第六章 无限脉冲响应数字滤波器设计

第六章

无限脉冲响应数字滤波器的设计本章目录数字滤波器的技术指标与设计方法

用模拟滤波器设计IIR数字滤波器

(脉冲响应不变法、双线性变换法)

IIR数字滤波器的优化设计

IIR数字滤波器的Matlab仿真实现

2理想的数字滤波器是非因果的，因而是物理上不可实现的。滤波器的设计就是用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系统函数H(z)去逼近理想滤波器的性能。IIR数字滤波器的两类设计方法：借助于模拟滤波器的设计方法；直接在频域或者时域中进行设计。6.1引言3数字滤波器的技术要求

数字滤波器的设计方法

6.2数字滤波器的技术指标与设计方法4传输函数幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况；

相频特性

φ(ω)

反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况

6.2.1数字滤波器的技术要求5理想滤波器是非因果的，物理上不可实现。为了物理上可实现，在通带与阻带之间应设置一定宽度的过渡带，并且在通带和阻带都允许一定的误差容限，即通带不一定是完全水平的，阻带不一定都绝对衰减到零。6低通滤波器通带阻带

7通带内允许的最大衰减阻带内允许的最小衰减3dB通带截止频率当幅度下降到时，即下降为0.707,，对应的频率

归一化86.2.2数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计问题就是寻找一组系数ai和bi，使得其性能在某种意义上逼近所要求的特性。数字滤波器的设计步骤:给出所需要的滤波器的技术指标；设计一个H(z)使其逼近所需要的技术指标；用数字硬件或在计算机上编写算法实现所设计的H(z)。

9IIR的设计方法—借用模拟滤波器先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足给定指标的数字滤波器。很方便，这是因为模拟滤波器的设计方法已经很成熟，它不仅有完整的设计公式，还有完善的图表供查阅。设计步骤将给定的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标；根据转换后的技术指标设计模拟原型滤波器；按照一定规则将模拟滤波器转换为数字滤波器。

10IIR的设计方法—直接设计直接在频域或者时域中进行设计这是一种最优化设计法。由于要解联立方程，因此需要计算机辅助进行设计。116.3用模拟滤波器设计IIR数字滤波器模拟滤波器的设计脉冲响应不变法双线性变换法数字高通、带通和带阻滤波器的设计方法126.3.1模拟滤波器的设计

常用的模拟滤波器巴特沃斯（Butterworth）滤波器具有单调下降的幅频特性切比雪夫（Chebyshew）滤波器幅频特性在通带或者阻带内有波动，可以提高选择性；椭圆（Ellipse）滤波器在通带和阻带内都有纹波贝塞尔（Bessel）滤波器等通带内有较好的线性相位特性

13巴特沃斯型滤波器幅度特性14切比雪夫型滤波器幅度特性

15椭圆滤波器幅度特性16贝塞尔滤波器幅度特性17理想模拟滤波器幅频特性

18幅度平方函数模拟低通滤波器的设计指标通带截止频率通带最大衰减阻带截止频率阻带最小衰减19模拟滤波器的设计步骤

由给定的、、和求出由得到滤波器的系统函数

Ha(s)的极点（或零点）与Ha(-s)的极点（或零点）具有象限对称性。为了保证设计的滤波器稳定，将|Ha(s)|2的左半平面的极点赋给Ha(s)。20巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：N为滤波器阶数Ωc为3dB截止频率21巴特沃斯低通滤波器幅度特性与阶数关系22巴特沃斯低通滤波器的特点幅度特性随着Ω增加单调下降，下降的速度与阶数N有关。随着N增大，幅度下降的速度越快，过渡带越窄，在通带内更接近于1，在阻带内迅速接近于零，因而幅度特性更接近于理想的矩形频率特性。不管N的取值是多少，都经过点。

23幅度平方函数的极点分布幅度平方函数有2N个极点这2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆上（该圆称为巴特沃斯圆），间隔是/Nrad。这些极点以虚轴为对称轴，而且不会落在虚轴上。当N是奇数时，实轴上有两个极点；当N是偶数时，实轴没有极点。

返回24三阶巴特沃斯滤波器极点分布图25Ha(s)的表达式为了保证所设计的滤波器是稳定的，将s平面左半平面的N个极点分配给Ha(s)，而将右半平面的N个极点分配给Ha(-s)

