一端走到另一端时，人、车各移动了多少距离？

解：以人、车为系统，在水平方向上不受外力作用，动量守恒。设人和车相对地面的速度分别为和，建立坐标系如图所示，则有：人相对于车的速度设人在时间t内从车的一端走到另一端，则有在这段时间内人相对于地面的位移为

小车相对于地面的位移为

§3-3火箭飞行原理

“神州”号飞船升空火箭在无大气层的太空中飞行，是靠向后喷射燃料获得反冲动力。由于无外力作用，动量守恒。由动量守恒定律设M为火箭在t时刻的总质量，dt时间喷出dm质量的燃料，相对火箭以u的速度喷射。xMvdmMdmv+dvt时刻t+dt时刻t时刻总动量t+dt时刻总动量积分火箭受燃料的反冲力为多级火箭第一宇宙速度

结论：

火箭在燃烧后所增加的速度正比于相对喷射速度u和火箭的始末质量比(M0/M1)的自然对数。

火箭通过喷射燃料获得的推力正比u于和dm/dt。§3-4质心

质心——质量中心。质心的位置矢量表为设一质点系中各质点m1,

m2

,…,

mN

的空间坐标分别为(x1,

y1,

z1),(x2,

y2,

z2),…,(xN

,

yN

,

zN

)

。则质心

C的坐标定义为xzOy

质心的定义质心的位矢随坐标系的选取而变化；但对一个质点系，质心的位置是固定的。对于密度均匀,形状对称的物体,其质心在物体的几何中心处;质心不一定在物体上，例如圆环的质心在圆环的轴心上；质心和重心是两个不同的概念,对于不太大的实物，质心与重心重合。(重心：重力作用点)说明：对连续质量的物体，质心位置可用积分式计算：质元dm视为质点

[例]求地球和月球的质心位置。已知地球、月球质量分别为M=

5.981024kg和

m=

7.351022kg，地球中心与月球中心的距离为

L=

3.84105km。解：地球和月球本身的质心位于它们各自的几何中心。地月系统的质心必定在它们的连线上。选取坐标如图，原点在地球中心。

LmMOxC

[例]

求质量均匀分布的半球体的质心位置。解：由对称性可知，质心在半球体的对称轴（图中z轴）上，只需算出zC。如图，取的薄片dm，设密度为。zCzdz即质心到圆心的距离为半径的。§3-5质心运动定理

质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动速度的乘积。质心速度与质点系的总动量质心运动定理质点系的动量定理质心运动定理说明质心速度不变就是动量守恒（同义语）（1）它与牛顿第二定律在形式上完全相同，相当于系统的质量全部集中于系统的质心，在合外力的作用下，质心以加速度ac

运动。质心代替质点系整体的平动。不变（2）当合外力为零时，质心加速度ac=0，运动员跳水投掷手榴弹（3）质心运动定理表明了“质心”的重要性只要外力确定，不管作用点怎样，质心的加速度就确定，质心的运动轨迹就确定，即质点系的平动就确定。例题：水平光滑铁轨上有一车，长度为l，质量为m2，车的一端有一人，质量为m1，人和车原来都静止不动。当人从车的一端走到另一端时，人、车各移动了多少距离？

解：动量守恒问题也可以利用质心速度不变求解。

分析：人和车构成的系统，在水平方向上不受力，因而水平方向的质心速度不变。又因为原来质心静止，所以在人走动过程中质心始终静止，因而质心的坐标值不变。当人在左端时，人和车的质心坐标为当人在右端时，人和车的质心坐标为由得：又有：则：

[例]

一柔软绳长l

，线密度r，一端着地开始自由下落，下落的任意时刻，给地面的压力为多少？\yoy解：由图中可看出,下落的绳子质心的坐标yC

是随绳子的下落而改变的,按如图所选的坐标,其质心位于

\yoyyC作用于绳子的合力为：其中，为桌面对绳子的压力。由质心运动定理，因此，绳子对桌面的压力的大小为例3：水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球，球的质量M，纸被拉动时与球的摩擦力为F，求：t

秒后球心相对桌面移动多少距离？xo解：即：球心做匀加速直线运动设：t=0时,xco=o，vco=0

思考：摩擦力F的方向?c则有：根据质心运动定律：§3-6质点的角动量和角动量定理

引入角动量的意义：和动量一样，角动量服从守恒定律，因此它是力学中最重要的物理量之一。

质点的角动量质点对O点的角动量（定义）设一质点具有动量，由惯性系中某一固定点O指向它的位置矢量为，则该质点对O点的角动量为的大小：的方向：垂直于和构成的平面。右手螺旋法则赝矢量单位：kg·m2·s-1说明：角动量是矢量。

角动量的分量式：同一质点相对于不同的点，角动量不同。在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。在角动量的定义中并未对质点做何种运动加以限制，即使质点做直线运动，在选定固定点后，仍可引进角动量的概念。例1、一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标下的矢径为：其中a、b、皆为常数，求该质点对原点的角动量。解：已知质量为m的质点以速度沿一直线运动，则它对直线外垂直距离为d的一点的角动量大小是

。解：例：已知地球的质量，地球与太阳的中心距离，若近似认为地球绕太阳作匀速率运动，，求地球对太阳的角动量。解：如图所示，O点为太阳中心，地球对太阳中心的角动量为：因为与垂直，角动量大小为：方向：垂直于和构成的平面，方向向上。

质点的角动量定理

力矩的定义（对点）设O为惯性系中的某一固定点，由它指向质点的位置矢量为，则该质点对O点的力矩为的大小：

角动量定理（对点）考虑角动量的变化率：角动量定理

：质点所受合外力矩等于它的角动量对时间的变化率，即注意：合外力矩和角动量是对某惯性系中同一固定点的。微分形式冲量矩积分形式§3-7角动量守恒定律

角动量守恒定律：如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此质点对该点的

角动量保持不变。角动量定理：说明（1）角动量守恒定律是自然界普遍适用的一条规律。（2）角动量守恒的条件：（3）动量守恒和角动量守恒是相互独立的定律实现上述条件，可以是还可能是

与

平行或反平行，例如有心力情况。动量不守恒角动量守恒如行星运动例：我国第一颗人造地球卫星“东方红”绕地球运行的轨道为一椭圆，地球在椭圆的一个焦点上，卫星在近地点和远地点时距地心分别为和，在近地点时的速度为，求卫星在远地点时的速度。解：卫星在轨道上任一处受地球的引力始终指向地心，引力对地心的力矩为零，因此卫星对地心的角动量守恒，即近地点的角动量等于远地点的角动量。例：光滑水平台面上有一质量为m的物体栓在绳的一端，轻绳的另一端穿过台面上的小孔被一只手拉紧，并使物体以初始角速度作半径为的圆周运动。手拉着绳以匀速率v向下运动，使半径逐渐减小，求半径减小为是物体的角速度；若以向下开始拉动时为计时起点，求角速度与时间的关系。解：在水平方向上，物体只受绳的拉力作用，拉力对小孔的力矩为零，物体对小孔的角动量守恒，即：考虑到，应有：再按题意，，代入上式，§3-8质点系的角动量定理

质点系的总角动量质点系对某点的总角动量定义为：质点系的各质点对该定点的角动量的矢量和，即质点系的角动量定理质点系的角动量