第2章-2不确定度评定

§2.2测量不确定度评定§2.2.1不确定度的起源和基本概念一、为什么用不确定度代替误差？二、不确定度的发展历史三、有关不确定度的基本概念§2.2.2不确定度评定步骤§2.2.3不确定度评定举例1§2.2.1不确定度的起源和基本概念一、为什么用不确定度代替误差？误差概念的缺点：逻辑概念混乱和评定方法不统一。首先，由于被测量真值在严格意义上是无法获得的，所以也无法真正得到误差；其次，“误差”这一术语的使用经常出现概念混乱的情况，这是经典误差评定遇到的一个主要问题；再次，在分析误差来源时，存在评定方法不统一的问题。最终造成不仅各国的误差评定方法不同，而且不同领域或不同的人员对测量误差的处理方法也往往各不相同。

2二、不确定度的发展历史1963年，NBS的数理统计专家Eisenhart在研究“仪器校准系统的精密度和准确度估计”时提出了测量不确定度的概念；1980年国际计量局发出了推荐采用测量不确定度来评定测量结果的建议书，即INC-1(1980)；1981年第70届国际计量委员会(CIPM)讨论通过了该建议书，并发布了一份CIPM建议书，即CI-1981；要求所有CIPM及其各咨询委员会参与的国际比对及其他工作中，在给出测量结果的同时必须给出合成不确定度。3为了统一测量不确定度的评定和表示方法，ISO于1986年成立了一个名为ISO/TAG4/WG3工作组，参加该工作组的国际组织除了ISO外，还有IEC（国际电工委员会）、BIPM（国际计量局）、OIML（国际法制计量组织）、IUPAC（国际理论化学与应用化学联合会）、IUPAP（国际理论物理与应用物理联合会）以及IFCC（国际临床化学联合会）等六个国际组织。1993年国际标准化组织ISO出版了《测量不确定度表示指南》（GuidetotheExpressionofUncertaintyinMeasurement，简称GUM），该指南是不确定度的权威性文献，协调统一了评定和表示测量结果的通用规则，得到了世界各国的广泛推广和应用。经过多次修订，目前的最新版本是2008版。

4三、有关不确定度的基本概念根据ISO不确定度评定指南的规范，测量结果的不确定度定义为：表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。此参数可以是诸如标准偏差或其倍数，或说明了置信水平的区间半宽度。测量不确定度由多个分量组成。其中一些分量可用测量列结果的统计分布估算，并用实验标准偏差表征。另一些分量则可用基于经验或其他信息的假定概率分布估算，也可用标准偏差表征。测量结果应理解为被测量之值的最佳估计，而所有的不确定度分量均贡献给了分散性，包括那些由系统效应引起的分量。5标准不确定度

Standarduncertainty用标准差表示的测量结果的不确定度，一般用符号U或u表示。对于不确定度分量，常加脚标进行表示，如等。标准不确定度按照其评定方法不同分为A类不确定度和B类不确定度。

6A类不确定度是基于测量数据的统计分布得到的标准偏差。当用单次测量值作为被测量的估计值时，标准不确定度就是单次测量的标准偏差，即

当用n次测量的平均值作为测量的估计值时，标准不确定度为次测量平均值的实验标准偏差。即7B类不确定度是基于经验和其它信息假定的概率分布给出的标准偏差。其评定结果一般是根据极限值和被测量分布的信息直接估计出来的。可以评定B类不确定度的信息来源有许多，如根据过去的测量数据、生产厂家的技术说明书、测量仪器的特性和其他相关资料、测量者的经验与知识、假设的概率分布及其数字特征、检定证书或校准证书提供的扩展不确定度导出等。

8相对标准不确定度

用标准不确定度除以测量结果的最佳估计值，即可得到相对标准不确定度。9

—第个标准不确定度分量；

—第和第个标准不确定度分量间的相关系数；

—不确定度分量的个数；

—合成标准不确定度。合成标准不确定度

combinedstandarduncertainty

当测量结果受多个因素影响而形成若干个不确定度分量时，测量结果的标准不确定度可通过这些标准不确定度分量合成得到，称其为合成标准不确定度。10对于间接测量的情况，标准不确定度传播公式