26频率归一化将所有的频率对Ωc归一化，归一化频率：归一化的幅度平方函数为：27模拟巴特沃斯低通滤波器的设计步骤

由给定的设计指标Ωp、αp、Ωs和αs确定巴特沃斯滤波器的阶数N和频率Ωc。返回28求滤波器的极点，并由s平面左半平面的极点构成Ha(s)。幅度平方函数极点为：将s平面左半平面的N个极点分配给Ha(s)

下页举例29例6-1导出三阶巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数，设Ωc＝2rad/s。解幅度平方函数是令Ω2=-s2即s=jΩ，则有各极点满足式（5-10）k=1,2,…,630而按要求，前面三个sk（k=1,2,3）就是Ha(s)的极点。所给出的六个sk为:由s1,s2,s3三个极点构成的系统函数为31例6-2设计一个满足下面要求的模拟低通巴特沃思滤波器：(1)通带截止频率：Ωp=0.2π；通带最大衰减：ap=7dB。(2)阻带截止频率：Ωs=0.3π；阻带最小衰减：as=16dB。解为了准确在Ωp满足指标要求，可式子得32为了准确在ΩS满足指标要求，可得现在在上面两个数之间可任选Ωc值。现选Ωc=0.5，这样就必须设计一个N=3和Ωc=0.5的巴特沃思滤波器，模拟滤波器Ha(s)的设计类似于上例6-1；也可以查表（P157）（p=s/Ωc）最后可得33切比雪夫滤波器的设计方法切比雪夫滤波器的幅频特性具有等波纹特性在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的，称为切比雪夫Ⅰ型滤波器；在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的，称为切比雪夫Ⅱ型滤波器。34切比雪夫多项式

N

为切比雪夫多项式的阶数切比雪夫多项式的递推公式35不同N值的切比雪夫多项式的曲线

切比雪夫多项式的零点在区间内；当时，曲线具有等纹波特性；当时，曲线按双曲余弦函数单调上升。

36切比雪夫滤波器的幅度平方函数

ε是小于1的正数，称为纹波参数，是表示通带内纹波大小的一个参数，ε愈大，纹波也愈大。Ωp称为有效通带截止频率。频率通常对Ωp归一化，

37切比雪夫滤波器的幅频特性去4138在通带内，在1和之间起伏变化；在阻带内是单调下降的；当N为奇数时，滤波器在处的幅度响应为1；当N为偶数时，滤波器在处的幅度响应为。当时，

39ε的确定设允许的通带纹波为δ，那么

40阶数N的确定41切比雪夫滤波器幅度平方函数的极点

其中42极点分布2N个等角度间隔（间隔为/N）分布在为长半轴，为短半轴的椭圆上的点。

43切比雪夫滤波器的传输函数

系数A由s=0时滤波器幅度响应的值确定:当N为奇数时，当N为偶数时，

44切比雪夫低通滤波器的设计步骤

由给定的设计指标确定切比雪夫滤波器的参数ε、N和Ωp45求滤波器的极点，并由s平面左半平面的极点构成Ha(s)。466.3.2脉冲响应不变法从模拟滤波器设计IIR数字滤波器就是按照一定的转换关系将s平面上的Ha(s)转换成z平面上的H(z)。脉冲响应不变法双线性变换法47脉冲响应不变法使数字滤波器的单位取样响应h(n)与相应的模拟滤波器的单位脉冲响应ha(t)的取样值完全一样

4849s平面到z平面的映射关系

SZ稳定左半平面单位园内虚轴单位园50s平面到z平面的映射关系

s平面上每一条宽为2/T的横带重复地映射到整个z平面上每一横条的左半部分映射到z平面的单位圆以内右半部分映射到z平面的单位圆以外s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上虚轴上每一段长为的线段2/T都映射到z平面单位圆上一周。51例6.3设模拟滤波器的系统函数为试利用脉冲响应不变法求数字滤波器的系统函数。解将Ha(s)展开成部分分式得用代换得到52取T=1，得到数字滤波器的频率响应为53优缺点从以上讨论可以看出，脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率Ω和数字频率ω之间呈线性关系ω=ΩT。因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器。54脉冲响应不变法的最大缺点是有频率响应的混叠效应。所以，脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器(例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器)，而且高频衰减越快，混叠效应越小。至于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。如果要对高通和带阻滤波器采用脉冲响应不变法，就必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率，然后再使用脉冲响应不变法转换为数字滤波器。数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。由P44可见混叠55混叠原因566.3.3双线性变换法采用非线性频率压缩方法将整个s平面压缩变换到s1平面/T之间的一条横带里;然后再用将此横带变换到整个z平面上去，这样就使s平面到z平面是一一映射的关系，从而消除了频谱混叠现象。57双线性变换法的映射关系

