第2章 轴向拉压

2023/2/31第二章

轴向拉伸与压缩2023/2/32§2-1引言§2-2轴力与轴力图§2-3拉压杆的应力与圣维南原理§2-4材料在拉伸与压缩时的力学性能§2-5应力集中概念§2-6许用应力与强度条件§2-7胡克定律与拉压杆的变形§2-8简单拉压静不定问题第二章轴向拉伸与压缩2023/2/33§2-1引言2023/2/34§2-1引言2023/2/35§2-1引言2023/2/36§2-1引言2023/2/37外力特征：外力或其合力的作用线通过横截面的形心，并且沿杆件轴线。变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线。轴向拉压：以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式。拉压杆：以轴线拉压为主要变形的杆件。杆的受力简图为FF拉伸FF压缩§2-1引言特点：2023/2/38§2-1引言√2023/2/39杆件在外力作用下，横截面上将产生轴力、剪力、扭矩、弯矩等内力分量。在很多情形下，内力分量沿杆件的长度方向的分布不是均匀的。研究强度问题，需要知道哪些横截面可能最先发生失效，这些横截面称为危险面。内力分量最大的横截面就是首先需要考虑的危险面。研究刚度问题虽然没有危险面的问题，但是也必须知道内力分量沿杆件长度方向是怎样变化的。§2-2轴力与轴力图2023/2/310为了确定内力分量最大的横截面，必须知道内力分量沿着杆件的长度方向是怎样分布的。杆件的内力图就是表示内力分量变化的图形。主要有轴力图、扭矩图、剪力图与弯矩图，重点是剪力图与弯矩图。2023/2/311确定外力作用下杆件横截面上的内力分量，重要的是正确应用平衡的概念和平衡的方法。这一点与工程静力分析中的概念和方法相似，但又不完全相同。主要区别在于，在静力分析中只涉及整个系统或单个构件的平衡，而在确定时，不仅要涉及单个构件以及构件系统的平衡，而且还要涉及构件的局部的平衡。因此，需要将平衡的概念加以扩展和延伸。2023/2/312整体平衡与局部平衡的概念

弹性杆件在外力作用下若保持平衡，则从其上截取的任意部分也必须保持平衡。前者称为整体平衡或总体平衡(overallequilibrium)；后者称为局部平衡(localequilibrium)。整体是指构件所代表的某一构件。局部是指可以是用一截面将杆截成的两部分中的任一部分，也可以是无限接近的两个截面所截出的一微段，还可以是围绕某一点截取的微元或微元的局部等。这种整体平衡与局部平衡的关系，不仅适用于弹性杆件，而是适用于所有弹性体，因而可以称为弹性体平衡原理(elasticbodyequilibriumbody)。2023/2/313杆件横截面上的内力与外力的相依关系所谓外力突变，是指有集力、集中力偶作用的情形；分布载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。所谓内力变化规律是指表示内力变化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外力作用点之间的杆件上没有其他外力作用，则这一段杆件所有横截面上的内力可以用同一个数学方程或者同一图线描述。补充知识：——

如何确定控制面2023/2/314控制面(controlcross-section)

在一段杆上，内力按一种函数规律变化，这一段杆的两个端截面称为控制面。控制面也就是函数定义域的两个端截面。据此，下列截面均可能为控制面：集中力(外力和约束力)作用点两侧截面。集中力偶作用点两侧截面。集度相同的均布载荷起点和终点处截面。2023/2/315杆件内力分量的正负号规则

剪力FQ(FQy或FQz)：使截开部分杆件产生顺时针方向转动者为正；逆时针方向转动者为负。

轴力FN：无论作用在哪一侧截面上，使杆件受拉者为正；受压者为负。m只适用于假想截开的截面，不能用于整个杆件的内力判断。2023/2/316

弯矩M(My或Mz)：作用在左侧面上使截开部分逆时针方向转动；或者作用在右侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为正；反之为负。

扭矩Mx：扭矩矢量方向与截面外法线方向一致者为正，反之为负。可用右手帮助来判断！mm2023/2/317这个规则只适用于假想截开的截面(或者说它只规定了这个截面上的内力正负而已)，不能用于整个杆件的内力判断。在对杆件某个部分列平衡方程的时候，内力的正负只与所建立的参考坐标系方向有关，而与上述规则无关。杆件内力分量的正负号规则注意事项mF1F2F3F1F2F2023/2/318截面法确定指定横截面上的内力分量应用截面法确定某一个指定横截面上的内力分量。首先，需要用假想横截面从指定横截面处将杆件截为两部分；然后考察其中任意一部分的受力(受力分析)；由平衡条件和平衡方程，即可得到该截面上的内力分量。2023/2/319FF1、轴力：横截面上的内力2、截面法求轴力mmFFN切:假想沿m-m横截面将杆切开。留:留下左半段或右半段。代:将抛掉部分对留下部分的作用用内力代替。平:对留下部分写平衡方程求出内力即轴力的值。FFN§2-2轴力与轴力图2023/2/3203、轴力正负号：拉为正、压为负4、轴力图：轴力沿杆件轴线的变化

