高中数学人教A版第二章基本初等函数（Ⅰ）对数函数（市一等奖）

13．对数函数的应用姚亮学习目标1．进一步熟悉对数函数与指数函数关系，进一步熟悉对数函数概念、性质．2．能运用对数函数有关知识解决含有对数符号的函数有关问题．3．渗透应用意识，初步建立函数思想在方程、不等式中的应用．一、夯实基础基础梳理基础达标1．已知指函数图象经过点，则对数函数一定经过点（）．A． B． C． D．2．若函数的大致图象如图所示，其中为常数，则函数的大致图象是（）．3．（2023年天津）已知，，则（）．A． B． C． D．4．函数的定义域是，则__________．5．（2023年湖北）放射性元素由于不断有原子放射微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素绝137的衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位年）满足函数关系：，其中为时铯137的含量，已知时，铯137含量的变化率是（太贝克/年），则（）．A．5太贝克 B．太贝克 C．太贝克 D．150太贝克二、学习指引自主探究1．下列是关于指数成长函数、指数衰退函数的实际问题，试着解决它们，并体会对数运算在解决这两类问题中的作和．（1）某细菌的生长过程为一指数成长函数，就是说分钟后细菌的数量为（、为常数），且一开始的数量为1000只，而在20分钟后变为3000只，求一小时后细菌的数量．（2）任何放射性物质都有所谓的半衰期，亦即数量减半所需经过的时间，一般而言，若一放射性物质的数量为（、为常数），则半衰期即为的解．已知一化石存有碳14，而碳14的半衰期为5730年，部经过多少时间，碳14的存量变为原来的？2．函数与的单调性有何关系？（1）试根据下列条件，用“单调增函数”、“单调减函数”填空：的取值单调增函数单调减函数单调减函数单调增函数（2）如果的单调增区间为，那么应满足哪些条件？3．（1）写出下列函数的定义域与值域．函数定义域值域有一种说法，恒成立，则的值域为对吗？请举例研究．（2）当应满足什么条件时，的定义域为？（3）当应满足什么条件时，的值域为?4．拓展思维：请解答下面两个问题，并谈谈有何收获．（1）解关于的不等式，；（2）已知关于的方程，讨论的值来确定方程根的个数．（3）函数，若，且，写出、的关系．案例分析1．求函数的值域和单调区间．【解析】（1）由得，所以函数的定义域是．因为．所以，当时，，的值域为．当时，，的值域为．（2）令，则，当时，函数在为减函数，在上是增函数，在上是减函数，故所给函数在上是减函数，在上是增函数；当时，函数在为增函数，在上是增函数，在上是减函数，故所给函数在上是增函数，在上是减函数．2．函数．（1）若函数的定义域为，求的取值范围；（2）若函数的值域为，求的取值范围．【解析】（1）由已知的定义域为，无论取任何实数都有成立，，．（2）由已知的值域为，设，应取遍全体正实数，才能取遍全体实数，时，的值域，或．3．解决下列问题：（1）若，试比较的大小；（2）若●，且，，都是正数，试比较，，的大小．【解析】（1）由，得，且，故．（2）令，由于都是正数，则，，，，，：同理可得：，，．说明：第（1）题利用对数函数单调性比较大小；第（2）题注意指数式与对数式的互●．三、能力提升能力闯关1．下列函数中，在上为增函数的是（）A． B．C． D．2．已知，且，则下列结论一定正确的是（）．A． B． C． D．3．若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是__________．拓展迁移1．（1）已知函数在上是减函数，求的取值范围．（2）若函数在区间上是增函数，求的取值范围．2．求下列函数的值域：（1）；（2），．挑战极限1．已知函数．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（3）在函数图象上是否存在两个不同的点、，使直线垂直轴，若存在，求、两点坐标；若不存在，说明理由．课程小结1．我们经常会借助于对数函数的图象解决与对数函数相关的不等式问题、方程根的两个数问题．2．我们经常会遇到形如的函数，此函数由与两个函数复合而成，在研究单调性时，要注意底数的影响．另外，要特别注意．13．对数函数的应用基础达标1．D【解析】因为指数函数图象经过点，所以函数经过点，从而函数经过点．2．B【解析】由已知函数的图象可得，，则的图象由的图象沿轴向上平移个单位而得到．3．C【解析】．易得，，．又，，，即．4．2．【解析】由得，因此，函数的定义域是，所以，．5．D．自主探究1．【解析】（1）依题意，所以，亦即．又，故，解得，即．而一小时后的数量为（只）．（2）由，得．所求为的解，亦即为所求，故为所求．说明；从上例可以看出，在已知底数和幂的值，求指数（形如解关于的方程）的问题时，我们自然要用到对数，请同学们体会对数与指数间的关系：当，时，．2．【解析】（1）单调增函数；单调减函数；单调增函数；单调减函数数，（2）要满足两个条件；①在上恒成立；（2）在上单调递增．3．【解析】（1）函数定义域值域“恒成立，则的值域为”的说法是错误的，举例说：中，恒成立，但的值域不是．（2）对恒成立；若在上有最小值，则．（3）可取到一切正数若的值域为．则．4．拓展思维：【解析】（1）在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图：两图象交点的横坐标为，所以原不等式的解集为．（2）因为在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图可知：①当时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0个；②当时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个数为1个；③当时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根的个数为2个．第（1）题是利用函数的图象解有关的不等式问题，第（2）题利用函数的图象判断方程根的个数．通过上面两题同学们要体会在解决函数题时注意数与形结合，利用函数的图象经常能起到事半功倍的效果．（3）由（2）知，在上递减，在上递增，因为，且．所以，，从而，，于是，得．能力闯关1．D．【解析】A、C中函数为减函数，不是中函数定义域的子集，故答案D．2．C．【解析】画出函数图象，注意以下事实；若，，则必有．根据题意容易得到下列不等式关系；，必有．3．【解析】由对数函数性质知，当时．．拓展迁移1．【解析】（1）设．由于一定是减函数，要使是减函数，必须．于是问题转化为，即．解得．（2）令，函数为减函数．在区间上递减，且满足，所以，解得，所以，的取范围为．2．【解析】（1）容易知道函数的定义域为令，则，，因而，即所求函数值域为．（2）．令，则，，又时，；时，．如图，容易看出，即所求函数值域为．注；