即:58非线性频率压缩

双线性变换的映射关系59z平面的ω与s平面的Ω之间呈非线性关系。这种非线性关系导致双线性变换法的频率标度的非线性失真，直接影响数字滤波器频响逼真地模仿模拟滤波器的频响。60例6.4已知模拟滤波器的传输函数为采用双线性变换法将其转换为数字滤波器的系统函数，设T=2s解将式(6.38)代入Ha(s)可得61优缺点双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个jΩ轴单值地对应于Z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。这个关系如式（5-45）所示，重写如下：上式表明，S平面上Ω与Z平面的ω成非线性的正切关系，如图6-13所示。62由图6-13看出，在零频率附近，模拟角频率Ω与数字频率ω之间的变换关系接近于线性关系；但当Ω进一步增加时，ω增长得越来越慢，最后当Ω→∞时，ω终止在折叠频率ω=π处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。63图6-13双线性变换法的频率变换关系64需要特别强调的是，若模拟滤波器Ha(s)为低通滤波器，应用 变换得到的数字滤波器H(z)也是低通滤波器；若Ha(s)为高通滤波器，应用变换得到的数字滤波器H(z)也是高通滤波器;若为带通、带阻滤波器也是如此。在IIR数字滤波器的设计中，当强调模仿滤波器的瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好;而在其余情况下，大多采用双线性变换法。65例6-5设计一个一阶数字低通滤波器，3dB截止频率为ωc=0.25π，将双线性变换应用于模拟巴特沃思滤波器。解数字低通滤波器的截止频率为ωc=0.25π，相应的巴特沃思模拟滤波器的3dB截止频率是Ωc，就有模拟滤波器的系统函数为66将双线性变换应用于模拟滤波器，有由上题可知，T不参与设计，即双线性变换法中用 设计与用 设计得到的结果一致。67例6-6用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率为fs=4kHz（即采样周期为T=250μs），其3dB截止频率为fc=1kHz。三阶模拟巴特沃思滤波器为解首先，确定数字域截止频率ωc=2πfcT=0.5π。第二步，根据频率的非线性关系式（6-46），确定预畸变的模拟滤波器的截止频率68第三步，将Ωc代入三阶模拟巴特沃思滤波器Ha(s)，得最后，将双线性变换关系代入就得到数字滤波器的系统函数69应该注意，这里所采用的模拟滤波器Ha(s)并不是数字滤波器所要模仿的截止频率fc=1kHz的实际滤波器，它只是一个“样本”函数，是由低通模拟滤波器到数字滤波器的变换中的一个中间变换阶段。图6-16给出了采用双线性变换法得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的幅频特性。由图可看出，由于频率的非线性变换，使截止区的衰减越来越快。最后在折叠频率处形成一个三阶传输零点。这个三阶零点正是模拟滤波器在Ωc=∞处的三阶传输零点通过映射形成的。70图6-16用双线性变换法设计得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的频响716.3.4数字高通、带通和带阻滤波器的设计方法

数字高通、带通和带阻滤波器的设计方法

模拟原型低通滤波器模拟（高通、带通或带阻）滤波器数字（高通、带通或带阻）滤波器频率变换脉冲响应不变法双线性变换法模拟原型低通滤波器数字低通滤波器数字（高通、带通或带阻）滤波器脉冲响应不变法双线性变换法频率变换ToP8272模拟低通到模拟高通的变换

设λ为低通滤波器归一化频率，p=jλ，η为高通滤波器归一化频率，q=jη，73模拟低通到模拟高通的频率变换关系：模拟低通到模拟高通的系统函数映射关系为：模拟高通滤波器的转移函数为：

74模拟低通到模拟带通的变换

Ωsl：下阻带上限频率Ω1：通带下限Ω3：通带上限Ωsh：上阻带下限频率B=Ω3-Ω1:带通滤波器的带宽，并以此作为参考频率对轴Ω作归一化处理75通带中心频率归一化中心频率