由于外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆件的轴线重合。所以称为轴力。FFmmFFNFFN§2-2轴力与轴力图2023/2/321已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。11例题2-1FN1F1解：1、计算各段的轴力。F1F3F2F4ABCDAB段BC段2233FN3F4FN2F1F2CD段2、绘制轴力图。§2-2轴力与轴力图2023/2/322§2-2轴力与轴力图×2023/2/3231.横截面上的应力

杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。§2-3拉压杆的应力与圣维南原理平面假设变形后，横截面仍保持平面，且仍与杆轴垂直，只是相邻横截面间沿杆轴相对平移。

在很多情形下，杆件在轴力作用下产生均匀的伸长或缩短变形，因此根据材料均匀性的假定，杆件横截面上的应力均匀分布。这时横截面上的正应力为2023/2/3242.斜截面上的应力由平面假设可知，杆内各纵向纤维的变形相同，因此斜截面m-m和m’-m’上应力pα沿截面均匀分布。考察杆左段的平衡，得到：2023/2/325小结：在拉压杆的任意斜截面上，不仅存在正应力，而且存在切应力，其大小随截面方位角变化。当α=0时，正应力最大，其值为：当α=45o时，切应力最大，其值为：FNFN试验测试结果2.斜截面上的应力2023/2/3262.斜截面上的应力2023/2/327§2-3拉压杆的应力与圣维南原理圣维南原理当作用在杆端的轴向外力沿横截面非均匀分布时，外力作用点附近的应力也非均匀分布。圣维南指出：作用在杆端的外力只影响杆端附近的应力分布，影响区的轴向范围大约是离杆端1~2倍杆的横向尺寸。2023/2/328——横截面上的应力§2-3拉压杆的应力与圣维南原理√2023/2/329例题2-2

图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方截面杆。FABC解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点B为研究对象45°12FBF45°§2-3拉压杆的应力与圣维南原理2023/2/3302、计算各杆件的应力。FABC45°12FBF45°§2-3拉压杆的应力与圣维南原理2023/2/3312023/2/332§2-4材料拉伸时的力学性能力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的力学性能。一试件和实验条件常温、静载2023/2/333§2-4材料拉伸时的力学性能2023/2/334二低碳钢的拉伸§2-4材料拉伸时的力学性能2023/2/335明显的四个阶段1、弹性阶段ob比例极限弹性极限2、屈服阶段bc（失去抵抗变形的能力）屈服极限3、强化阶段ce（恢复抵抗变形的能力）强度极限4、局部径缩阶段ef§2-4材料拉伸时的力学性能2023/2/336两个塑性指标:断后伸长率断面收缩率为塑性材料为脆性材料低碳钢的为塑性材料§2-4材料拉伸时的力学性能2023/2/337三卸载定律及冷作硬化1、弹性范围内卸载、再加载2、过弹性范围卸载、再加载

即材料在卸载过程中应力和应变是线性关系，这就是卸载定律。

材料的比例极限变大，延伸率降低，称之为冷作硬化或加工硬化。§2-4材料拉伸时的力学性能2023/2/338四其它材料拉伸时的力学性能对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限σ0.2来表示。§2-4材料拉伸时的力学性能2023/2/339

对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和径缩现象，试件突然拉断。断后伸长率约为0.5%。为典型的脆性材料。σbt—拉伸强度极限（约为140MPa）。它是衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。§2-4材料拉伸时的力学性能2023/2/340一试件和实验条件常温、静载§2-4材料压缩时的力学性能2023/2/341二塑性材料（低碳钢）的压缩屈服极限比例极限弹性极限

拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同。E---弹性摸量§2-4材料压缩时的力学性能2023/2/342三脆性材料（铸铁）的压缩脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同！压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限脆性材料宜用作承压杆件。

§2-4材料压缩时的力学性能2023/2/343§2-4材料压缩时的力学性能√2023/2/344§2-5应力集中概念应力集中因子：1.应力集中2023/2/345

常见的油孔、沟槽等均有构件尺寸突变，突变处将产生应力集中现象。即称为理论应力集中因数1、形状尺寸的影响：尺寸变化越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度越严重。2、材料的影响：应力集中对塑性材料的影响不大；应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意。§2-5应力集中概念2023/2/3462.应力集中对构件强度的影响2023/2/3471.安全系数和许用应力工作应力极限应力塑性材料脆性材料塑性材料的许用应力脆性材料的许用应力n—安全系数—许用应力。§2-6许用应力与强度条件与构件的几何尺寸、受载方式、服役环境有关！只与材料自身属性有关，与工作方式无关。没有安全裕度，不能保证足够安全！2023/2/348二、强度条件根据强度条件，可以解决三类强度计算问题1、强度校核：2、设计截面：3、确定许可载荷：§2-6许用应力与强度条件杆件内的最大工作(服役)应力≤杆件自身材料的许用应力2023/2/349§2-6许用应力与强度条件2023/2/350解：1、研究节点A的平衡，计算轴力。