—输出量估计值y的标准不确定度；

—输入量估计值和的标准不确定度；

—由n个输入量x影响的测量量，即

—偏导数，称为灵敏系数；

—和在的相关系数。11特别地，当和相互独立时，，合成公式简化为可以标记

为灵敏度因子12扩展不确定度expandeduncertainty扩展不确定度规定了测量结果取值区间的半宽度，该区间包含了合理赋予被测量值的分布的大部分。JJF1059-1999规定，除计量学基础研究、基本物理常数测量以及复现国际单位制单位的国际比对可以仅给出合成标准不确定度，其余绝大部分测量均要求给出测量结果的扩展不确定度。其中，包含因子k的值取决于被测量的概率分布情况。

正态分布包含因子与置信概率的关系包含因子k32.57621.96置信概率P99.739995.459513自由度degreesoffreedomJJF1001-1998《通用计量术语及定义》中给出自由度的定义为：在方差计算中，和的项数减去对和的限制数。一般地说，在没有其他约束条件时，和的项数即是多次重复测量的次数n。由于每一个被测量都要采用其平均值，即要满足残差之和为零的约束条件，因而对和的限制数就是被测量的个数t。自由度就是n-t。14当采用不确定度的A类评定时，可以证明自由度与标准不确定度的准确程度之间的关系为：

——被测量x的标准不确定度；

——标准不确定度的标准不确定度；

——标准不确定度的相对标准不确定度。由上式可见，自由度与标准不确定度的标准不确定度有关，因此可以说，自由度是一种二阶不确定度。一般来说，自由度表示所给标准不确定度的可靠程度或准确程度，自由度越大，所得到的标准不确定度就越可靠。

15§2.2.2不确定度评定步骤一、找出所有影响测量不确定度的影响量二、建立满足测量不确定度评定所需的数学模型三、确定各输入量的估计值以及对应于各输入量估计值的标准不确定度（A类评定和B类评定）四、确定对应于各输入量的标准不确定度分量并列出不确定度分量汇总表

五、确定合成标准不确定度六、确定扩展不确定度并给出测量不确定度报告1617一、找出所有影响测量不确定度的影响量原则：测量不确定度来源既不能遗漏，也不能重复计算，特别是对于比较大的不确定度分量。测量中导致测量不确定度的来源很多，一般说来主要有测量设备测量人员测量方法被测对象的不完善

18测量中，可能导致测量不确定度的因素很多，大体有以下几个方面：1、被测量的定义不完整；2、复现被测量的方法不理想；3、取样的代表性不够，即被测样本不能完全代表所定义的被测量；4、对测量过程受环境影响的认识不充分，获得环境参数的测量与控制不完善；5、对模拟式仪表的读数存在人为的偏移；6、测量仪器的计量性能的局限性；7、测量标准或标准物质的不确定度；8、引用的数据或其他参数的不确定度；9、测量方法和测量程序的近似和假设；10、在相同条件下被测量在重复观测中的变化。19二、建立满足测量不确定度评定所需的数学模型建立被测量Y和所有各不确定度影响因素Xi之间的函数关系好的数学模型要求包括所有对测量不确定度有影响的输入量，在测量不确定度的评定中，所考虑的各不确定度分量，要与数学模型中的输入量一一对应，既不重复，也不遗漏。这样建立了数学模型后，测量不确定度就可以完全根据数学模型进行了。

20三、确定各输入量的估计值以及对应于各输入量估计值的标准不确定度包括A类评定和B类评定两种：A类评定指通过对一组观测列进行统计分析，并以实验标准偏差表征其标准不确定度的方法；而所有不同于A类评定的其他方法均称为B类评定，如基于经验或其他信息的估算，也用标准偏差表征。21A类评定A类评定的基本方法——贝塞尔法在相同条件下对被测量X作n次独立重复测量，得到的测量结果为，则X的最佳估计值可以用n次独立测量结果的平均值表示：单次测量结果的不确定度，即上述测量列中的任何一个观测值的标准不确定度可用贝塞尔公式表示：n次测量结果的平均值的实验标准偏差为：22对于A类评定，各种情况下的自由度为：用贝塞尔公式计算实验标准差时，若测量次数为n，则自由度为；当同时测量t个被测量时，自由度；若t个被测量之间有m个约束条件时，自由度。23B类评定当信息来源为校准证书或检定证书时这些证书通常给出的是测量结果的扩展不确定度和包含因子k。包含因子k的取值和被测量的分布有关，若证书指出了被测量的分布，则按照分布对应的k值计算，若证书未给出被测量的分布，则按照国家技术规范JJF1059-1999，可以按照正态分布计算。根据扩展不确定度和标准不确定度之间的关系，可以直接得到被测量的标准不确定度