76模拟低通到模拟带通的频率变换关系

η和λ的对应关系：

77模拟低通到模拟带通的频率变换关系

模拟带通滤波器的系统函数为：

78模拟低通到模拟带阻的变换

Ω1：通带下限Ω3：通带上限Ωsl：阻带下限Ωsh：阻带上限B=Ω3-Ω1:阻带带宽，并以此作为参考频率对轴Ω作归一化处理

79通带中心频率归一化中心频率80η和λ的对应关系：

81模拟低通到模拟带阻的频率变换关系

模拟带阻滤波器的系统函数为:

82由模拟低通原型滤波器设计数字带通、高通和带阻滤波器的设计步骤：将所需类型数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标。利用频率变换关系将模拟滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标。设计模拟低通滤波器。将模拟低通滤波器通过频率变换法，转换成所需类型的模拟滤波器。采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。

83例6.7设计一个数字高通滤波器，要求通带下限频率，阻带上限频率为，通带衰减不大于3dB，阻带衰减不小于15dB。解数字高通滤波器的技术指标为模拟高通滤波器的技术指标，取T=184对p归一化，模拟低通滤波器的技术指标设计归一化模拟低通滤波器85取N=2，归一化模拟低通滤波器为去归一化，将模拟低通转换成模拟高通86用双线性变换法将模拟高通转换成数字高通876.4IIR数字滤波器的优化设计频率最小均方误差设计时域直接设计

886.4.1频率最小均方误差设计理想滤波器的频率响应：Hd(ejω)设计的滤波器的频率响应：H(ejω)

频率最小均方误差设计方法就是寻找滤波器的频率响应H(ejω)，使最小89设滤波器的频率响应为：那么

共有（4N+1）个待定系数设90取E对每一个参数的偏导数，并令这些导数为零，得到4N+1个方程Top899192对极点的修正在设计过程中，对系数函数零极点位置未给任何约束，零极点可能在单位圆内，也可能在单位圆外。由于系统函数是一个有理函数，零极点均以共轭成对的形式存在。如果极点在单位圆外，那么滤波器不是因果稳定的，因此需要对这些单位圆外的极点进行修正。93如果将极点z1和它的共轭极点均以其倒数和代替后，幅度特性的形状不变化，仅是幅度的增益变化了。设z1为极点极点位置重新分配后，滤波器就变成因果稳定的。

946.4.2IIR数字滤波器的时域直接设计设希望设计的IIR数字滤波器的单位脉冲响应为hd(n)，时域设计法是设计一个IIR数字滤波器，使它的单位脉冲响应h(n)逼近hd(n).时域直接设计法是寻找M+N-1个系数ai、bi，使得在范围内，使h(n)逼近hd(n)。设滤波器是因果性的，其系统函数为95求解上述方程，得到系统函数H(z)令Z同幂次系数相等，则Top9396波形形成滤波器

设x(n)为给定的输入信号，yd(n)为希望的输出信号，x(n)和yd(n)长度分别为M和N，实际的滤波器输出为y(n)97取E对h(n)的偏导为0求解上式得H(z)的系数h(n)，然后求出ai和bi得到986.5IIR数字滤波器的Matlab仿真实现IIR数字滤波器设计模拟滤波器到数字滤波器的转换

996.5.1IIR数字滤波器设计Matlab函数butter和cheby1可以确定Butterworth和ChebyshevI型滤波器的系统函数。设数字滤波器系统函数为模拟滤波器的系统函数为100函数butter的调用格式

函数butter的调用格式为>>[b,a]=butter(n,Wc,)%设计数字Butterworth滤波器>>[b,a]=butter(n,Wc,'ftype')%设计模拟Butterworth滤波器其中，n为滤波器阶数，Wc为截止频率。101函数cheby1的调用格式

函数cheby1的调用格式为>>[b,a]=cheby1(n,Rp,Wc)%设计数字Chebyshev滤波器>>[b,a]=cheby1(n,Rp,Wc,'ftype')%设计模拟Chebyshev滤波器其中，n为滤波器阶数，Rp为通带内的纹波系数，Wc为截止频率。102例：设计butterworth低通滤波器

例6.8设计一模拟butterworth低通滤波器，通带截止频率300Hz