由于结构几何和受力的对称性，两斜杆的轴力相等，根据平衡方程F=1000kN，b=25mm，h=90mm，α=200。〔σ〕=120MPa。试校核斜杆的强度。FF得2、强度校核由于斜杆由两个矩形杆构成，故A=2bh，工作应力为斜杆强度足够F§2-6许用应力与强度条件例题22023/2/351D=350mm，p=1MPa。螺栓[σ]=40MPa，求直径。每个螺栓承受轴力为总压力的1/6解：油缸盖受到的力根据强度条件即螺栓的轴力为得即螺栓的直径为§2-6许用应力与强度条件例题32023/2/352

AC为50×50×5的等边角钢，AB为10号槽钢，〔σ〕=120MPa。求F。解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点A为研究对象2、根据斜杆的强度，求许可载荷AFα查表得斜杆AC的面积为A1=2×4.8cm2例题4§2-6许用应力与强度条件2023/2/3533、根据水平杆的强度，求许可载荷AFα查表得水平杆AB的面积为A2=2×12.74cm24、许可载荷§2-6许用应力与强度条件2023/2/354一纵向变形二横向变形钢材的E约为200GPa，μ约为0.25—0.33E为弹性摸量,EA为抗拉刚度泊松比横向应变§2-7胡克定律与拉压杆的变形2023/2/355§2-7胡克定律与拉压杆的变形√2023/2/356§2-7胡克定律与拉压杆的变形√2023/2/3572023/2/358例题

AB长2m,面积为200mm2。AC面积为250mm2。E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）取节点A为研究对象2、根据胡克定律计算杆的变形。AF300斜杆伸长水平杆缩短§2-7胡克定律与拉压杆的变形2023/2/3593、节点A的位移（以切代弧）AF300§2-7胡克定律与拉压杆的变形在小变形条件下，近似地用“切线”代替“圆弧”，确定变形后的位置点。类似于在小角度下，sinθ

≈

θ。在小变形条件下，可按照结构原有几何形状与尺寸计算约束反力与内力，并可采用上述以切线代替圆弧的方法确定位移。因此，利用小变形这个概念，可以使问题分析大为简化。2023/2/360§2-8拉、压超静定问题

约束反力（轴力）可由静力平衡方程求得静定结构：2023/2/361

约束反力不能由平衡方程求得超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高超静定度（次）数：

约束反力多于独立平衡方程的数独立平衡方程数：平面任意力系：

3个平衡方程平面共点力系：

2个平衡方程平面平行力系：2个平衡方程共线力系：1个平衡方程§2-8拉、压超静定问题2023/2/3621、列出独立的平衡方程超静定结构的求解方法：2、变形几何关系3、物理关系4、补充方程5、求解方程组得例题§2-8拉、压超静定问题2023/2/363例题变形协调关系:物理关系:平衡方程:解：（1）补充方程:（2）

木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固，已知角钢的许用应力[σst]=160MPa，Est=200GPa；木材的许用应力[σW]=12MPa，EW=10GPa，求许可载荷F。250250§2-8拉、压超静定问题2023/2/364代入数据，得根据角钢许用应力，确定F根据木柱许用应力，确定F许可载荷250250查表知40mm×40mm×4mm等边角钢故§2-8拉、压超静定问题2023/2/3653杆材料相同，AB杆面积为200mm2，AC杆面积为300mm2，AD杆面积为400mm2，若F=30kN，试计算各杆的应力。列出平衡方程：即：

列出变形几何关系

，则AB、AD杆长为解：设AC杆杆长为FF例题§2-8拉、压超静定问题2023/2/366

即：

列出变形几何关系

FF将A点的位移分量向各杆投影.得变形关系为

代入物理关系整理得§2-8拉、压超静定问题2023/2/367

FF联立①②③，解得：（压）（拉）（拉）§2-8拉、压超静定问题2023/2/368螺栓连接铆钉连接销轴连接§2-9连接件的强度计算耳片2023/2/369平键连接榫连接焊接连接§2-9连接件的强度计算2023/2/370§2-9连接件的强度计算实用计算法一方面对连接件的受力与应力分布进行某些简化，从而计算出各部分的“名义”应力。同时，对同类连接件进行破坏试验，并采用同样的计算方法，由破坏载荷确定材料的极限应力。2023/2/371剪切受力特点：作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线很近。变形特点：位于两力之间的截面发生相对错动。1.剪切的实用计算FF得切应力计算公式：切应力强度条件：单独由实验方法确定假设切应力在剪切面（m-m截面）上是均匀分布的§2-9连接件的强度计算2023/2/3722.挤压的实用计算

假设应力在挤压面上是均匀分布的得实用挤压应力公式挤压强度条件：常由实验方法确定*注意挤压面面积的计算F