24当信息来源于其他各种资料或手册时通常得到的是被测量分布的极限范围，也就是说，得到了被测量的可能值的分布区间的半宽a，即允许误差限的绝对值。由于a可以看作为对应于置信概率p=100%的置信区间的半宽度，所以实际上a就是该被测量的扩展不确定度，于是被测量的标准不确定度可表示为，包含因子k的取值和被测量的分布有关。

25四、确定对应于各输入量的标准不确定度分量并列出不确定度分量汇总表设不确定度来源的标准不确定度为，被测量与之间的函数关系为，则对应于该来源的标准不确定度分量为

这一步实际上是进行单位换算，由单位通过换算到被测量的单位。26列出不确定度汇总表有利于对不确定度评定进行分析，检查，比较和交流。尤其是对测量准确度要求较高、不确定度分量较多的测量，由汇总表可以立即看出哪些不确定度分量对测量结果起主要作用。

27五、确定合成标准不确定度若一个随机变量是两个或多个独立随机变量之和，则该随机变量的方差等于各个分量方差之和，即若随机变量Y和各输入量Xi之间满足且各输入量之间相互独立，则根据标准不确定度的定义，方差即是标准不确定度的平方，故28若Y满足一般式，则

，称为不确定度分量。29方差合成定理是测量不确定度评定的基础。根据方差合成定理，对各相互独立的不确定度分量进行合成时，满足方差相加的原则，而与各个分量的来源、性质以及分布无关。根据方差合成定理，当各不确定度来源彼此间独立无关时，合成标准不确定度为30六、确定扩展不确定度并给出

测量不确定度报告从测量过程到运算结果作为整体来考虑，分析被测量大致属于什么概率分布形式，选择置信概率P来确定包含因子k，扩展不确定度等于合成标准不确定度与包含因子k的乘积，用符号表示。31无法判断被测量Y的分布此时，只能假设一个包含因子数值，一般取2或3，在大多数情况下取2，扩展不确定度为。这时无法确定扩展不确定度所对应的置信概率。32测量不确定度报告中简要给出测量结果及其不确定度，以及如何由合成标准不确定度得到扩展不确定度。报告应给出尽可能多的信息，避免用户对所给不确定度产生错误的理解。报告中测量结果及其不确定度的表达方式应符合JJF1059—1999的规定，同时应注意测量结果及其不确定度的有效数字位数。33比较重要的测量，不确定度报告应包括以下内容：数学模型和对应于各输入量的灵敏系数；修正值和常数的来源及其不确定度；输入量的实验观测数据及其估计值，标准不确定度的评定方法及其量值和自由度，并将其列表；对所有相关输入量给相互协方差或相关系数及其获得方法；测量结果对数据处理程序，该程序应易于重复，必要时报告结果的计算应能独立重复。34§2.2.3不确定度评定举例例1对电压进行了10次测量，测量结果分别为：解：1、计算算数平均值和标准偏差：测量次数12345678910电压值V401.0400.1400.9399.4396.8400.0401.0402.0399.9399.8352、计算有无错值：残差的绝对值最大值为，查表得到（置信概率为95%）表达式成立，因此为错值，剔除。

测量次数12345678910电压值V401.0400.1400.9399.4396.8400.0401.0402.0399.9399.8残差3.29363、重新计算9个数据的算数平均值和标准偏差：374、再次计算有无错值：残差的绝对值最大值为，查表得到（置信概率为95%）表达式成立，因此9个数据中没有错值。测量次数123456789电压值V401.0400.1400.939